Archivi categoria: Esopianeti

Nuovi mondi

Metodo della velocità radiale

La tecnica indiretta della velocità radiale per l’individuazione di esopianeti rappresenta il passo successivo dell’astrometria. Sappiamo quanto è difficile misurare con esattezza la varizione di posizione di una stella in cielo, ma gli astronomi sono in grado di sfruttare ugualmente le perturbazioni gravitazionali indotte dal pianeta sulla stella ospite effettuando non misure di posizione, bensì sfruttando le variazioni di velocità indotte sulla stella ospite.

Il principio base su cui poggia il metodo della velocità radiale risiede nell’effetto Doppler, ovvero il cambiamento di frequenza dovuta ad una sorgente in movimento rispetto all’osservatore.

Spesso i due termini vengono scambiati fra loro, ma in realtà identificano la stessa procedura.

L’esempio dell’ambulanza per spiegare l’effetto Doppler Fonte: https://www.frascatiscienza.it/2013/12/e-on-line-la-19-puntata-di-radioscienza-leffetto-doppler

Abbiamo visto come la soluzione del problema di Keplero nel caso di due corpi (stella ed esopianeta) sia due ellissi; se consideriamo la proiezione dell’orbita lungo la linea di vista dell’osservatore si nota che la stella ospite si avvicina e si allontana da Terra, di conseguenza, le sue linee spettrali si sposteranno verso il blu (quando si avvicina) o verso il rosso (quando si allontana) in maniera periodica.

radial velocity
Fonte: http://www.astronomynotes.com/solfluf/s12.htm

Il primo a proporre questo tipo di metodo fu Otto Struve (1897 – 1963), ma come spesso accade, con la tecnologia del tempo gli errori di misura e i limiti tecnologici rendevano impossibile sfruttarlo per l’osservazione di pianeti extrasolari; bisognava aspettare. Il primo esopianeta ad essere scoperto con effetto Doppler fu \gamma Cephei (Alrai) nel lontano 1988; ma sebbene nuove misure misero in discussione tale scoperta, solo nel 2000 si ebbe la conferma che effettivamente si trattava di un esopianeta (Alrai ab) di circa di 1,5 masse gioviane. Fu quindi nel 1995 che Mayor e Queloz scoprirono il primo vero esopianeta con questa metodologia: 51 Pegasi b. Oggi (2018) la tecnologia è ancora migliorata: lo spettrografo cileno HARPS (High Accuracy Radial velocity Planet Searcher), operativo dal 2002, è in grado di misurare, per confronto con spettri di riferimento, misure di velocità radiali (e quindi varizioni di velocità della stella ospite) inferiori a 1 m/s (3,6 Km/h), ovvero una frazione millesima di pixel di una immagine CCD.

Valori così piccoli di velocità sono del tutto plausibili; per capire come si possa raggiungere precisioni estreme si osservi la seguente figura:

I principali parametri orbitali di un corpo celeste (Fonte: vedi riferimenti)

Essa illustra i principali parametri di riferimento orbitali di un piano orbitale (inclinato) di un corpo celeste (pianeta) rispetto al cielo (piano tangente alla sfera celeste). Entrando in dettaglio, definiamo i parametri principali e le ipotesi di lavoro:

  • l’osservatore si trova in basso e guarda il disegno lungo l’asse z
  • la lettera N indica il nodo ascendente (notare il pano orbitale che attraversa il piano celeste dal basso a sinistra all’alto a destra)
  • la lettera \gamma indica il nodo ascendente.
  • la lettera (ω \pi) indica l’angolo fra il punto di massimo avvicinamento alla stella (pericentro) e il punto in cui il corpo nel suo moto attraversa il piano di riferimento da Sud a Nord (nodo ascendente). La differenza rispetto a \pi indica che l’orientazione è opposta alla direzione dell’asse x.
  • I è l’inclinazione del piano orbitale rispetto piano di riferimento celeste (eclittica)

Usando questo sistema di coordinate, si possono calcolare le componenti dei vettori del piano orbitale lungo la base vettoriale (i, j, k) degli assi coordinati (x, y, z). La soluzione porta a tre formule poco utili ai nostri fini, quindi di solito si preferisce applicare una trasformazione di coordinate per ottenere le stesse espressioni in termini (v, \theta), ovvero velocità e vettore angolare posizione (più semplici da usare).

La soluzione delle equazioni è la tupla (vx(\theta), vy(\theta), vz(\theta)) ove le tre componenti hanno le seguenti espressioni:

component_x

component_y

component_z

Dove \theta è la posizione corrente del pianeta lungo la sua orbita nel tempo (ovvero \theta (t)): un’orbita completa corrisponde ad una variazione di \theta di 360°. Il parametro a è, come sempre, il semi asse maggiore mentre P è il periodo (che è possibile calcolare in base alla periodicità dello spostamento delle righe spettrali).

Inoltre :

  • dato che in questo sistema di riferimento inerziale il baricentro rimane fisso, possiamo affermare che la distanza del pianeta e della stella variano in maniera proporzionale in funzione delle due masse Ms (massa della stella) e Mp (massa dell’eso pianeta).
  • ai fini del procedimento solo la componente del moto lungo la direzione di osservazione contribuisce all’effetto doppler, ovvero visto che l’osservatore guarda dal basso lungo la direzione z, consideriamo il solo contributo vz.

Aggiungendo le due precedenti considerazoni nella soluzione (v, \theta), possiamo calcolare l’ampiezza finale della variazione di velocità radiale (Vz) in funzione di vz e delle masse del sistema. Si ottiene:

La varizione dello spostamento Doppler è data dalla nota formula:

Dove c e la velocità della  luce, \Delta \lambda è la variazione della lunghezza d’onda a seguito dello spostamento dello spettro ed infine \lambda (t) è il valore della lunghezza d’onda misurata spettroscopicamente a riposo. Possiamo sostituire quindi tutte le variabili note nelle equazioni precedenti e ricavare per inversione il valore di Mp(la massa dell’esopianeta).

Le formule precedenti ovviamente forniscono solo il valore minimo della massa dell’esopianeta.

Per avere un’idea dell’ordine di grandezza delle misure di velocità, applichiamo per esempio la formula precedente al Sistema Solare per capire le variazioni di velocità che i pianeti impongono al Sole (trascurando sempre l’effetto degli altri N-1 pianeti):

Pianeta a (Km) M(Kg) M(1030Kg) e P (giorno) Ae (m/s)
Terra 1,496 x 108 5,972 x 1024 1,989 0,017 365 8,95 x 10-2
Giove 7,784 x 108 1,899 x 1027 1,989 0,048 4332,550 12,5
Saturno 14,3353 x 109 5,68 x 1026 1,989 0,0565 10767,5 2,77

La Terra è riportata solo per confronto, comunque si nota come Giove imponga al Sole una variazione di velocità radiale di circa 12,5 m/s, mentre Saturno (più lontano e più piccolo) di 2,7 m/s.

Il problema inizia a diventare più complesso quando ci sono n esopianeti che orbitano intorno alla stella ospite: in questo caso ogni pianeta aggiunge il suo contributo all’ampiezza Ae, e la formula si complica un pò, perché deve tener conto delle masse Mi degli altri compagni del sistema planetario. Sotto l’ipotesi che le orbite dei pianeti non si influenzino a vicenda, possiamo  sommare i singoli contributi della coppia k (stella ospite, esopianeta), per cui  possiamo applicare la seguente relazione (qui riportata solo per la componente x delle coordinate):

La tecnica delle velocità radiali possiede pregi e difetti: anzitutto gli spettrometri devono essere progettati per raccogliere tanta luce: dato che la quantità di luce che arriva ad un telescopio dipende (anche) dall’inverso del quadrato della distanza, questo vuol dire che più è lontano il sistema planetario, più complicato sarà il sistema di raccolta/elaborazione della luce. Anche per questa metodologia, entra in gioco il fattore tempo: occorre analizzare il fenomeno per più periodi P prima di avere una misura accettabile dal punto di vista sperimentale.

Ad oggi (Aprile 2018), il database http://exoplanet.eu/catalog/ riporta 749 gli esopianeti scoperti con il metodo delle velocità radiali; cliccando sull’immagine pdf qui sotto c’è la lista completa.

Lista degli esopianeti scoperti con il metodo di DIrect imaging (Aprile 2018)

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica basata sulla velocità radiale.

Il video originale si trova sulla pagina della NASA nella sezione esopianeti: https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/vid/radial_velocity.mp4 

Bibliografia

Astrometria

L’astrometria e’ un metodo diretto molto antico per la ricerca di esopianeti: come dice il nome, questa disciplina si occupa della misura delle stelle in termini di posizione e distanza nel cielo. I primi tentativi fruttuosi di questo metodo furono messi a punto da Friedrich W. Bessel (1784 – 1846); nel 1844 ipotizzò la presenza di una stella compagna di Sirio (Sirio B) e di Procione (Procione B). Basandosi su questi successi altri astronomi  utilizzarono questa metodologia per affermare di aver trovato esopianeti intorno ad altre stelle come fece Peter van der Kamp (1901 – 1995) quando disse di aver trovato un esopianeta in orbita intorno alla stella di Barnard (ipotesi in seguito rivelatasi falsa).

In realtà l’impiego di questa metodologia è piuttosto limitato perché si fonda sulla capacità di fornire misure estremamente precise della posizione delle stelle in cielo e molto spesso quest’ultime sono invalidate dal rumore di fondo della misura, che porta a un SNR (Signal to Noise Ratio) molto basso cosicché la misura fatica a distinguersi dal rumore. Come sempre lo spazio ci viene in aiuto; in particolare negli anni ’90 del secolo scorso la missione ESA dal nome Hipparcos (http://sci.esa.int/hipparcos/) ha felicemente portato a termine la misura astrometrica di centinaia di migliaia di stelle in cielo con una precisione di 10-3 arco secondi. Tornano nel nostro secolo, nel 2013 una seconda missione dal nome GAIA (http://sci.esa.int/gaia/ – sempre dell’ESA), sta lavorando per catalogare la posizione di stelle con magnitudine estremamente bassa.

Per dare un’idea di quanto sia difficile scoprire un esopianeta con misure di astrometria, affrontiamo il problema dal punto di vista fisico e geometrico, introducendo – come al solito – alcune semplificazioni che però non alterano il procedimento di base.

Consideriamo, la coppia stella – esopianeta come un sistema a due corpi, ed ignoriamo tutto il resto (influenza gravitazionale, dovuta alla presenza di altri esopianeti nello stesso sistema planetario, …) e avanziamo alcune considerazioni di base.

Grazie a Keplero sappiamo che le equazioni che determinano il moto di entrambi i corpi sono due ellissi: la prima ellisse descrive l’orbita del pianeta mentre l’altra ellisse descrive l’orbita della stella. Le due orbite sono legate gravitazionalmente fra loro; questo vuol dire che entrambi i corpi orbitano intorno ad un comune centro di massa; così come vediamo dalla seguente animazione:

Esempio di una soluzione al sistema dei due corpi A e B: entrambi ruotano intorno ad un comune centro di massa (Disegno dell’autore)

Dal punto di vista del primo corpo A è come se la presenza dell’altro corpo B provocasse sul primo un ‘dondolio orbitale’ intorno al centro di massa del sistema binario. Questa variazione di posizione è rilevabile (teoricamente) dallo spostamento della stella in cielo: un vero e proprio violento strattone gravitazionale. Ecco perché è così importante avere dei parametri di riferimento molto accurati sulle attuali posizioni stellari in cielo: osservando il dondolio stellare (ovvero l’orbita della stella ospite) è possibile dedurre la presenza di un esopianeta. Di conseguenza:

l’osservatore percepirà il moto oscillatorio periodico della stella ospite come una perturbazione che l’esopianeta induce su di essa.

Tornando al problema dei due corpi, come riportato a questo link http://scienceworld.wolfram.com/physics/Two-BodyProblem.html, sappiamo che la posizione del centro di massa Cm dipende dal rapporto delle masse dei due corpi: maggiore è la massa della stella ospite Ms e proporzionalmente più spostato in direzione della stella (eventualmente anche all’interno di essa) sarà il centro il centro di massa Cm.

Il centro di massa Cm nel sistema dei due corpi. (Disegno dell’autore)

In formule abbiamo:

Come sempre a rappresenta il semiasse maggiore dell’orbita del pianeta ed Mp e’ la massa dell’esopianeta. La distanza b rappresenta il valore del semi asse maggiore dell’orbita della stella ospite.

Come spiegato per la metodologia di direct imaging, la risoluzione angolare è proporzionale al semi asse maggiore dell’orbita della stella (ovvero b in questo caso), e inversamente proporzionale alla distanza di da cui vediamo il sistema stella – esopianeta. Utilizzando la formula per piccoli angoli, si ricava quindi:

Riassumendo: la separazione angolare fra la stella e il pianeta  (e quindi il grado di identificazione dell’esopianeta) è tanto maggiore quanto maggiore è la massa del pianeta e quanto più è distante dalla sua stella ospite, oppure, ceteris paribus, minore è la massa della stella e maggiore sarà la separazione angolare.

Applichiamo la formula precedente al Sistema Solare, in particolare ad ogni coppia Sole – pianeta (Sole – Mercurio, Sole – Venere, …) e, per semplicità, consideriamo solo il contributo del singolo pianeta, trascurando gli effetti degli altri 7 pianeti. Ecco la tabella con il calcolo di b:

Pianeta Semi asse maggiore
(UA)
Massa Pianeta
( in Masse terrestri)
Massa Sole (Kg) Mp/Ms*a
Mercurio 0,3870 0,055 1,989 x 1030 9,61544
Venere 0,7230 0,815 1,989 x 1030 2,64806 x102
Terra 1,0000 1,000 1,989 x 1030 4,49296 x 102
Marte 1,5240 0,107 1,989 x 1030 7,35398 x 101
Giove 5,2000 318,000 1,989 x 1030 7,42957 x 105
Saturno 9,5400 95,000 1,989 x 1030 4,07197 x 105
Urano 19,1900 14,520 1,989 x 1030 1,25191 x 105
Nettuno 30,1000 17,150 1,989 x 1030 2,31934 x 105

Si nota che Nettuno, che ha una massa poco più grande di Urano, ha un valore di b più elevato di quest’ultimo, dovuto proprio alla maggiore distanza dal Sole. Ovviamente Giove, anche se più vicino di altri, vince facilmente questa classifica, grazie alla sua massa.

In questo ragionamento manca un parametro importante: l’inclinazione dell’orbita del pianeta: finora abbiamo sottinteso che l’angolo dell’osservatore rispetto all’orientazione dell’orbita sia il più favorevole possibile per l’identificazione, in modo che ci consenta di beneficiare di misurare la massima estensione di b, e quindi indirettamente conoscere la vera estensione dell’orbita (ovvero della perturbazione indotta) della stella. In generale, possiamo notare solo la proiezione sul piano perpendicolare a quello di vista (rispetto all’angolo di inclinazione \alpha), ottenendo così dei valori di  \theta inferiori.

Variazione di b in funzione dell’angolo fra piano orbitale e direzione di vista dell’osservatore

Dal disegno abbiamo, infatti, che:

Quanto più’ \theta è piccolo, più difficoltosa risulta l’individuazione del pianeta.

Un’ultima considerazione da fare: anche in questo caso occorrono più survey sulla stessa stella (e pazienza …) prima di confermare la presenza di un esopianeta per diminuire gli errori di stima sui parametri. Inoltre il tempo di osservazione dipende dal periodo P dell’orbita della stella: lavorando infatti sempre nelle migliore ipotesi di osservazione, per trovare b (il semiasse maggiore) occorre che la stella abbia percorsa almeno un periodo. Utilizzando la terza legge di Keplero siamo in grado di calcolarne anche il valore:

Sotto la condizione Ms >> Mp, la formula precedente si semplifica così:

Da cui l’unica incognita è P.

Il sito http://exoplanet.eu/catalog/ riporta un  solo esopianeta confermato con questa tecnica di indagine: si tratta di HD 176051 b, un pianeta gioviano scoperto nel 2010 che orbita intorno ad un sistema binario con un periodo P = 1016 (± 40) giorni.

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica basata sull’astrometria.

Il video originale si trova sulla pagina della NASA nella sezione esopianeti: https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/vid/astrometry.mp4 

Bibliografia

  • Strani mondi – Ray Jayawardhana – Codice Edizioni
  • Transiting Exoplanets – Carole A. Haswell

 

Direct imaging

Come dice la parola stessa, con la metodologia di direct imaging si cerca di individuare gli esopianeti direttamente da un’immagine fotografica: le fotografie ricevute dalle sonde spaziali mandate in esplorazione nel Sistema Solare sono un esempio molto banale dell’applicazione del metodo dell’analisi diretta.  Grazie alle fotografie delle sonde gli astronomi hanno potuto creare dei modelli atmosferici, verificare la presenza di un sistema di anelli e scoprire la presenza di lune intorno al pianeta. Dato che ancora non ci sono sonde che hanno esplorato altri sistemi planetari eccetto il nostro, per ora dobbiamo basarci sulle immagini che i telescopi registrano da terra (o dallo spazio), e tener presente di quanto sia debole la luce che viene riflessa dal pianeta rispetto a quella generato dalla sua stella ospite.

Bisogna tener presente che spesso non basta affatto una sola fotografia per confermare la presenza di un esopianeta; tutti i metodi utilizzati, in particolare l’osservazione diretta, richiedono diverse survey del cielo sulla stella ospite candidata; questo porta ad avere una enorme quantita’ di dati da analizzare al termine delle osservazioni (big data). Dato che oggigiorno i survey vengono compiuti in maniera automatica dai computer, l’analisi dei dati non puo’ essere condotta dagli astronomi a mano (rischierebbero di essere sommersi da una mole elevata di dati che si accoderebbero in attesa di essere elaborati), ma non puo’ essere condotta neanche dai computer, in quanto sarebbero comunque ‘troppo lenti’. Per questo motivo vengono implementati metodi statistici euristici che fanno una valutazione in seno probabilistico su ogni osservazione, diminuendo la quantita’ di dati grezzi da analizzare e limitandosi ai candidati migliori. Una volta trovati questi ultimi, si prosegue con indagini piu’ approfondite per verificare l’ipotesi di effettiva presenza di esopianeta basandosi sulla debole luce riflessa del pianeta.

Questo fatto lascia già intuire quanto sia difficile utilizzare questo metodo; facciamo un esempio considerando il Sistema Solare. Ogni pianeta riflette una quantità di luce solare che dipende dalla distanza dal Sole e dalla sua riflettività; il grafico seguente illustra la distribuzione di luminosita’ per il Sole e di altri pianeti del Sistema Solare, in funzione della banda di osservazione:

Luminosita’ di alcuni pianeti del Sistema Solare in funzione della banda di osservazione

Se seguiamo la differenza dell’andamento del grafico di luminosita’ per Sole e Giove (il pianeta piu’ grande fra gli otto), notiamo che nella banda del visibile il valore massimo di luminisita’ del Sole si trova intorno a 500 nm: il rapporto di luminosita’ rispetto a Giove nello stesso intervallo di banda e’ pari a circa 109, ovvero 1 miliardo!!. Se seguiamo l’andamento dello spettro per i due oggetti, notiamo che la differenza si affievolisce a mano a mano che aumenta la lunghezza d’onda, fino ad arrivare a un nuovo minimo sui 6000 nm circa, ovvero nel medio infrarosso. Quindi, se un ipotetico extraterrestre volesse avere maggiori chance di osservazione per individuare esopianeti intorno al Sole, (a parita’ di ogni altra condizione) dovrebbe spostarsi  nell’infrarosso, dove il rapporto di luminosità scende a circa 105 e migliorano le condizioni di contrasto. Questo concetto si estende ad ogni sistema planetario e, proprio per questo motivo, la ricerca di esopianeti lavora in diverse bande dello spettro, dando maggior importanza alle bande di emissioni dove e’ piu’ favorevole il rapporto di luminosita’ fra esopianeta e stella ospite.

l fattori di luminosita’ della stella/pianeta non sono gli unici parametri da considerare per lo studio degli esopianeti con metodi di osservazione diretta: anche la distanza del sistema planetario dalla Terra costituisce un fattore discriminante per l’impiego di questa metodologia. Banalmente, piu’ un pianeta e’ lontano da noi, e minore sara’ la sua luminosita’ apparente, quindi più difficile e’ la sua individuazione. Infatti, la capacità di risoluzione del pianeta diminuisce con la distanza d di osservazione, ma aumenta quanto più il pianeta possiede un’orbita distante dalla sua stella ospite. Supponendo di metterci nelle migliori condizioni  di vista, se consideriamo l’ipotesi di una distanza d molto grande, allora possiamo usare l’approssimazione per piccoli angoli, e sostituire il seno con il suo angolo:

separazione angolare: formula per piccoli angoli
Separazione angolare fra stella e pianeta (disegno dell’autore)

ove d è la distanza dall’osservatore, \theta e’ l’angolo di separazione fra pianeta e la sua stella ed infine a è il semiasse maggiore dell’orbita planetaria. Dal punto di vista di della precisione strumentale, a parita’ di distanza da noi, quanto piu’ il pianeta e’ distante dalla stella, piu’ grande sara’ l’angolo di separazione, e quindi individuabile con telescopi con potere risolutivo minore (quindi ‘meno precisi’). Combinando i due fattori appena desritti (distanza e luminosita’) possiamo dire che non tutti i tipi di stelle sono adatte all’analisi per direct imaging; le stelle piu’ vicine a noi offrono maggiori possibilita’, in particolare le nane rosse (classe spettrale M), in quanto a causa della minore luminosita’ intrinseca, aumentano naturalmente il rapporto fra luminosita’ del pianeta e luminosita’ della stella ospite.

Una metodologia alternativa (anche se le due cose possono coesistere insieme), per rendere visibile il pianeta immerso nella luce della sua stella ospite, è quella di oscurare in qualche modo, proprio la luce della stella ospite, in modo da far emergere dall’oscurità la luminosità dell’esopianeta. L’utilizzo di un coronografo è quello che fa al caso opportuno.

Esempio di un coronografo per oscurare il Sole usato dalla sonda Soho

L’esempio classico di un coronografo è quello utilizzato dalla sonda Soho per oscurare il disco solare (vedi immagine sopra) per studiarne la corona e le protuberanze: un tale strumento può aiutare a mettere in risalto in pianeta, prima messo in ombra dalla luce della stella ospite. In passato (2011) la NASA aveva proposto una missione chiamata Terrestrial Planet Finder, allo scopo di trovare esopianeti di tipo terrestre  che si basavano sull’utilizzo di un array di telescopi ed un coronografo in grado di schermare la luce della stella, ma ad oggi, la missione risulta essere annullata.

Nel 2008 Hubble, con un coronografo montato su esso, è riuscito a individuare prima un disco di accrescimento di polveri intorno a Fomalhaut (Piscis Austrini) e in seguito (2012 e anni  seguenti) a confermare la presenza di un esopianeta Fomalhaut b alla distanza di circa 115 U.A.

Immagini a falsi colori di Fomalhaut b ripreso dall’HST

Il sito  http://exoplanet.eu fornisce l’accesso gratuito a un catalogo gratuito di tutti exoplaneti scoperti (e non solo) profilati per diverse caratterisitiche. Ad oggi (Febbraio 2018) sono presenti 92 pianeti confermati grazie al direct imaging. Qui sotto un grafico che mostra gli esopianeti scoperti con questa metodologia anno per anno in funzione del loro semi asse maggiore.

Esopianeti scoperti con il metodo di direct imagin anno per anno in fuzione del semi asse maggiore

Clicca sull’immagine pdf qui  sotto per la lista dei pianeti scoperti con la metodologia del direct imaging.

Lista degli esopianeti scoperti con il metodo di DIrect imaging (Febbraio 2018)

 

Qui sotto riporto una bellissima demo animata che riassume in un video quanto detto sul metodo di direct imaging.

Il video si trova questa pagina della NASA nella sezione esopianeti: https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/vid/astrometry.mp4 

Bibliografia