Il calendario è un sistema per organizzare unità di tempo con lo scopo di misurare periodi di tempo più o meno lunghi; la più piccola unità di misura del calendario è il giorno. Ad oggi esistono tantissimi calendari differenti, ognuno con la propria storia; in generale possiamo classificarli in:

• Calendari che si basano su cicli astronomici ripetuti secondo regole fisse.
• Calendari che si basano su cicli periodici astratti che non hanno alcun significato astronomico.
• Calendari che si basano su osservazioni astronomiche (nel senso che, indipendentemente dalla teoria matematica di base occorre che qualcuno osservi fisicamente il fenomeno astronomico alla base del calendario).
• Calendari che si basano su leggi scritte in passato e che perdurano come tradizione.

Lo scopo di ogni calendario è di organizzare il tempo in unità minime adatte a soddisfare le esigenze della società e di illudere l’uomo di avere un senso di controllo sul tempo, ed ogni società presente o passata ha inventato un proprio calendario in funzione della propria cultura.

Ogni calendario si fonda su alcune basi astronomiche, le quali determinano l’unità di misura e i suoi multipli. Esse sono:

• Il giorno: rappresenta la base astronomica di ciascun calendario e si fonda sulla rotazione terrestre sul proprio asse (la più piccola unità di misura).
• Il mese: basato sulla rivoluzione della Luna intorno alla Terra (la più comoda misura temporale per pianificazione a breve termine)
• L’anno: basato sulla rivoluzione della Terra intorno al Sole (la più comoda per l’agricoltura).

Siccome questi cicli non sono composti di un numero intero di giorni, non rappresentano unità commensurabili fra loro ma soprattutto non sono costanti nel tempo, ne risulta che la costruzione di un calendario non è una procedura semplice. Prima di entrare nel dettaglio, iniziamo a dare una serie di definizioni di base che ci torneranno utili in seguito per capire la matematica dei calendari:

Giorno Giuliano (JD): rappresenta il numero di giorni trascorsi dal 1 gennaio 4713 a.C. ore 12:00 di Greenwich. Esso costituisce un ‘datario’ unificato usato in astronomia per confrontare giorni di calendari differenti ed avere una base di confronto fra date di calendari diversi.

T: viene definito come il tempo trascorso 1◦ gennaio 2000, ore 12   misurato in secoli giuliani. Esso è calcolato con la seguente formula:

T = \frac{(JD – 2451545.0)} {36525}

Anno tropico: è l’intervallo medio di tempo fra due passaggi del Sole all’equinozio vernale e corrisponde al ciclo delle stagioni. In accordo con la teoria degli elementi orbitali di Laskar, possiamo calcolare l’anno tropico (in giorni) in base alla seguente formula:

A_{t} = 365.2421896698 – 0.00000615359 * T – 7.29 * 10^{-10} T^2 + 2.64 *10^{-10} * T^3

L’intervallo fra un particolare equinozio ed il successivo non è costante può variare di diversi minuti; attualmente vale  365.24222 giorni → 365 giorni 5 ore 48 minuti e 48 secondi.

Mese sinodico: è l’intervallo medio fra due congiunzioni Sole – Luna e corrisponde al ciclo delle fasi lunari. In base alla teoria di Chapront possiamo calcolarlo (in giorni) in base alla seguente formula:

M_{s} = 29.5305888531 + 0.00000021621 *T – 3.64 * 10^{-10} *T^2 

Anche il ciclo lunare medio non ha un periodo costante, ma si discosta dalla media anche di 7 ore; si definisce infine  un anno lunare come l’insieme di 12 lunazioni consecutive. In media vale 29,5305882 giorni → 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,8 secondi.

Il tempo T viene definito in base al secolo giuliano del Tempo Dinamico Terrestre, il quale non dipende dalla durata della rotazione terrestre, ne consegue che  l’anno tropico (ed il mese sinodico) sopra calcolati fanno riferimento al giorno ideale composto da 86400 secondi di tempo atomico internazionale (TAI).

Astronomicamente parlando, possiamo distinguerne tre diversi tipologie:

• Calendari solari: costruiti per mantenere in sincronia l’anno tropico, e quindi il ciclo delle stagioni. Il nostro calendario gregoriano ne è un esempio.
• Calendari lunari: seguono il ciclo lunare senza tener conto dell’anno tropico. Un esempio di calendario lunare è quello islamico. Come conseguenza calendari di questo tipo si sfasano progressivamente dal calendario gregoriano.
• Calendari lunisolari: i mesi seguono il ciclo lunari, ma all’interno di un ciclo, vengono introdotti dei mesi intercalari per far tornare in fase  il calendario con l’anno tropico. Il calendario cinese o ebraico ne sono un esempio.