Categoria: Astronomi e storia

Leggi di conservazione

By articolidiastronomia on 17/02/2025 • ( Lascia un commento )

In un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative l’energia meccanica totale si conserva

Questa affermazione, conosciuta come principio di conservazione dell’energia¹, era già nota ed applicata sin dal XIX secolo per la sua praticità sia in fisica che in altre discipline: la loro giustificazione si basava dall’osservazione empirica della natura, senza però associare una giustificazione fisica né conoscere alcuna ragione fondamentale di validità. Così come oltre all’energia, erano noti anche i seguenti due principi fisici di conservazione:

in un sistema isolato la quantità di moto si conserva
se il momento risultante delle forze esterne è nullo allora il momento angolare del sistema si conserva

Possiamo riformulare matematicamente il primo principio (conservazione dell’energia) associando l’energia totale $E_{T}(\dot{x}, x)$ di un corpo in movimento per un periodo $t \in [a, b]$ come somma del contributo dato da due fattori: dall’energia cinetica e da quella gravitazionale:

E_{T}(\dot{x}, x) = E_{K}(\dot{x}, x) + E_{P}(x)

Per il principio, la quantità $E_{T}(\dot{x}, x)$ è sempre costante durante il moto. Per risolvere l’equazione precedente si utilizzano le leggi della meccanica classica di Newton: ovvero si esprime il moto del corpo come sono funzioni vettoriali in $\mathbb{R}^3$ nell’intervallo temporale [a, b] durante i quali avviene il moto. Questo significa scrivere la funzione vettoriale che la traiettoria descrive nello spazio (x, y, z), ovvero la nota equazione della dinamica di Newton:

\vec{F(t)} = m\vec{a(t)}

A questa equazione vettoriale corrispondono tre equazioni scalari dove (x, y, z) sono le coordinate cartesiane ortogonali in un fissato sistema di riferimento: se dalla precedente equazione cambiamo sistema di coordinate (ad esempio coordinate cilindriche o polari) la soluzione, ovvero la traiettoria del corpo, non cambia ma l’approccio analitico diventa più difficoltoso. Si pensi ad esempio allo studio del moto di un pianeta intorno alla propria stella: si può descrivere sia in coordinate cartesiane (x, y) che in coordinate polari $(\rho, \theta )$ . Il secondo sistema di riferimento è sicuramente più pratico e più naturale da utilizzare.

Sarà possibile invece riscrivere le equazioni del moto in un sistema di riferimento indipendente? La risposta è sì, ed è quello che fece nel Settecento Lagrange quando suggerì un nuovo formalismo matematico che produceva gli stessi risultati fisici della meccanica newtoniana, ma basato su un nuovo principio: il principio di minima azione.

Riscriviamo intanto l’equazione dell’energia totale di un corpo come:

\mathcal{L(q, \dot{q}, t)} = T(q, \dot{q}, t) - V(q)

Sia $T(q, \dot{q}, t)$ l’enegia cinetica del sistema e $V(q)$ l’energia potenziale: si definisce lagrangiana la quantità $\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)$ . Questo nuovo formalismo consente di studiare il sistema fisico quando la formula di Newton possiede un approccio troppo complicato da risolvere, come ad esempio sistemi con vincoli (equazioni del pendolo semplice) o, appunto, le orbite dei pianeti. La lagrangiana quindi semplifica il problema utilizzando un sistema di coordinate generalizzate q. Lavorando sempre in un sistema conservativo, Lagrange infine dimostrò l’equivalenza tra l’equazione di Newton e la lagrangiana.

Definiamo ora funzionale azione lungo $t \in [a, b]$ il seguente integrale:

S = \int_{a}^{b} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt

Possiamo intuitivamente spiegare il funzionale azione come le somme degli eccessi dell’energia cinetica rispetto a quella potenziale calcolata per un quanto di tempo piccolo lungo tutta la traiettoria percorsa dal corpo.

Il problema di trovare la traiettoria del corpo nell’intervallo $t \in [a, b]$ a partire dall’integrale sopra definito, venne affrontato da Eulero utilizzando una tecnica che ha aperto la strada ad una nuova branca della matematica chiamata calcolo delle variazioni. L’impostazione che egli diede, nota come equazione di Eulero-Lagrange, si basa sulla ricerca degli estremali di $S$ .

Alcune possibili traiettorie da x₁ a x₂
Fonte: https://www.quantumuniverse.nl/

Per capire il concetto, si immagini l’azione come un valore associato ad ogni possibile traiettoria che un corpo potrebbe fare: ognuna di essa possiede un valore $S$ calcolato come “tante piccole somme degli eccessi”, dall’istante iniziale t = a fino ad all’istante finale t = b. Il moto naturale che un corpo seguirà è quello che rende stazionario il funzionale azione, ovvero risulta un valore minimo o massimo di $S$ . È come se la Natura volesse ridurre o limitare lo sforzo necessario per compiere il suo lavoro: la Natura, in un certo senso, è pigra.²

David Hilbert (1862 – 1943)
Fonte: https://www.famousmathematicians.net/david-hilbert/

Il lavoro di Eulero giustifica matematicamente la relazione fra entità conservate e principi newtoniani, senza però fornirne una giustificazione fisica. Nessuno poteva ancora sapere che agli inizi del XX secolo sarebbe stata sviluppata una teoria più generale che entra in gioco a complicare il problema quando un corpo è sottoposto agli effetti di una grande massa.

Nel novembre 1915 infatti Einstein pubblicò la Teoria della Relatività Generale nell’articolo Feldgleichungen der Gravitation – Preussische Akademie der Wissenschaften: un’estensione della meccanica newtoniana ma con un impianto matematico differente³. Secondo David Hilbert, un matematico contemporaneo al fisico tedesco, era necessario fornirne una dimostrazione matematica dei principi conservativi in questo nuovo contesto.

Prima ancora della pubblicazione, Einstein aveva già discusso nei mesi precedenti dello stesso anno l’argomento con i colleghi universitari, in particolare proprio con Hilbert, il quale riscrisse da zero la teoria di Einstein secondo il formalismo lagrangiano⁴.

Grazie a questo passaggio, il matematico tedesco aveva cercato di usare lo stesso approccio visto in precedenza per dimostrare la validità del principio di conservazione ma non fu in grado; invitò quindi Einstein a trovare una soluzione.

Albert Einstein: Integrazione approssimata delle equazioni del campo gravitazionale. Fonte: https://edition-open-sources.org/sources/10/4/index.html

Dopo un anno neanche il fisico tedesco riuscì a venirne a capo; quindi Hilbert decise di rivolgersi ad una persona che all’epoca era la sua assistente, la quale avrebbe avuto le competenze per analizzare il problema da una prospettiva diversa. Questa persona era Amalie Emmy Noether.

Nota

Uno spazio funzionale $\mathcal{F} ([a, b], \mathbb{R}^n)$ è l’insieme di tutte le funzioni $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ dove [a, b] è un intervallo di $\mathbb{R}$ I suoi elementi sono funzioni.

Bibliografia

Rivoluzioni matematiche: il teorema di Noether, Edoardo Provenzi – Le Scienze
Enigmi per decifrare il mondo, Cumrun Vafa – Edizioni Dedalo

Un sistema isolato è un sistema che non interagisce in alcun modo con l’ambiente circostante ed una forza conservativa è una funzione che dipende soltanto dalla posizione. ↩︎
Se vi fossero più soluzioni a questo problema, ogni soluzione produrrebbe un estremo (un minimo o un massimo) del funzionale. ↩︎
La gravitazione diventa con Einstein una proprieta’ della geometria dell’Universo ↩︎
Hilbert riscrisse la Teoria della Relatività nell’estate del 1915 ma non la pubblicò per rispettare il lavoro di Einstein; quindi decise di pubblicare il suo lavoro l’anno seguente. ↩︎

Cosmologia araba

By articolidiastronomia on 27/03/2014

Nell’astronomia islamica la struttura geometrica dell’Universo è quella descritta nell’Almagesto e nel Planisfero di Tolomeo: la Terra al centro dell’Universo ed otto sfere concentriche, una per ogni pianeta conosciuto, che servono a fornire un modello fisico della realtà.

L’Almagesto era noto anche agli arabi, in quanto era stato tradotto più volte fra VIII e IX secolo in siriano e in arabo; tali traduzioni correggevano, completavano ed aggiornavano i contenuti da un punto di vista sia pratico che teorico e diedero vita presso la comunità astronomica araba a commenti critici.

La cosmologia tolemaica si basava su una serie di sfere rigide e concentriche racchiuse una nell’altra, sulle quali i pianeti ruotano di moto uniforme, dove alla massima escursione di un pianeta seguiva immediatamente il punto più vicino della sfera del pianeta immediatamente esterno. Per riprodurre i moti apparenti dei pianeti esterni (il loro moto retrogrado), Tolomeo introdusse i deferenti in posizioni eccentriche rispetto alla Terra ed ipotizzò che i moti dei corpi celesti fossero uniformi rispetto all’equante. Si tratta di un punto immagine decentrato rispetto al centro della sfera celeste dal quale il Sole, ruotando intorno alla Terra, sperimenta un moto circolare uniforme.

Molti astronomi arabi consideravano quest’ultimo concetto inaccettabile per tre motivi: anzitutto l’equante toglieva perfezione al modello dato che era un artifizio per conservare il moto circolare uniforme, in secondo luogo era necessario proiettare il modello, e quindi le sfere, nella loro realtà fisica ed infine non risolveva il problema della variazione della distanza lunare intrinseco al modello Tolemaico. Secondo Tolomeo infatti il sistema di epicicli avrebbero portato ad una variazione massima del diametro lunare in cielo di un fattore due (fra apogeo e perigeo); un valore che non ha mai avuto alcun riscontro pratico con le osservazioni.

Alcuni astronomi si dedicarono allo studio di modelli planetari diversi da quello tolemaico e proposero una soluzione alternativa per ovviare a questi problemi, anche se spesso si trattava solo di disquisizioni filosofiche. Una prima critica avvenne da al-Haytham (965 – 1039) che si spinse a dichiarare sbagliati i modelli planetari; propose un modello dell’Universo basandosi su un proprio calcolo delle distanze planetarie, inserendo una nona sfera.

Averroè (1126 – 1198) avanzò a una critica ancora più estrema, ma propose un modello che però non era conciliante con la realtà dei moti celesti, al contrario sembra che al-Shātir (1304 – 1375) riuscì a eliminare l’equante, ma quale fu la sua soluzione rimase ignota all’Europa.

Doodle di Al-Tusi — Il doodle che Google ha dedicato ad Al-Tūsī. *Fonte*: www.google.com

Al-Tūsī (1201 – 1274), autore nel XIII secolo di una delle ultime revisioni critiche all’Almagesto e già direttore dell’osservatorio di Maragha, nel suo modello cosmologico mantenne la Terra al centro dell’Universo ma sostituì l’equante di cui era fortemente dubbioso, con un sistema di epicicli molto simili a quelli proposti da Copernico in rotazione uniforme; questa particolare soluzione portò gli arabi alla formulazione di un teorema, noto come coppia di al-Tūsī, che venne citato anche nel Commentariolus di Copernico 300 anni dopo.

La coppia di al-Tūsī era un dispositivo teorico in cui venne dimostrato come un moto oscillatorio e rettilineo poteva essere prodotto dalla combinazione di due moti circolari; un risultato in contrasto con la distinzione tra i moti circolari uniformi (riservati alle sfere celesti) e i moti rettilinei (propri del mondo sublunare).

Non si sa se Copernico fosse a conoscenza di tale sistema, ma certamente conosceva il lavoro di alcuni astronomi arabi fra cui al-Battānī dato che passò molto tempo in Italia (in particolare a Bologna, Firenze e Ferrara) fra il 1496 ed il 1503; sappiamo inoltre dagli storici che era possibile trovare a Roma all’inizio del Quattrocento le traduzioni dei manoscritti di al-Tūsī e si pensa che Copernico possa aver avuto accesso alla traduzione di questi testi.

E’ impresionante l’analogia dei due disegni sopra riportati che riportano la coppia di al-Tūsī così come appare nei manoscritti dei due astronomi.

Nonostante queste innovazioni però, gli astronomi islamici rimasero nei confini del modello geocentrico; c’è da chiedersi quindi quale fu allora la vera influenza degli studiosi arabi su Copernico? Certamente Copernico aveva in mente un modello cosmologico che rispecchiasse la realtà fisica del cielo, fosse più semplice del modello tolemaico, che funzionasse meccanicamente e che spiegasse il moto dei pianeti esterni. L’eliminazione dell’equante, necessaria ad una spiegazione più semplice dei moti celesti, fa sicuramente parte del bagaglio di conoscenze trasmesso dagli arabi all’Europa.

Un secondo merito degli arabi fu di introdurre e perfezionare gli strumenti nell’astronomia (strumenti molto grandi e scale graduate più fini), così come i calcoli nella geometria (l’introduzione del seno in sostituzione del concetto di corda), l’introduzione di nuove innovazioni tecnologiche (perfezionamento dell’astrolabio, libne …) ed infine l’introduzione di metodicità nelle osservazioni.

Dopo il 1500 l’astronomia islamica subì un declino; tutti i problemi erano stati risolti e molte attività innovative erano a un punto morto perché erano necessarie tecniche che erano ancora inventate oppure non vennero ufficializzate; nonostante ciò molti testi continuarono a essere copiati e studiati ma non emergevano nuovi filoni di studio.

In conclusione è indubbiamente certo che il merito più grande che ebbe la cultura araba fu quello di preservare, perfezionare e tramandare all’Europa l’enorme conoscenza della cultura classica che, a parte eccezioni, era stata dimenticata, ignorata e oscurata. Grazie a loro venne hanno gettato il seme per la nascita in Europa dell’Umanesimo e il Rinascimento ed aprire la mente a Copernico.

Riferimenti e immagini

Storia della scienza – Gli strumenti Banca Popolare di Milano
L’astronomia prima del telescopio – Dedalo edizioni
http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.2.html
http://math.ucr.edu/home/baez/rolling/rolling_3.html
http://mathworld.wolfram.com/TusiCouple.html

Gli arabi e la strumentazione astronomica

By articolidiastronomia on 02/03/2014

La maggior parte delle informazioni sugli strumenti arriva da fonti indirette; sappiamo che il più famoso costruttore di strumenti dell’epoca era al-Khujandī. Per quanto riguarda la trattazione teorica sulle costruzioni di strumenti ricordiamo Ali al-Marrākushī, l’autore di un importante trattato sulla strumentazione astronomica redatto ad Il Cairo nel 1280.

Sfere armillari e globi celesti: molto famosi sono i trattati di Al-Fazārī dell’VIII secolo sulle sfere armillari. Ne venne costruita una a Baghdad e fu usata con risultati impressionanti, ma attualmente si pensi siano rimasti circa un centinaio sparsi per il mondo.

Astrolabi: un vero e proprio computer analogico multiuso. Ibn-Isa si ritiene sia l’autore del più antico trattato sull’argomento. Si rimanda alla sezione dedicata per maggiori dettagli (clicca qui).

Quadranti: è uno strumento astronomico ad ¼ di cerchio usato per misurare le anomalie degli oggetti del cielo rispetto allo zenith la cui posizione veniva determinata da un filo a piombo. Lo scopo principale del quadrante era quello di stabilire la latitudine o l’obliquità dell’eclittica; a volte la lettura veniva facilitata da un’alidada scorrevole che, se usato per osservazioni solari, terminavano con delle pinnule forate; quando il Sole passava tra i fori, l’osservatore poteva fissare la posizione. I musulmani introdussero tre varietà di quadranti:

Quadrante trigonometrico dotato di griglia ortogonale, descritto già da al-Khwārizmī. Unitamente ad una griglia trigonometrica sulla parte posteriore ed un marcatore mobile poteva essere utilizzata per risolvere i problemi di astronomia sferica per ogni latitudine.
Quadrante orario con cursore mobile (quadrans vetus): di origini irachene, venne usato già nel IX secolo: era costituito da un insieme di archi circolari inscritti dentro il quadrante che servivano a mostrare l’altezza del Sole e a leggere le ore; lo stesso quadrante, con dimensioni ridotte, era riportato anche sul retro dell’astrolabio insieme alla tavola dei seni.

Quadrante orario islamico di Bagdhad del IX secolo

Quadrante astrolabico: sostituisce l’astrolabio nell’ultimo periodo dell’astronomia islamica: possiede una griglia trigonometrica sul retro.

I quadranti erano strumenti di dimensioni molto grandi: un esempio della maestosità di questi strumenti è il quadrante murale a Damasco fatto di marmo con un raggio di 5 metri, oppure il grande quadrante murale di Rayy (vicino Teheran).

Meridiane: alcune ancora ben conservate ed altre rotte ma poi ricostruite, erano usate nelle moschee per scandire i momenti di preghiera. Tipicamente piane ed orizzontali, gli arabi sfruttarono per la loro realizzazione la teoria matematica dei greci. Il trattato più famoso sulle meridiane è quello di Thābit ibn Qurra’, ove i calcoli usati per trovare la lunghezza delle ombre derivano da formule indiane.

Meridiana di Ibn al-Shatir per il minareto di Umayyad a Damasco (1371-1372)

Gli arabi perfezionarono anche altri strumenti; in particolare Al-Fazārī perfezionò l’uso del regolo (mīzān) introducendo scale non uniformi, mentre Ibn al-Shātir perfezionò la bussola magnetica assieme e vari calcolatori di eclissi per determinare la posizione dei pianeti in data fissata.

Ricordiamo inoltre:

equatorium, uno strumento in grado di calcolare la posizione dei corpi celesti (Sole, Luna, …) basandosi sulla differenza fra moto medio e moto reale in cielo.
il torqueto: un astrolabio esploso utile come convertitore di coordinate celesti (ellittiche – equinoziali). Nonostante il Regiomontano sia considerato l’inventore dello strumento, era già in uso presso gli arabi.