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Nuovi mondi

Microlensing

La metodologia microlensing sfrutta l’effetto lente, previsto dalla relatività generale e dovuto alla curvatura spazio-temporale, che un raggio di luce subisce quando passa in prossimità di un corpo celeste. Il principio su cui si basa è il seguente:

quando una stella B (lente) passa davanti ad una sorgente A sullo sfondo, B causa un’amplificazione e distorsione del segnale di luce proveniente da dietro (A); se la stella B che passa davanti ospita uno o più esopianeti, questi lasceranno un’impronta sulla curva di luce, raccolta visibile come uno o più spike (impulso) sulla curva di luce.

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Poichè l’effetto di curvatura spazio temporale generato da un corpo massiccio è noto solo dai tempi di Einstein, questa metodologia risale circa agli anni Trenta del secolo scorso. Inoltre siccome un raggio di luce viaggia sempre lungo una linea geodetica della geometria spazio-temporale in cui si trova, se osservando un oggetto A massivo molto distante, vi si frappone sulla nostra linea di vista un secondo corpo celeste B, la luce proveniente da quello più distante prima di giungere a noi verrà piegata dalla deformazione dello spazio generato dall’oggetto B che si è frapposto.

Se sorgente e lente sono perfettamente allineati, la sorgente verrà ingrandita da un effetto lente in un anello circolare, chiamato anello di Einstein. La relazione geometrica fra l’osservatore O, la sorgente lontana S e la stella che ospita l’esopianeta L è la seguente:

Relazione fra sorgente, osservatore e lente (disegno dell’autore)

Si può ricavare la dimensione angolare dell’anello di Einstein θE con la seguente equazione:

Dove M è la massa della lente, K una costante e (DL, Ds) sono le distanze dall’osservatore dalla lente e dalla sorgente rispettivamente. La costante:

si chiama raggio di Schwarzschild. Applicando la legge dei piccoli angoli si può calcolare anche il raggio dell’anello EL:

Per l’osservatore O è come se la luce provenisse da un angolo θal di sopra e al di sotto la sorgente all’interno della circonferenza. Supponendo l’osservatore sia posto a sinistra nel disegno precedente, il risultato sul piano di uscita uscente dal foglio è un anello di luce che circonda la posizione della sorgente come nella seguente figura:

Vista da sinistra del precedente disegno. La regione in verde rappresenta l’area del cerchio di Einstein (disegno dell’autore)

Dato che sia gli oggetti sotto osservazione che l’osservatore sono in moto, l’effetto lente è temporaneo e dura solo per il breve periodo di allineamento: per questo motivo l’identificazione di esopianeti pone limiti di tempo.

Supponiamo ora DL = Ds = D; l’effetto lente θE di una sorgente S posta ad una distanza 2*D da noi (ovvero ad una distanza doppia di quella fra noi e lente) è riportata nella seguente tabella:

Oggetto Ms D M/D θE (gradi) D (pc)
Arturo 2,14823E+30 3,48673E+19 61611573946 7,75E-07 11,3
Andromeda 2,44659E+42 2,40368E+24 1,01785E+18 0,003148254 779000

Dalla tabella sopra riportata, è evidente che una galassia come Andromeda, seppur molto distante, crea un anello di Einstein enormemente più grande rispetto ad Arturo per un ordine di grandezza pari a 104.

La tipica curva di luce osservata è nota come curva di Paczynsky ed è caratterizzata da un veloce aumento di luminosità mano a mano che la sorgente si avvicina all’allineamento con l’osservatore fino a raggiungere il massimo, quindi da un ritorno al valore iniziale.

L’ampiezza massima del grafico è funzione della distanza prospettica fra sorgente e stella: maggiore è la distanza, più grande sarà il massimo, quindi un valore di picco più alto. Minore è l’ampiezza, più piatta sarà l’andamento della curva di luce (http://m.wolframalpha.com)

Oltre alla registrazione dell’effetto di amplificazione (e distorsione) si registrerà anche uno spike addizionale che indica la presenza di un secondo oggetto più piccolo assieme alla stella B, come mostrato nella figura seguente (ingrandimento della regione di color rosa).

Curva di luce della sorgente in background.

I vantaggi di questa metodologia sono:

  • capacità di riconoscere anche sistemi multiplanetari con una singola curva di luce (verranno registrati più spike in una singola curva di luce)
  • capacità di identificazione di pianeti piccoli come quelli di tipo terrestre.
  • lo studio di possibili mondi anche molto lontani da noi.

La migliore condizione di operatività per la ricerca di esopianeti consiste nel puntare i telescopi nelle zone di cielo ove esistono regioni stellari densamente popolate (perchè si tratta di regioni con elevata massa concentrata in piccole zone di spazio) oppure cercare all’interno di nuclei galattici.

l principali inconvenienti risiedono:

  • nell’impossibilità di ripetizione dell’evento (spesso sono unici).
  • la disponibilità a monitorare una enorme quantità di stelle alla ricerca dell’effetto di microlensing.

Il primo caso di esopianeta scoperto con il metodo del microlensing è stato OGLE-2003-BLG-253. Anche in questo caso l’attribuzione del nome segue una convenzione precisa: la prima parte del nome identifica il team che per primo ha riportato la scoperta, quindi segue il nome del secondo team che ha contribuito. Possono seguire ulteriori lettere (L, S) per indicare la lente o la sorgente seguite ulteriormente da lettere minuscole che identificano la massa del pianeta.

OGLE (Optical Gravitational Lens Experiment) e MOA (Microlensing Observations in Astophisics) sono due progetti di collaborazione che lavorano con telescopi indipendenti per ricavare fotometrie e curve di luce di eventi di lensing: OGLE è una collaborazione nippo-neozelandese mentre MOA è una collaborazione polacca statunitense che utilizza un telescopio di 1,3 m posizionato in Cile.

Curva di luce di OGLE-2006-BLG-109 (Fonte; http://www.astronomy.ohio-state.edu/~microfun/ob06109)

Ad oggi (Settembre 2018) il database http://exoplanet.eu/catalog/ riporta 80 esopianeti confermati con il metodo microlensing; cliccando sull’immagine pdf qui sotto c’è la lista completa.

Lista degli esopianeti scoperti con il microlensing gravitazionale (Settembre 2018)

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica basata sul microlensing gravitazionale.

Il video originale si trova sulla pagina della NASA nella sezione esopianeti: https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/vid/gravitational_microlensing.mp4

Bibliografia

Metodo dei transiti

Un metodo indiretto molto diffuso (e forse anche il più conosciuto) di ricerca di esopianeti si basa sui transiti; questa metodologia ha origini molto antiche ed è lo stesso principio base che consente vedere sulla Terra i transiti dei pianeti interni, Mercurio e Venere, sul Sole. La sfida di calcolare in anticipo ed osservare i transiti di Venere e Mercurio è molto lunga e si collega alla definizione di unità astronomica (u.a); la sua importanza era talmente fondamentale che già nel 1600 Keplero elaborò un metodo matematico allo scopo di calcolare il passagio di Venere per gli annni successivi nazioni come Francia ed Inghilterra, in guerra per secoli per il predominio dei mari, si unirono in sforzi comuni per poter osservare il transito dai luoghi più remoti della Terra.

Il metodo dei transiti si basa sulla seguente affermazione:

Ogni volta che un pianeta si trova nella stessa direzione di vista dell’osservatore e passa davanti alla sua stella ospite, causa un abbassamento periodico della luminosità di quest’ultima secondo la sua dimensione.

Parte della luminosità della stella ospite infatti, è bloccata dalla presenza del pianeta stesso che si frappone fra l’osservatore e la stella. Da Terra, o dallo spazio, si registra quindi una variazione periodica della luminosità della stella nel tempo, pari al periodo di rotazione dell’esopianeta. Se proiettiamo la variazione di luminosità registrata della stella, vedremo che presenterà degli avvallamenti periodici nei punti in cui il pianeta transita davanti alla stella, oscurandone una parte del disco. Studiando la periodicità della curva di luce gli astronomi ricavano indicazioni sul periodo di rivoluzione del pianeta.

Ecco per esempio un’animazione che mostra un andamento tipico della variazione di luminosità (curva di luce) per un sistema con un solo esopianeta:

Transito di un esopianeta davanti alla sua stella e curva di luce. Fonte: http://astroutils.astronomy.ohio-state.edu/exofast

Nella parte superiore è rappresentata l’orbita del pianeta lungo la direzione di vista dell’osservatore, mentre nella parte inferiore viene disegnata la curva di luce rilevata da un sensore nel tempo. Dal grafico si distinguono le seguenti fasi:

  1. Primo e secondo punto di contatto e fase di immersione: calo progressivo del flusso di luminosità della stella.
  2. Luminosità più bassa per tutta la durata del transito.
  3. Terzo e quarto punto di contatto e fase di emersione: la luminosità della stella ospite torna ai valori iniziali.

In accordo con la suddivisione in fasi riportata sopra, per ogni transito vengono associate due durate distinte:

  • la durata totale Dt (total duration) calcolata dall’inizio di diminuzione di luminosità fino al ritorno alla luminosità iniziale (ovvero dal punto 1 al punto 3)
  • la durata piena Df (full duration) come periodo di tempo in cui il pianeta è completamente davanti alla superficie della stella (durata temporale del solo punto 2)

L’animazione evidenzia che le tre parti di cui si compone il grafico non sono costituiti da tre segmenti rettilinei, bensì sono in realtà delle curve. Anzitutto l’entrata ed uscita dal transito infatti NON è istantanea, occorre tempo prima che il pianeta entri/esca completamente nel disco stellare; si nota inoltre che anche l’adamento Df segue una curva. Questo effetto è dovuto al “limb darkening” (oscuramento al bordo), il fenomeno fisico per cui la luminosità della stella ospite non è uniforme su tutta la superficie, ma è più brillante al centro della linea di vista e più debole agli estremi della visione. Gli astronomi sono in grado di creare un modello statistico per valutare l’andamento della curva di limb darkening basandosi sui dati di fotometria e su altre informazioni della stella (metallicità, temperatura equivalente, gravità, …). Il modello più semplice utilizza un’approssimazione parabolica; si tratta quindi di stimare i coefficienti della quadrica a partire dai dati.

Ecco invece un esempio di curva di luce reale del sistema Kepler 324  in cui si evidenzia la periodicità di 51 giorni del pianeta  Kepler 324 c. Scoperto nel 2014, con il metodo dei transiti, ha un raggio stimato pari a 3.2 raggi terrestri. Il grafico sembra diverso da quello dell’animazione, ma facendo uno zoom nelle due zone di caduta di luminosità, si ritroverebbe l’andamento dell’animazione riportata sopra (nel limite degli errori di misura).

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Il grafico è stato ottenuto con uno script python che fa uso delle librerie kplr.

Dato che la frazione del disco della stella oscurata è proporzionale all’area del pianeta, la diminuzione della luminosità percentuale è funzione sia della dimensione del pianeta che della stella ospite. Indicando con  la variazione di luminosità con ΔL e con Rp ed Rs i raggi del pianeta e della stella si ha che la variazione percentuale del flusso di luminosità è data da:

Dalla variazione di L (quindi dall’analisi della curva di luce registrata dal telescopio) e insieme alla dimensioni della stella (usualmente stimate grazie ai modelli di fisica nucleare), gli astronomi possono stimare la massa del pianeta. Per dare un’idea degli ordini di grandezza in gioco in termini di variazioni percentuali, ecco una semplice tabella che applica la formula prededente per alcuni pianeti del nostro Sistema Solare.

Pianeta Raggio (Km) Raggio Sole (Km) ΔL/L
Terra 6,371 * 103 6,96 * 105 0,008379 %
Giove 6,9911* 104 6,96 * 105 1,0089 %
Saturno 5,8232 *104 6,96 * 105 0,7 %

Dalla tabella si ricava che il calo di luminosità dovuto al transito della Terra davanti al Sole è circa 120 volte più debole rispetto a quello causato da Giove che è circa 1 %.

Il metodo dei transiti, da solo, non basta per identificare la presenza di un esopianeta: bisogna saper escludere dai dati falsi positivi ed escludere, per esempio, che il calo di luminosità non sia imputabile ad un  altro fenomeno quale la variabilità intrinseca della stella (in questo caso si tratta di una stella variabile). Per questo motivo ecco che torna utile anche il metodo delle velocità radiali con il quale, assieme al metodo dei transiti, ci consente di stimare la massa del sistema. Come accennato prima, uno degli svantaggi di questo metodo è il fattore tempo: occorre studiare con continuità la luminosità della stella per una quantità di tempo abbastanza lunga, in modo da poter catturare nei dati la periodicità del transito. Tipicamente queste operazioni sono a carico di satelliti posti in posizione di vista favorevole, in cui possono sempre inquadrare il campo di osservazione con continuità tutto il giorno e l’analisi dei dati viene fatta periodicamente a posteriori una volta scaricati i dati da satellite.

L’efficacia del metodo dipende fortemente da quanto è inclinato il piano dell’orbita del satellite con il piano dell’osservatore; se è molto inclinato per esempio, allora il pianeta non riuscirà a coprire parte del disco della stella ospite e da terra, o dallo spazio, sarà impossibile notare il transito.

Rappresentazione geometrica di un transito con le principali variabili in gioco

La figura precedente mostra i rapporti geometrici fra l’inclinazione dell’orbita del pianeta rispetto al piano di vista e le dimensioni dei due corpi celesti; affichè il transito sia possibile occorre che valga la seguente diseguaglianza:

Solo in questo caso esiste ancora una frazione della superficie del pianeta che oscura un lembo del disco stellare. Facendo alcune considerazioni geometriche (vedi la voce Riferimenti) si può ricavare che la probabilità di osservazione P (transito) di un esopianeta è pari a:

La formula precedente suggerisce che il metodo dei transiti raccoglie migliori risultati per pianeti con orbita molto stretta (a) e/o stella ospite di grandi massa Ms (Mp è trascurabile). Con il metodo dei transiti è possibile anche risalire alla composizione chimica dell’atmosfera, perché durante il transito, la luce della stella ospite, passando attraverso di essa provoca un parziale assorbimento che dipende dalla composizione chimica stessa dell’atmosfera (se presente).

Lo spettro stellare è ben noto una volta che si conosce la sua classe spettrale; questo vul dire che gli astronomi sanno quali righe di emissione/assorbimento troveranno nella banda d’analisi. Il passaggio di un esopianeta causa la variazione dello spettro poichè a sua volta causa emissioni/assorbimenti che si sovrappongono ed interferiscono con lo spettro stellare. Questo consente di fare ipotesi circa la composizione atmosferica del pianeta,  la presenza di alcuni elementi chimici, ed infine (un pò utopisticamente) capire se esistono pianeti extrasolari in grado sostenere delle condizioni fisico/chimiche in grado di favorire lo sviluppo di organismi biologici.

Combinando tecniche di velocità radiale con il metodo dei transiti è possibile determinare le caratteristiche principali dell’esopianeta quali massa, raggio e densità utili per una classificazione generale.

Curva di luce di HD209458 b. Fonte: https://www.hao.ucar.edu/research/stare/hd209458.html

Il primo pianeta ad essere stato scoperto grazie al metodo dei transiti è stato HD209458 b. Ad oggi (Giugno 2018) il database http://exoplanet.eu/catalog/ riporta 2813 esopianeti confermati con il metodo dei transiti; cliccando sull’immagine pdf qui sotto c’è la lista completa.

Lista degli esopianeti scoperti con il metodo dei transiti (Giugno 2018)

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica dei transiti nel caso più generale di un sistema esoplanetario con N = 3 pianeti.

Il video originale si trova sulla pagina della NASA nella sezione esopianeti: https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/vid/transit_method_multiple_planet.mp4 

Bibliografia

  • Strani mondi – Ray Jayawardhana – Codice Edizioni
  • Transiting Exoplanets – Carole A. Haswell

Metodo della velocità radiale

La tecnica indiretta della velocità radiale per l’individuazione di esopianeti rappresenta il passo successivo dell’astrometria. Sappiamo quanto è difficile misurare con esattezza la varizione di posizione di una stella in cielo, ma gli astronomi sono in grado di sfruttare ugualmente le perturbazioni gravitazionali indotte dal pianeta sulla stella ospite effettuando non misure di posizione, bensì sfruttando le variazioni di velocità indotte sulla stella ospite.

Il principio base su cui poggia il metodo della velocità radiale risiede nell’effetto Doppler, ovvero il cambiamento di frequenza dovuta ad una sorgente in movimento rispetto all’osservatore.

Spesso i due termini vengono scambiati fra loro, ma in realtà identificano la stessa procedura.

L’esempio dell’ambulanza per spiegare l’effetto Doppler Fonte: https://www.frascatiscienza.it/2013/12/e-on-line-la-19-puntata-di-radioscienza-leffetto-doppler

Abbiamo visto come la soluzione del problema di Keplero nel caso di due corpi (stella ed esopianeta) sia due ellissi; se consideriamo la proiezione dell’orbita lungo la linea di vista dell’osservatore si nota che la stella ospite si avvicina e si allontana da Terra, di conseguenza, le sue linee spettrali si sposteranno verso il blu (quando si avvicina) o verso il rosso (quando si allontana) in maniera periodica.

radial velocity
Fonte: http://www.astronomynotes.com/solfluf/s12.htm

Il primo a proporre questo tipo di metodo fu Otto Struve (1897 – 1963), ma come spesso accade, con la tecnologia del tempo gli errori di misura e i limiti tecnologici rendevano impossibile sfruttarlo per l’osservazione di pianeti extrasolari; bisognava aspettare. Il primo esopianeta ad essere scoperto con effetto Doppler fu \gamma Cephei (Alrai) nel lontano 1988; ma sebbene nuove misure misero in discussione tale scoperta, solo nel 2000 si ebbe la conferma che effettivamente si trattava di un esopianeta (Alrai ab) di circa di 1,5 masse gioviane. Fu quindi nel 1995 che Mayor e Queloz scoprirono il primo vero esopianeta con questa metodologia: 51 Pegasi b. Oggi (2018) la tecnologia è ancora migliorata: lo spettrografo cileno HARPS (High Accuracy Radial velocity Planet Searcher), operativo dal 2002, è in grado di misurare, per confronto con spettri di riferimento, misure di velocità radiali (e quindi varizioni di velocità della stella ospite) inferiori a 1 m/s (3,6 Km/h), ovvero una frazione millesima di pixel di una immagine CCD.

Valori così piccoli di velocità sono del tutto plausibili; per capire come si possa raggiungere precisioni estreme si osservi la seguente figura:

I principali parametri orbitali di un corpo celeste (Fonte: vedi riferimenti)

Essa illustra i principali parametri di riferimento orbitali di un piano orbitale (inclinato) di un corpo celeste (pianeta) rispetto al cielo (piano tangente alla sfera celeste). Entrando in dettaglio, definiamo i parametri principali e le ipotesi di lavoro:

  • l’osservatore si trova in basso e guarda il disegno lungo l’asse z
  • la lettera N indica il nodo ascendente (notare il pano orbitale che attraversa il piano celeste dal basso a sinistra all’alto a destra)
  • la lettera \gamma indica il nodo ascendente.
  • la lettera (ω \pi) indica l’angolo fra il punto di massimo avvicinamento alla stella (pericentro) e il punto in cui il corpo nel suo moto attraversa il piano di riferimento da Sud a Nord (nodo ascendente). La differenza rispetto a \pi indica che l’orientazione è opposta alla direzione dell’asse x.
  • I è l’inclinazione del piano orbitale rispetto piano di riferimento celeste (eclittica)

Usando questo sistema di coordinate, si possono calcolare le componenti dei vettori del piano orbitale lungo la base vettoriale (i, j, k) degli assi coordinati (x, y, z). La soluzione porta a tre formule poco utili ai nostri fini, quindi di solito si preferisce applicare una trasformazione di coordinate per ottenere le stesse espressioni in termini (v, \theta), ovvero velocità e vettore angolare posizione (più semplici da usare).

La soluzione delle equazioni è la tupla (vx(\theta), vy(\theta), vz(\theta)) ove le tre componenti hanno le seguenti espressioni:

component_x

component_y

component_z

Dove \theta è la posizione corrente del pianeta lungo la sua orbita nel tempo (ovvero \theta (t)): un’orbita completa corrisponde ad una variazione di \theta di 360°. Il parametro a è, come sempre, il semi asse maggiore mentre P è il periodo (che è possibile calcolare in base alla periodicità dello spostamento delle righe spettrali).

Inoltre :

  • dato che in questo sistema di riferimento inerziale il baricentro rimane fisso, possiamo affermare che la distanza del pianeta e della stella variano in maniera proporzionale in funzione delle due masse Ms (massa della stella) e Mp (massa dell’eso pianeta).
  • ai fini del procedimento solo la componente del moto lungo la direzione di osservazione contribuisce all’effetto doppler, ovvero visto che l’osservatore guarda dal basso lungo la direzione z, consideriamo il solo contributo vz.

Aggiungendo le due precedenti considerazoni nella soluzione (v, \theta), possiamo calcolare l’ampiezza finale della variazione di velocità radiale (Vz) in funzione di vz e delle masse del sistema. Si ottiene:

La varizione dello spostamento Doppler è data dalla nota formula:

Dove c e la velocità della  luce, \Delta \lambda è la variazione della lunghezza d’onda a seguito dello spostamento dello spettro ed infine \lambda (t) è il valore della lunghezza d’onda misurata spettroscopicamente a riposo. Possiamo sostituire quindi tutte le variabili note nelle equazioni precedenti e ricavare per inversione il valore di Mp(la massa dell’esopianeta).

Le formule precedenti ovviamente forniscono solo il valore minimo della massa dell’esopianeta.

Per avere un’idea dell’ordine di grandezza delle misure di velocità, applichiamo per esempio la formula precedente al Sistema Solare per capire le variazioni di velocità che i pianeti impongono al Sole (trascurando sempre l’effetto degli altri N-1 pianeti):

Pianeta a (Km) M(Kg) M(1030Kg) e P (giorno) Ae (m/s)
Terra 1,496 x 108 5,972 x 1024 1,989 0,017 365 8,95 x 10-2
Giove 7,784 x 108 1,899 x 1027 1,989 0,048 4332,550 12,5
Saturno 14,3353 x 109 5,68 x 1026 1,989 0,0565 10767,5 2,77

La Terra è riportata solo per confronto, comunque si nota come Giove imponga al Sole una variazione di velocità radiale di circa 12,5 m/s, mentre Saturno (più lontano e più piccolo) di 2,7 m/s.

Il problema inizia a diventare più complesso quando ci sono n esopianeti che orbitano intorno alla stella ospite: in questo caso ogni pianeta aggiunge il suo contributo all’ampiezza Ae, e la formula si complica un pò, perché deve tener conto delle masse Mi degli altri compagni del sistema planetario. Sotto l’ipotesi che le orbite dei pianeti non si influenzino a vicenda, possiamo  sommare i singoli contributi della coppia k (stella ospite, esopianeta), per cui  possiamo applicare la seguente relazione (qui riportata solo per la componente x delle coordinate):

La tecnica delle velocità radiali possiede pregi e difetti: anzitutto gli spettrometri devono essere progettati per raccogliere tanta luce: dato che la quantità di luce che arriva ad un telescopio dipende (anche) dall’inverso del quadrato della distanza, questo vuol dire che più è lontano il sistema planetario, più complicato sarà il sistema di raccolta/elaborazione della luce. Anche per questa metodologia, entra in gioco il fattore tempo: occorre analizzare il fenomeno per più periodi P prima di avere una misura accettabile dal punto di vista sperimentale.

Ad oggi (Aprile 2018), il database http://exoplanet.eu/catalog/ riporta 749 esopianeti scoperti con il metodo delle velocità radiali; cliccando sull’immagine pdf qui sotto c’è la lista completa.

Lista degli esopianeti scoperti con il metodo della velocita’ radiale (Aprile 2018)

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica basata sulla velocità radiale.

 

Il video originale si trova sulla pagina della NASA nella sezione esopianeti: https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/vid/radial_velocity.mp4 

Bibliografia