
Riprendiamo l’analisi degli ultimi due metodi risolutivi per il tracciamento della traiettoria di ritorno libero.
Analisi R3B (Restricted 3 Body). Questo metodo sfrutta l’approssimazione del problema dei tre corpi: la Terra, la Luna e l’Apollo. Dato che la massa dell’Apollo è molto minore rispetto alle masse degli altri due oggetti celesti (Terra e Luna), i suoi effetti sugli altri oggetti possono essere ignorati. Consideriamo quindi il moto del sistema Terra-Luna intorno al comune centro di massa (CoM).
Si può dimostrare (qui) che le equazioni del moto della massa più piccola (la capsula m di massa trascurabile rispetto a m1 e m2) sono le seguenti:
l sistema di equazioni riportato sopra rappresenta un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineari in (x, y, z) con i seguenti parametri:
\begin{cases} \mu_{1} = G m_{1}\\ \mu_{2} = G m_{2}\\ \end{cases} \\[5pt] \begin{cases} \pi_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\\ \pi_{2} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{cases} \\[5pt] \Omega= \sqrt{\frac{\mu_{2}}{r_{12}^3}} \\[5pt] r_{12}= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^2} \\[5pt] r_{1}= \sqrt{(x+\pi_{2}r_{12})^2+y^2} \\[5pt] r_{2}= \sqrt{(x+\pi_{1}r_{12})^2+y^2}
Nel sistema di equazioni sopra riportato:
- x1 è la posizione di m1 rispetto al CoM
- x2 è la posizione di m2 rispetto al CoM
è la velocità angolare riferita al sistema corotante Terra – Luna rispetto al CoM dei due corpi.
- r12 è la distanza fra CoM della Terra e la Luna
- r1 rappresenta la distanza di m1 dal centro di gravità
- r2 rappresenta la distanza di m2 dal centro di gravità
- La derivata seconda (
) rappresenta l’accelerazione.
Risolvendo il sistema in si ricava la posizione (x, y, z), velocità () e accelerazione
) della capsula.
La soluzione si ottiene per integrazione numerica, come ad esempio il metodo di iterativo Runge-Kutta che si ottiene applicando i seguenti passi:
- 1 Si parte dalla condizione iniziale (x0, y0, z0), per esempio la posizione del CSM al momento della TLI per t = t0
- 2 Si calcola l'accelerazione della sonda sotto l'azione gravitazionale di Luna e della Terra per un piccolo quanto di tempo t (dipende dalla precisione).
- 3 Si ricalcolano l'equazioni del moto per trovare i nuovi valori delle variabili di stato di posizione (x, y, z) e velocità (vx, vy, vz). Si annotano i nuovi valori: essi rappresentano la nuova posizione della capsula nello spazio. Si dice che si 'propaga' la soluzione.
- 4 Si passa al quanto successivo di tempo t = t + Δt e si torna al punto 2. Una volta raccolto un set di punti (x, y, z) sufficienti per l'analisi si esce
- 5 Si disegna la traiettoria di (x, y, z) in un sistema di coordinate cartesiane.
La soluzione del sistema che si ottiene è molto sensibile alle condizioni iniziali di (
).
In generale la traiettoria dell’Apollo nello spazio 3D non è detto che sia posizionata sullo stesso piano dell’orbita lunare, Intuitivamente possiamo immaginare di ‘stirare’ la traiettoria disegnata nel piano (vedi analisi RC3B) verso la direzione positiva e negativa dell’asse z. Di quanto viene modificata dipende dall’angolo formato fra i due piani:
- il piano orbitale lunare rispetto all’eclittica
- l’azumuth di lancio del Saturn V, e quindi dell’inclinazione del piano orbitale del CSM in orbita LEO.
Come già visto, i due piani hanno in comune il punto antipodale, dove avviene la TLI.
Traiettoria completa dell’Apollo 10 in 3D. I due piani orbitali sono molto simili. Solo il ramo di andata rappresenta una FRT. Traiettoria completa dell’Apollo 8 in 3D. I due piani orbitali sono molto diversi. Solo il ramo di andata rappresenta una FRT.
Analisi RC3B (Restricted Circular 3 Body). Se per ipotesi il moto della capsula è planare () (ovvero la traiettoria giace sullo stesso piano del moto dei 2 corpi celesti di massa più grande) possiamo trascurare l’ultima equazione.

Nel caso RC3B per ipotesi il movimento è limitato nel piano del moto di m1 e m2
Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer
Il fatto di rimuovere la componente z significa che nei grafici seguenti viene disegnata la proiezione lungo il piano orbitale della Luna della traiettoria del CSM.
Bisogna calcolare in maniera molto precisa posizione e velocità iniziali affinché la traiettoria dell’Apollo circumnavighi la Luna e ritorni in prossimità della Terra con una condizione compatibile con la manovra di rientro. Condizioni anche di poco fuori dalla condizione ottimale fanno percorrere alla sonda traiettorie che andranno in direzione della Terra, ma non necessariamente nel punto di ritorno previsto.
La traiettoria della sonda potrebbe per esempio descrivere anche un moto oscillatorio tra i due corpi, oppure portarsi nella traiettoria giusta per il rientro ma dopo parecchi oscillazioni, quindi un tempo troppo lungo affinché si possa garantire la sopravvivenza dell’equipaggio.
Le figure seguenti mostrano i risultati di diverse simulazioni fatte dall’autore grazie al software sviluppato da Adrien (blog.nodraak.fr) in python. In entrambi i diagrammi viene tracciata una famiglia di traiettorie FRT considerando un periodo di dieci giorni di viaggio. Nel primo diagramma viene mostrato come cambia la traiettoria della FRT al variare del Δv a parità di angolo α di inserimento della TLI; viceversa, il secondo grafico mostra come cambia la FRT al variare dell’angolo α a parità di Δv.
In tutte le simulazioni l’Apollo si trova in un’orbita LEO ad un’altezza di cento miglia nautiche.
I due ingrandimenti a sinistra mostrano come la traiettoria cambi di molto al variare delle condizioni iniziali.
Variare di poco l’angolo α fa la differenza tra schiantarsi sulla Terra in fase di rientro o avvicinarsi entrare nella sfera di influenza terrestre. Anche se in ogni caso servono correzioni di rotta per garantire l’inserimento nel corridoio di rientro, la simulazione permette di escludere a priori alcuni parametri orbitali.
Durante lo sviluppo del progetto Apollo, la responsabile della pianificazione e verifica delle traiettorie FRT era Frances “Poppy” Northcutt: la prima donna ad essere ammessa al Mission Control Room (MCC), all’epoca un ambiente maschile. Poppy si era laureata in matematica in Texas perché voleva evitare lavori da donne ed avere una marcia in più nella ricerca di un lavoro.
Iniziò a lavorare alla TRW (un’azienda del settore avionico) prima di collaborare con NASA per il progetto Apollo come “donna computer” (computress), poi passò al Mission Planning & Analysis Room diventando la prima donna a lavorare al MCC. Lei divenne la responsabile sia della definizione del profilo di volo delle FRT per l’Apollo 8 che per riprogettare la FRT in tempo reale per la missione di salvataggio dell’Apollo 13: per i suoi contributi ha ricevuto La Medaglia Presidenziale delle Libertà.
Da quando il progetto Apollo è stato chiuso, Poppy ha lasciato la NASA per occuparsi della sua vera passione: la legge. Dal 1984 esercita come avvocato.
Bibliografia
- Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
- How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer