Quando nel 1933 Hitler prese il potere venne annullato ogni sistema democratico in Germania ed Emmy essendo di origine ebrea, dovette emigrare negli Stati Uniti dove il fisico Weyl la introdusse a Princeton¹: l’università americana le offrì una posizione di docente di matematica fino a 1934. L’unica interruzione al periodo americano fu un breve soggiorno in Europa di nuovo nel 1934.

Nella primavera del 1935 venne operata di tumore ovarico in Bryn Mawr (Pennsylvania), ma a causa di complicazioni post-operatorie morì pochi giorni dopo, il 14 aprile 1935. Albert Einstein scrisse il suo necrologio sul New York Times il 5 maggio di quell’anno definendola:

Dopo la morte di Emmy Noether, il collegamento fra principi di conservazione e simmetrie venne esteso grazie al concetto di simmetrie di Gauge, ovvero un nuovo spazio vettoriale locale interno. Il termine interno si riferisce a simmetrie che non si manifestano nello spazio tridimensionale comune a noi note, ma dipendono dal modello usato per descrivere la materia localmente. Grazie a questo tipo di simmetrie è possibile dimostrare la validità nell’elettromagnetismo del principio di conservazione della quantità di carica utilizzando gli stessi principi del potenziale d’azione descritto in precedenza.

Il legame tra simmetria e leggi di conservazione dell’energia è così intimo che quando sembra venga violato spesso significa che nasconde un fenomeno fisico sconosciuto e spinge ad indagare in quella direzione. E’ proprio in questo contesto che Wolfgang Pauli nel dicembre 1930 pur di impedire che la legge di conservazione venisse violata ipotizzò l’esistenza di una nuova particella: il neutrino.

Simmetrie interne ancora più complesse si presentano anche nella teoria quantistica dei campi, e nella teoria nucleare forte². Queste simmetrie si fondano sulla branca dell’algebra chiamata teoria dei Gruppi di Lie, dal nome del matematico norvegese che le ha introdotte. Le quantità conservate si chiamano ipercariche.

La Natura però non finisce mai di sorprenderci: come spesso succede, generalizzare o cercare di estendere la validità di una teoria in campi più ampi può portare a scoperte inattese. Consideriamo un altro tipo di simmetrie: la simmetria speculare, cioè la simmetria dello specchio dove, per intenderci un guanto destro diventa un guanto sinistro e viceversa. Nel 1957 la fisica cinese Wu Chien Shiung dimostrò che nell’interazioni elettrodebole³ il processo del decadimento β non rispetta la simmetria speculare (simmetria CP), mentre rispetta altri tipi di simmetria (CPT) insieme. Esperimenti condotti nel 2001 hanno confermato questo comportamento.

Questa violazione si ritiene possa esser nata nelle prime fasi di vita dell’Universo e che abbia pesato nella formazione di un eccesso di materia sull’antimateria, permettendo all’Universo di essere quello che è adesso. Questo comportamento non significa che il teorema di Noether non è più valido, ma solo che a livello non locale, su scale spazio-temporali enormi entrano in gioco altri eventi che hanno “rotto la simmetria”.

Perché quindi non ipotizzare una simmetria che includa le simmetrie continue, discrete ed interne? Una risposta candidata a questa domanda è il modello della supersimmetria, o SUSY. Questa teoria prevede anche l’esistenza anche di particelle super simmetriche che però ad oggi non sono state ancora rilevate nei laboratori, per questo sulla simmetria rimane ancora molto da indagare. Il loro studio è fondamentale dato che ci consente di costruire una base teorica comune per fornire un modello matematico elegante che lega le particelle del Modello Standard con le quattro forze fondamentali della Natura.

Questo lavoro si svolge nei laboratori di Fisica Nucleare di tutto il mondo, come ad esempio al CERN.

Bibliografia

• Enigmi per decifrare il mondo, Cumrun Vafa – Edizioni Dedalo
• Rivoluzioni matematiche: il teorema di Noether, Edoardo Provenzi – Le Scienze
• Appunti per il corso di Fisica Matematica, Settore di Ingegneria dell’Informazione. Anno accademico 2016–2017 Giancarlo Benettin
• Ask Ethan: How do symmetries lead to conservation laws? https://bigthink.com/starts-with-a-bang/symmetries-conservation-laws/
• The preserving forces of Emmy Noether’s legacy https://medium.com/@uriitai/the-preserving-forces-of-emmy-noethers-legacy-a5e4a794b87c
• Emmy Noether, genio matematico https://www.galileonet.it/emmy-noether-genio-matematico
• Il mistero della simmetria: dall’Alhambra alle particelle. INFN Asimmetrie – Antonio Masiero e Massimo Pietroni
• https://www.asimmetrie.it/la-particella-che-da-la-massa

1. Nel 1934 il Ministro dell’Istruzione tedesco chiese ad Hilbert quale fosse lo stato della grande matematica tedesca ora che non c’erano più gli ebrei, quest’ultimo rispose che a Gottinga oramai non esisteva più alcuna matematica. ↩︎
2. La teoria che descrive l’interazione nucleare forte si chiama cromodinamica quantistica e descrive come i quark interagiscono tra loro scambiandosi una proprietà associata al loro colore. In questo contesto agisce la simmetria. ↩︎
3. La forza elettrodebole è il risultato dell’unificazione della forza nucleare debole e la forza elettromagnetica: le interazioni elettrodeboli sono il risultato della rottura di una simmetria di Gauge. Tali simmetrie adottano dei mediatori per trasmettere le interazioni a massa nulla, ma gli esperimenti hanno evidenziato un’eccezione. Per preservare la simmetria con mediatori della forza elettrodebole con massa (ovvero le evidenze sperimentali) interviene il meccanismo di Higgs. ↩︎

Emmy nacque ad Erlangen il 23 marzo 1882 da padre professore di matematica e madre erede di una ricca famiglia ebrea, primogenita di quattro figli. Terminate le scuole elementari e medie con un rendimento nella norma, frequentò il liceo dove si distinse per il suo rendimento: prese lezioni di pianoforte e lingua (inglese e francese) tanto da diventare nel 1900 docente di lingue in Baviera. Non riuscendo a gestire gli alunni in classe decise invece di interessarsi alla matematica: si iscrisse ad alcuni corsi ad Erlangen senza immatricolarsi in quanto all’epoca era proibito alle donne iscriversi all’università. Nel 1904 la legge volge a suo favore e si poté iscriversi finalmente a matematica all’Università di Gottinga dove insegnavano professori di alto livello come Felix Klein, Minkowski e Hilbert riuscendo così a recuperare il tempo perduto.  

Nel dicembre 1907 conseguì il dottorato a pieni voti con il relatore Paul Albert Gordan con un lavoro sulla Teoria degli Invarianti¹, ma non riuscì ad intraprendere la carriera accademica come docente: i provvedimenti legislativi dell’epoca in Germania lo proibivano ed, in ogni caso, non poteva godere di uno pieno stipendio. Indirizzò quindi i suoi studi verso le teorie algebriche e grazie alla sua competenza ebbe la possibilità di confrontarsi con altre università partecipando come conferenziere all’estero in Italia (Palermo) ed in Austria (Vienna).

Nel 1909 diventa la prima donna a tenere una conferenza alla riunione della Società Matematica Tedesca a Strasburgo. Nel 1915 venne invitata da Hilbert all’università di Gottinga nel dipartimento di matematica: l’accettazione di una donna in ambito accademico non fu semplice e dovette affrontare le opposizioni di alcuni suoi colleghi. Hilbert la difese e divenne così la sua assistente.

Sospendiamo la biografia di Emmy per introdurre il concetto di simmetria: a differenza del significato intuitivo che la gente possiede del termine, in matematica si definisce simmetria una trasformazione su un oggetto tale che lo lasci invariato, ovvero una simmetria è una qualsiasi trasformazione invariante del sistema. Le simmetrie possono essere continue o discrete; ad esempio:

• una generica rotazione intorno all’asse principale di un cilindro di alluminio è una simmetria continua perché lascia inalterato l’oggetto rendendolo indistinguibile prima e dopo la trasformazione per ogni valore di
• una generica rotazione di un triangolo equilatero nel piano è una simmetria discreta perché solo per questi tre valori discreti lascia inalterato l’oggetto rendendolo indistinguibile prima e dopo la trasformazione.

Esistono anche altre simmetrie (invarianti) meno note:

• simmetrie rotazionali: le rotazioni spazio-tempo quadridimensionali delle trasformazioni di Lorentz, ove spazio e tempo si interscambiano tra loro e sono presenti nella teoria di Einstein²
• simmetrie traslazionali nello spazio: se spostiamo una linea retta lungo sé stessa, ritorna su sé stessa
• simmetrie temporali: se faccio un esperimento oggi e lo ripeto nei giorni successivi i risultati saranno gli stessi

Noether fu in grado di fornire un contesto a queste classi di trasformazioni invarianti stabilendo un legame fra simmetrie e principi di conservazione. Usando concetti matematici di algebra astratta, Emmy nel 1918 identificò le seguenti trasformazioni particolari:

• traslazioni nello spazio di una certa quantità di un vettore
• rotazioni nello spazio di un angolo rispetto ad un asse fisso.

Queste trasformazioni identificano una serie particolare di funzioni tali per cui esiste la funzione inversa (posso tornare indietro da una rotazione e traslazione), ed è possibile comporre una serie di traslazioni e rotazioni (il risultato è sempre una roto-traslazione)³. Emmy dimostrò con suo il teorema omonimo⁴ che questo gruppo di funzioni mantengono inalterata la lagrangiana e lascia costante una quantità del moto (generatore della simmetria).

In termini più semplici, per ogni simmetria continua della lagrangiana esiste una quantità corrispondente che si conserva e viceversa

Ovvero:

• Un sistema fisico è invariante rispetto alla traslazione del tempo vale il principio di conservazione dell’energia.
• Un sistema fisico è invariante rispetto alla traslazione spaziale (esperimenti eseguiti in luoghi diversi portano agli stessi risultati) vale il principio di conservazione della quantità di moto.
• Un sistema fisico è invariante rispetto alla rotazione spaziale vale il principio di conservazione del momento angolare.

Il teorema di Noether identifica due conseguenze:

• fornisce la giustificazione ai principi di conservazione: è grazie al concetto di simmetria che l’energia, la quantità di moto ed il momento angolare si conservano. I principi di conservazione non sono quindi impliciti nelle leggi di Newton ma sono una conseguenza.
• la simmetria consente di estendere il dominio di applicabilità di un fenomeno fisico: data l’equivalenza bidirezionale del teorema quando i ricercatori scoprono una simmetria in un esperimento, allora sanno che c’è una quantità che si conserva, e viceversa.

Il teorema arricchisce di significato i principi tempo-relativistici della Teoria di Einstein. Il moto di rivoluzione della Terra, per esempio, giace su una traiettoria definita dalla deformazione spazio-tempo creata dalla massa del Sole. Per Einstein qualsiasi osservatore all’interno dello spazio-tempo incurvato dal Sole sperimenta un tempo differente, così come il concetto di istantaneità di un evento è per ognuno di loro differente. Tutti i sistemi di riferimento sono ugualmente validi, ma il teorema di Noether aggiunge una considerazione ulteriore: se potessi estrarre il tessuto temporale di ogni osservatore non potrei riconoscere alcuna differenza: nonostante ogni osservatore sperimenta tempi diversi, tutti gli intervalli spazio-temporali sono invarianti, sono TUTTI indistinguibili tra loro: rappresentano cioè un’invariante.

Nel frattempo, nel 1918 il diritto di ottenere l’abilitazione di insegnare all’università in Germania fu esteso anche alle donne e così, con molte difficoltà e grazie difesa di Hilbert, l’anno seguente Emmy ottenne la qualifica di libero docente (Privatdozent).  

Molti professori erano diffidenti riguardo la presenza di una donna in università, la Prima Guerra Mondiale era terminata da poco⁵ e molti ragazzi che al fronte avevano eseguito gli ordini dei loro superiori (tutti uomini), potevano ora riprendere gli studi interrotti dalla chiamata alle armi. Con che coraggio potevano i nostri ragazzi prendere adesso ordini da una donna?

Gli anni che seguirono la videro impegnata ad insegnare (senza avere uno stipendio ufficialmente riconosciuto) ed a fare ricerca nel campo della teoria degli anelli e degli ideali (algebra astratta) e riuscì, questa volta, a mantenere ottimi rapporti con i suoi alunni, partecipare ad altri congressi (Bologna nel 1928 e Zurigo nel 1932). Questi sono gli anni in cui Emmy ottenne notorietà internazionale recandosi nel 1929 anche in visita a Mosca⁶.

(continua)

Bibliografia

• Enigmi per decifrare il mondo, Cumrun Vafa – Edizioni Dedalo
• Rivoluzioni matematiche: il teorema di Noether, Edoardo Provenzi – Le Scienze
• Appunti per il corso di Fisica Matematica, Settore di Ingegneria dell’Informazione. Anno accademico 2016–2017 Giancarlo Benettin
• Ask Ethan: How do symmetries lead to conservation laws? https://bigthink.com/starts-with-a-bang/symmetries-conservation-laws/
• The preserving forces of Emmy Noether’s legacy https://medium.com/@uriitai/the-preserving-forces-of-emmy-noethers-legacy-a5e4a794b87c
• Emmy Noether, genio matematico https://www.galileonet.it/emmy-noether-genio-matematico

1. Nonostante la validità della sua Tesi di Dottorato, in seguito lei stessa disse di non essere completamente soddisfatta del suo lavoro. ↩︎
2. Si tratta del gruppo di rotazioni nello spazio euclideo a tre dimensioni R³ si chiama SO(3) ↩︎
3. Le funzioni che possiedono le proprietà sopra descritte ed inoltre sono differenziabili (come quelle del nostro caso) si chiamano diffeomorfismi ↩︎
4. In realtà il lavoro di Noether include due teoremi, di cui il primo (quello qui discusso) è il più noto. ↩︎
5. La Prima guerra mondiale è terminata il giorno 11 novembre 1918 alle ore 11:00, a seguito dell’armistizio di Compiègne firmato poco prima in un vagone ferroviario che venne fatto esplodere da Hitler nel 1940 dopo la caduta di Parigi. ↩︎
6. Emmy era una pacifista di idee socialiste; questo comunque non la metteva al riparo dai sospetti che nutrivano le persone nei suoi confronti. All’epoca il confine fra socialismo e deriva eversiva bolscevica era molto sottile. ↩︎