John Adams, Urban Le Verrier e il problema inverso

La legge di Bode ha dato ulteriore spinta agli astronomi ad avvallare l’ipotesi di un nuovo corpo celeste per n=9. Fu Eugène Bouvard nipote, impiegato al Bureau des Longitudes che a quanto pare fu il primo a ipotizzare circa l’esistenza di un nuovo pianeta (planète troublante). Confrontò in particolare le longitudini eliocentriche teoriche ed osservate di Urano con altre due serie di osservazioni: le sue più recenti con quelle di Flamsteed di 130 anni prima. Egli notò una forte discrepanza: le due serie di osservazioni non potevano spiegare un’unica orbita ellittica chiusa. Bouvard pensò quindi a due ipotesi: o i calcoli di Flamsteed erano corretti ed i suoi sbagliati oppure viceversa: sapendo che Flamsteed non era un “astronomo novizio” non riusciva a spiegare questi errori nel passato e concluse affermando che bisognava conciliare questa anomalia.  Questa idea iniziò a diffondersi in tutto il mondo accademico e interessò anche altri astronomi quali Arago, Bessel, Valz e John Herschel (figlio dello scopritore di Urano).

In Francia Arago, un matematico proveniente da una facoltosa famiglia di politici e giuristi francesi e futuro direttore dell’Osservatorio di Parigi, sperava che il problema potesse essere preso in considerazione dal suo osservatorio e diede l’incarico a Le Verrier, del quale nutriva molta fiducia nelle sue capacità matematiche. In maniera del tutto indipendente, al di là della Manica un giovane matematico allora ventenne venne a sapere del problema quasi per caso quando prese in mano un libro da una libreria nel 1841: il matematico si chiamava John Couch Adams. John Couch Adams (1819-1892) e il francese Urban Le Verrier (1811– 1877) sono i primi due attori di questa storia. Si tratta di persone molto diverse fra loro ma con una caratteristica comune ad entrambi che è fondamentale per l’esito di questa storia: non erano astronomi di professione, ma matematici.

John Adams era un uomo riservato che veniva da una famiglia di agricoltori e lavorava a Cambridge e data la sua bravura in matematica, vi aveva ottenuto una cattedra di insegnamento. Quando venne a conoscenza del problema di Urano nel 1841 e a seguito di una ormai evidente competizione nel 1844 decise di lavorarci a tempo pieno. Era solo ventenne.

Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811-1877) invece era nato a Saint-Lô (Normandia) e proveniva da un altro contesto: suo padre lavorava per l’amministrazione statale, così egli poté permettersi di iscrivere suo figlio al Politecnico di Parigi. Non aveva un buon carattere, ma nonostante ciò trovò un impiego come amministratore del commercio di tabacco. Siccome era molto bravo in matematica preferì dedicarsi alla materia applicata all’astronomia ed in seguito ottenne una posizione di assistente di astronomia al Politecnico di Parigi con l’obiettivo di lavorare alla meccanica celeste. Tra i suoi primi incarichi vi fu lo studio della stabilità del Sistema Solare, dell’orbita di Mercurio e lo studio delle comete prima di dedicarsi tempo pieno alle perturbazioni di Urano.

Entrambi i matematici dovettero affrontare un problema completamente nuovo: determinare la posizione di un pianeta conoscendo le perturbazioni che questo ultimo esercita sugli altri (note tramite osservazioni). Per descrivere la dinamica del Sistema Solare (N corpi celesti) infatti bisogna considerare l’azione che ogni corpo celeste esercita su tutti gli altri N-1 (escluso sé stesso ovviamente). Per tutto il secolo XVIII, il secolo d’oro della meccanica celeste, gli astronomi si dedicarono allo studio di ciò che viene chiamato “studio delle perturbazioni” nel sistema a N corpi, ottenendo discreti successi: Laplace, per esempio, riuscì a spiegare l’interazione gravitazionale reciproca fra Giove e Saturno ma il problema non era affatto semplice. Oggi questa classe di problemi sono noti problemi inversi: con questo termine si indica una classe di problemi in cui occorre determinare informazioni su un sistema fisico che è la causa di un determinato fenomeno, a partire da misurazioni degli effetti generati da tale sorgente (vedi qui). Matematicamente se si vuole predire il comportamento futuro di un sistema fisico conoscendo il suo stato presente e le leggi fisiche K che lo governano, si dice risolvere un problema diretto y = K(x). Viceversa determinare il valore di certi parametri fisici, nota l’evoluzione del sistema, viene detto problema inverso.

y = K(x) ove x è la causa, K è il modello, y è l’effetto

Ci sono due tipi di problemi inversi:

1. Noti x e y occorre ricostruire K
2. Noti K e y risalire alla causa x

Un problema diretto gode della proprietà di essere ben posto (condizioni di Hadamard), al contrario di un problema inverso che è mal posto. Si dice che un problema è ben posto quando:

1. esiste la soluzione del problema
2. è unica
3. dipende con continuità dai dati (condizione di stabilità). Un problema è instabile quando cause diverse provocano effetti simili fra loro e quindi è impossibile risalire ad esse. 

Un semplice esempio di problema inverso è la TAC ospedaliera: questa macchina è in grado di ricostruire gli oggetti tridimensionali a partire dalle loro proiezioni su assi differenti (si veda la trasformata di Radon): la scoperta di Nettuno è un esempio di problema inverso. L’anomalia di Urano rappresenta l’evoluzione del sistema ed è noto dalle osservazioni, mentre ciò che si vuole trovare sono i parametri fisici K che causano questo comportamento, ovvero massa e distanza del pianeta sconosciuto che è fonte di queste perturbazioni su Urano. Facciamo i conti delle incognite presenti nell’analisi del problema:

• sei parametri del nuovo pianeta
• sei parametri orbitali di Urano
• la massa del nuovo pianeta
• semiasse maggiore ed eccentricità nota (per stima iniziale) sia per Urano che per Nettuno

In totale il problema di Le Verrier aveva 6 + 6 + 1 – (2*2) = 9 incognite da trovare usando le osservazioni in suo possesso. Al contrario di un problema diretto, il problema inverso è mal posto: questo significa che è possibile in teoria che poteva esistere più di una soluzione che soddisfa i requisiti iniziali del problema: le condizioni di Hadamard non sono soddisfatte. Il problema era così complesso che quando nell’ottobre 1846 (a scoperta avvenuta) Le Verrier scrisse sei articoli sul Journal des Savants, il fisico Biot incontrò difficoltà notevoli già alla lettura del terzo articolo. L’ipotesi naturale di partenza per la ricerca di entrambi i protagonisti era la legge di Titus-Bode: in seguito però si accorsero che dovevano rivederne la validità. Essi dovettero fare i calcoli e le iterazioni necessarie a mano (soluzione numerica), senza uso di alcuna tecnologia per la risoluzione del problema che si basa su equazioni differenziali.

Di fronte a questa enorme mole di dati Le Verrier e Adams affrontarono il problema con due metodologie diverse per trovare i parametri orbitali: il primo fece uso delle equazioni di Laplace, mentre il secondo usò le equazioni di Peter Hansen (1795-1874), un astronomo danese. Adams iniziò a lavorare sul problema prima di Le Verrier, partendo subito dal presupposto che la causa delle sue anomalie fossero da imputarsi alla presenza di un altro pianeta più esterno. Sapeva già che Giove e Saturno effettivamente perturbavano il moto di Urano, così inizialmente si preoccupò di sottrarre dai dati osservativi l’effettiva perturbazione dei due giganti gassosi. Siccome non aveva idea di dove potesse trovarsi il misterioso pianeta, riuscì ad ottenere un aiuto da James Challis dell’università di Cambridge.

Come dati iniziali, Adams utilizzò i calcoli di Bouvard (che sappiamo non erano corretti) ed ipotizzò che il nuovo pianeta avesse un’orbita circolare (poi divenuta ellittica) con un raggio pari a 38,8 u.a. in accordo con la legge di Bode per n=9.  Egli rielaborò e rianalizzò le vecchie misure dal 1780 al 1840 e concluse che i primi dati di Flamsteed erano effettivamente validi.

Sul versante francese, Le Verrier proseguì la sua analisi: fra novembre 1845 e giugno 1846 pubblicò due manoscritti confermando anch’egli che le perturbazioni di Giove e Saturno non erano sufficienti a spiegare le perturbazioni di Urano e propose una campagna osservativa che però non raccolse abbastanza interesse. Filtrò pure le osservazioni di Bouvard e anche per lui erano affette da errori. Le Verrier iniziò a procedere facendo delle semplificazioni: suppose nota la distanza del pianeta dal Sole e l’inclinazione dell’orbita: fissò il semiasse maggiore a pari a due volte la distanza di Urano (sappiamo che è un’ipotesi sbagliata) ed un’inclinazione circa a zero, per similarità con quella di Giove, Saturno e Urano.

(continua)

Bibliografia