Traiettoria di ritorno libero – Parte III

By articolidiastronomia on 12/09/2021 • ( 1 commento )

L’analisi di una traiettoria FRT è un esempio di applicazione del problema degli n corpi, che non ammette soluzioni in forma chiusa, ma si può modellare implementando tecniche di integrazione numerica.

Nel nostro caso possiamo identificare tre diversi metodi risolutivi:

Analisi per approssimazione conica (PCA)
Analisi del problema dei tre corpi ristretto (R3B)
Analisi del problema dei tre corpi ristretto su orbite circolari (RC3B)

Il primo è il modo più semplice ma anche più approssimativo: si ipotizza che la capsula si muova sotto l’influenza gravitazionale di un corpo a seconda della sfera di influenza ed è usato per avere un’idea iniziale della traiettoria che compirà la sonda. Le altre due soluzioni si basano sul problema ristretto dei 3 corpi. L’ipotesi di fondo è che la massa della capsula è molto minore della massa degli altri 2 corpi (Terra e Luna) e quindi sarà soggetta all’accelerazione di entrambi i corpi a seconda della loro distanza: la traiettoria è più precisa del metodo PCA.

Analisi PCA: questo metodo considera solo gli effetti del corpo gravitazionalmente dominante in cui si trova in quel momento la traiettoria della capsula. Il corpo dominante è definito dalla sfera di influenza R_SOI (rispetto al Sole) secondo la relazione:

Dove R è la distanza Terra – Sole, M_x è all’occorrenza la massa della Terra o della Luna, M_S è la massa del Sole ed R è la distanza Terra – Sole.

*Pianeta*	*SOI*
Terra	9,24643 * 10⁵ Km
Luna	0,66168 * 10⁵ Km

Valori di R_SOI per la Terra e la Luna. Notare come il valore della SOI della Terra è circa un’ordine di grandezza maggiore rispetto alla SOI lunare

Dato che la R_SOI terrestre include la R_SOI lunare, questo approccio esclude a priori l’influenza terrestre quando l’Apollo si trova all’interno della sfera gravitazionale lunare.

Per questo motivo l’analisi PCA è impiegata quando ancora si sta affrontando la fase di pianificazione iniziale del viaggio.

Il procedimento prevede di studiare separatamente il tratto del percorso dell’Apollo in regime della dinamica dei due corpi (uno alla volta) all’interno della propria SOI.

La traiettoria PCA si sviluppa in tre fasi:

traiettoria geocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale terrestre
traiettoria selenocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale lunare
la traiettoria finale è composta dall’unione delle due traiettorie

Grazie alla TLI, nella traiettoria geocentrica il CSM percorre un’orbita ellittica fino a trovarsi a distanza r₁ dalla Terra con una velocità $\overrightarrow{v_{1}}$ (dell’ordine di qualche centinaio m/s) cioè al raggiungimento della SOI nel punto S intersezione con la sfera r₂=R_SOI.

Fonte: *SEEDS – Astrodynamics, Guido Colasurdo e Giulio Avanzini – Politecnico di Torino*

Il punto S marca il passaggio nella seconda fase: la traiettoria selenocentrica: consideriamo ora come sistema di riferimento il piano selenocentrico non rotante e osserviamo cosa succede fino all’uscita dalla SOI al punto T.

Dal punto di vista di un osservatore solidale con la Luna essa si muove lungo la traiettoria intorno alla Terra con velocità $\overrightarrow{v_{m}}$ e vede arrivare l’Apollo con velocità $\overrightarrow{v_{2}} = (\overrightarrow{v_{1}} - \overrightarrow{v_{m}})$ composizione vettoriale delle due velocità. La velocità risultante d’ingresso $\overrightarrow{v_{2}}$ deve essere pianificata in fase di progetto tale da raggiungere la SOI con una velocità maggiore della velocità di fuga lunare al confine della SOI, in tal caso l’Apollo arriva intorno alla Luna con un’orbita iperbolica (con fuoco nella Luna).

A mano a mano che ci avvicina al pericinzio, la velocità $\overrightarrow{v_{2}}$ fino a $\overrightarrow{v_{max}}$ quindi si allontana e raggiunge il confine della SOI con velocità di uscita $| \overrightarrow{v_{4}}| = |\overrightarrow{v_{2}}|$ ma direzione differente, ovvero lascia la SOI con velocità geocentrica $\overrightarrow{v_{5}} = (\overrightarrow{v_{4}} + \overrightarrow{v_{m}})$ in direzione della Terra.

Esempio di traiettoria per la Luna ove sono evidenziati nel ramo di andata la combinazione della traiettoria geocentrica e selenocentrica.

Fonte: *Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer*

L’Apollo effettua un fly-by lunare: il cambiamento della direzione del vettore velocità dipende da quanto siamo vicini alla Luna: se il fly-by viene effettuato più distante, allora il cambiamento di direzione sarà minore, se il fly-by viene effettuato più vicino al perilunio r₃ più stretta sarà il cambiamento di direzione del moto, e quindi un vantaggio in prospettiva di un allunaggio.

In ogni caso sono possibili due casi estremi:

r₃ < 1738 Km (raggio lunare) la sonda si schianta sulla Luna.
r₃ > 1738 Km (raggio lunare) l’Apollo può entrare in orbita lunare (Lunar Orbit Insertion, LOI) o effettuare un fly-by.

Verso la Terra⁵. Una volta abbandonata la SOI, l’Apollo si inserisce nel ramo di ritorno della FRT: quest’ultimo è ancora un arco di ellisse. Per compensare gli errori sempre presenti, alcune correzioni di rotta lungo la traiettoria distribuiti fra ramo di andata e ritorno sono possibili, anche se non necessarie. Le correzioni orbitali sono necessarie per includere:

errori di approssimazione
per accelerare il rientro del CSM (come nel caso dell’Apollo 13)
per sincronizzarsi con il punto esatto di rientro a Terra della capsula (la Terra ruota su sé stessa mentre la sonda è in navigazione e la procedura di rientro in atmosfera deve avvenire all’interno di un corridoio preciso).

(continua)

Nota

⁵Nel presente articolo non viene considera alcuna manovra orbitale di inserimento lunare (LOI) o reinserimento in traiettoria terrestre (TEI) dopo il docking fra LM e CSM. Si considera solo la traiettoria in caduta libera in maniera simile a quanto successo con la missione Apollo 13 (a parte le correzioni di rotta per l’immissione in FRT sul ramo di andata e la correzione di rotta sul ramo di ritorno per velocizzarne il rientro).

Bibliografia