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Il filtro di Kalman

Durante le missioni Apollo la stima ed il controllo delle traiettorie ottimali Terra – Luna erano condizione critiche in molte fasi di volo, per esempio:

  • Il CSM doveva entrare in orbita lunare (LOI, Lunar Orbit Insertion) con molta precisione ad un’altezza di soli 60 miglia nautiche, intorno ad un corpo celeste che si muove a circa 1 Km/s.
  • Durante l’allunaggio: i dati provenienti dal radar di Terra dovevano trovare un’analogia con i valori dei radar di allunaggio (LR, Landing Radar) montato sul LM per capire se proseguire o abortire la missione.
  • In fase di ritorno in atmosfera: il CM doveva imboccare un corridoio di rientro con un angolo di volo di 6,5°± 1° rispetto all’orizzonte.

La conoscenza a priori e la possibilità di stimare il consumo di beni e materiali, oltre ad aspetti pratici, serviva anche per ragioni di riduzione costi (consumo di carburante) e per adempiere ai criteri di sicurezza dell’equipaggio. In ogni caso il problema più sentito per l’equipaggio a bordo (e al MOCR a Houston) era l’esigenza di poter controllare che l’Apollo si muovesse lungo il percorso stabilito dalla traiettoria in uno spazio di riferimento, così come in qualsiasi altra situazione di volo.

La capsula CM dell’Apollo era equipaggiata con sensori (giroscopi e accelerometri) e strumentazione (telescopio, sestante spaziale) per poter prendere delle misure angolari rispetto alle stelle fisse, al Sole, a punti particolari sull’orizzonte terrestre ed altro le quali venivano inviate al computer per i calcoli di posizione. I sensori sono soggetti a diversi tipi di errore:  casuali, di deriva o di imperfezioni di costruzione.

Analogalmente le equazioni del moto (modello dinamico) usato per descrivere la traiettoria è soggetta ad errori nel modello non deterministici ove non è possibile valutarne a priori la quantita’ in maniera precisa: per esempio è difficile considerare le perturbazioni del moto lunare, l’esatta spinta ottenuta dall’accensione dei RCS, l’influenza della distribuzione della massa terrestre/lunare sul CSM …

Il problema che la NASA doveva affrontare era: quante e quali misure bisognava effettuare al fine di garantire una navigazione corretta nello spazio cislunare?

La risposta a questa domanda significava identificare il numero minimo ed ottimale di misure da effettuare, quali correzioni erano necessarie e quando effettuarle. La procedura ideale poteva essere descritta come segue:

  1. Utilizzando i sensori del CM, identificare posizione e velocità attuali, cioè i vettori di stato \vec{\textbf{r}} = [r_{x}, r_{y}, r_{z}] e \vec{\textbf{v}} = [v_{x}, v_{y}, v_{z}]
  2. informare il computer di bordo (AGC) dello stato corrente
  3. in base ad alcune regole “statistiche” decidere se:
    • intraprendere una correzione orbitale sulla traiettoria
    • non effettuare alcuna correzione
  4. aggiornare i vettori di stato
  5. tornare al punto 1

Dato che ogni misura è affetta da incertezza (ambiente rumoroso) era necessario valutare in senso statistico le azioni da intraprendere ad ogni ripetizione. Maximilian Schuler nei primi anni del Novecento fu tra i primi matematici a studiare il problema; in particolare gli errori oscillatori generati dai sensori IMU indotti dal campo gravitazionale in cui i giroscopi lavorano. In seguito altri matematici quali Richard Battin (1925 – 2014) del MIT e Norbert Wiener cercarono di affrontare il problema ma fu con Rudolf Kalman (1930 – 2016) che la NASA ebbe la possibilità di implementare l’algoritmo che ancora oggi porta il suo nome: il filtro di Kalman.

Egli riuscì a trovare una soluzione ottima per la stima dell’errore lavorando nel dominio del tempo, anziché in frequenza (come fece Wiener) in modo da renderlo gestibile in tempo reale da un computer ed implementarlo nel software di volo.


Il filtro di Kalman è un metodo statistico per l’ottimizazione del controllo, in particolare è un filtro ricorsivo per la stima di uno stato interno del sistema dinamico a partire da una serie di misure rumorose.

L’ipotesi di base di funzionamento del filtro prevede sorgenti di errori indipendenti provenienti da distribuzione statistica Normale N (μ, σ) a media nulla.

Dato che al fine di individuare la traiettoria ottima è necessario stimare l’errore (predizione in senso statistico) e gestirlo nelle equazioni dinamiche del sistema (parte deterministica del sistema), quindi il fattore principale del processo di filtraggio è la misura dell’errore. L’algoritmo si compone in due fasi:

  • una fase di predizione basata sul modello ideale del modello di volo del CSM per stimare i vettori di stato nell’istante successivo del sistema.
  • una fase basata sulla misura degli errori dai sensori del CSM e confronto/modifica con la previsione ottenuta al punto precedente per ottenere una decisione di controllo. Lo stato interno del sistema si trova piu’ vicino al valore nominale.

La parte di osservazione consiste nella lettura dei sensori anch’essi affetti da errore, l’aggiornamento consiste nella minimizzazione della differenza fra la previsione e l’osservazione, quindi l’errore viene corretto da un fattore K il quale viene usato per aggiornare le equazioni del sistema dinamico.

L’algoritmo consiste in cinque fasi applicate in maniera iterativa:

  1. Previsione: si prevede lo stato corrente in base al modello dinamico affetta da rumore N (0,σ)
  2. Osservazione dello stato: si effettua la misura dei sensori affetti anch’essi da rumore N (0, ξ)
  3. Minimizzazione dell’errore e(t) fra la previsione del modello dinamico e la sua osservazione. L’errore si chiama innovazione del sistema
  4. Aggiornamento: calcolo del parametro K = f(N(0, σ), N(0, ξ)) per la previsione dello stato successivo del sistema dinamico. K rappresenta il guadagno che permette di pesare l’errore e(t) e riportarlo all’interno del modello per correggere la stima dello stato.
    • Il parametro K viene integrato nelle equazioni del sistema dinamico
  5. Ritorna al punto 1

Ci sono molti modi per calcolare K: se il sistema dinamico e lineare con rumori gaussiani a media nulla (descritti nei punti 1 e 2) allora esiste un algoritmo ottimale per il calcolo di K.

Diagramma semplificato del funzionamento del filtro di Kalman per sistemi lineari. Il guadagno K è funzione della matrice di covarianza degli errori di predizione e di misura

Il filtro venne inizialmente implementato nei mainframe IBM704 che usavano un’aritmetica a virgola mobile a 36 bit, quindi grazie al lavoro di J.E. Potter, riuscì a trovare un’implementazione con un’aritmetica a virgola fissa a 15 bit per poterlo farlo funzionare sul computer dell’Apollo. Un’operazione di filter tuning condotta a terra con altre simulazioni numeriche ha fornito alla NASA le condizioni iniziali di funzionamento del filtro: a questo punto mancava solo un test in campo.

Ideato inizialmente per funzionare con problemi di stima lineari, la NASA fu in grado di estendere il campo di lavoro del filtro anche per problemi non lineari, come quello di mandare un’equipaggio sulla Luna.

Questa seconda versione implementata per il progetto Apollo si chiama filtro di Kalman esteso (EKF).

Esso fornisce un’approssimazione della stima ottima, poichè viene effettuata una linearizzazione del sistema nell’intorno dell’ultima stima dello stato. Il processo di trasformazione dello spazio non lineare in uno spazio lineare avviene tramite una trasformazione Jacobiana basata sull’approssimazione in serie di Taylor del primo ordine.


Patch Apollo 7

La prima prova del funzionamento del filtro avenne nell’ottobre 1968, con la missione Apollo 7 ove il filtro di Kalman venne implementato nel software del AGC Block II, al suo primo test di volo. Si trattò di un volo particolare: durante la missione l’equipaggio si impratichì a recuperare il LM ma ci furono tensioni fra gli astronauti e il personale di Terra, in quanto gli astronauti si dimostrarono poco collaborativi ma il filtro fece il suo dovere.

Il filtro di Kalman ha rappresentato un’evoluzione tecnologica fondamentale nel campo dell’avionica, ed oggi viene implementato in moltissimi campi, come nei sistemi di navigazione, nella guida autonoma e tanti altri settori ove si tratta di effettuare una stima ottimale con sorgenti affetti da rumore.

Disegno che mostra la differenza fra traiettoria reale affetta da errore (puntini rossi) e la traiettoria ottimale filtrata da Kalman

Per il suo contributo al progetto Apollo, l’ingegner Rudolf Kalman ha ricevuto la “National Medal of Science” nel 2009.

Bibliografia

Altri articoli

Traiettoria di ritorno libero – Conclusione

Riprendiamo l’analisi degli ultimi due metodi risolutivi per il tracciamento della traiettoria di ritorno libero.


Analisi R3B (Restricted 3 Body). Questo metodo sfrutta l’approssimazione del problema dei tre corpi: la Terra, la Luna e l’Apollo. Dato che la massa dell’Apollo è molto minore rispetto alle masse degli altri due oggetti celesti (Terra e Luna), i suoi effetti sugli altri oggetti possono essere ignorati. Consideriamo quindi il moto del sistema Terra-Luna intorno al comune centro di massa (CoM).

Si può dimostrare (qui) che le equazioni del moto della massa più piccola (la capsula m di massa trascurabile rispetto a m1 e m2) sono le seguenti:

l sistema di equazioni riportato sopra rappresenta un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineari in (x, y, z) con i seguenti parametri:

 \begin{cases}
\mu_{1} = G m_{1}\\
\mu_{2} = G m_{2}\\
\end{cases}
\\[5pt]
 \begin{cases}
\pi_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\\
\pi_{2} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}
\end{cases}
\\[5pt]
\Omega= \sqrt{\frac{\mu_{2}}{r_{12}^3}}
\\[5pt]
r_{12}= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^2}
\\[5pt]
r_{1}= \sqrt{(x+\pi_{2}r_{12})^2+y^2}
\\[5pt]
r_{2}= \sqrt{(x+\pi_{1}r_{12})^2+y^2}

Nel sistema di equazioni sopra riportato:

  • x1 è la posizione di m1 rispetto al CoM
  • x2 è la posizione di m2 rispetto al CoM
  • \Omega è la velocità angolare riferita al sistema corotante Terra – Luna rispetto al CoM dei due corpi.
  • r12 è la distanza fra CoM della Terra e la Luna
  • r1 rappresenta la distanza di m1 dal centro di gravità
  • r2 rappresenta la distanza di m2 dal centro di gravità
  • La derivata seconda (\ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) rappresenta l’accelerazione.

Risolvendo il sistema in si ricava la posizione (x, y, z), velocità (\dot{\boldsymbol{x}}, \dot{\boldsymbol{y}}, \dot{\boldsymbol{z}}) e accelerazione \ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) della capsula.

La soluzione si ottiene per integrazione numerica, come ad esempio il metodo di iterativo Runge-Kutta che si ottiene applicando i seguenti passi:

- 1 Si parte dalla condizione iniziale (x0, y0, z0), per esempio la posizione del CSM al momento della  TLI per t = t0

- 2 Si calcola l'accelerazione della sonda sotto l'azione gravitazionale di Luna e della Terra per un piccolo quanto di tempo t (dipende dalla precisione).

- 3 Si ricalcolano l'equazioni del moto per trovare i nuovi valori delle variabili di stato di posizione (x, y, z) e velocità (vx, vy, vz).  Si annotano i nuovi valori: essi rappresentano la nuova posizione della capsula nello spazio. Si dice che si 'propaga' la soluzione.

- 4 Si passa al quanto successivo di tempo t = t +  Δt e si torna al punto 2. Una volta raccolto un set di punti (x, y, z) sufficienti per l'analisi si esce

- 5 Si disegna la traiettoria di (x, y, z) in un sistema di coordinate cartesiane.

La soluzione del sistema che si ottiene è molto sensibile alle condizioni iniziali di (\overrightarrow{x}, \overrightarrow{v}).

In generale la traiettoria dell’Apollo nello spazio 3D non è detto che sia posizionata sullo stesso piano dell’orbita lunare, Intuitivamente possiamo immaginare di ‘stirare’ la traiettoria disegnata nel piano (vedi analisi RC3B) verso la direzione positiva e negativa dell’asse z. Di quanto viene modificata dipende dall’angolo formato fra i due piani:

  • il piano orbitale lunare rispetto all’eclittica
  • l’azumuth di lancio del Saturn V, e quindi dell’inclinazione del piano orbitale del CSM in orbita LEO.

Come già visto, i due piani hanno in comune il punto antipodale, dove avviene la TLI.


Analisi RC3B (Restricted Circular 3 Body). Se per ipotesi il moto della capsula è planare (\ddot{\boldsymbol{z}}=0) (ovvero la traiettoria giace sullo stesso piano del moto dei 2 corpi celesti di massa più grande) possiamo trascurare l’ultima equazione.

Sistema di riferimento usato per l’equazione del moto. Nel caso di analisi R3B il punto (x, y, z) è libero di muoversi in 3 dimensioni.
Nel caso RC3B per ipotesi il movimento è limitato nel piano del moto di m1 e m2

Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer

Il fatto di rimuovere la componente z significa che nei grafici seguenti viene disegnata la proiezione lungo il piano orbitale della Luna della traiettoria del CSM.

Bisogna calcolare in maniera molto precisa posizione e velocità iniziali affinché la traiettoria dell’Apollo circumnavighi la Luna e ritorni in prossimità della Terra con una condizione compatibile con la manovra di rientro. Condizioni anche di poco fuori dalla condizione ottimale fanno percorrere alla sonda traiettorie che andranno in direzione della Terra, ma non necessariamente nel punto di ritorno previsto.

La traiettoria della sonda potrebbe per esempio descrivere anche un moto oscillatorio tra i due corpi, oppure portarsi nella traiettoria giusta per il rientro ma dopo parecchi oscillazioni, quindi un tempo troppo lungo affinché si possa garantire la sopravvivenza dell’equipaggio.

Le figure seguenti mostrano i risultati di diverse simulazioni fatte dall’autore grazie al software sviluppato da Adrien (blog.nodraak.fr) in python. In entrambi i diagrammi viene tracciata una famiglia di traiettorie FRT considerando un periodo di dieci giorni di viaggio. Nel primo diagramma viene mostrato come cambia la traiettoria della FRT al variare del Δv a parità di angolo α di inserimento della TLI; viceversa, il secondo grafico mostra come cambia la FRT al variare dell’angolo α a parità di Δv.

In tutte le simulazioni l’Apollo si trova in un’orbita LEO ad un’altezza di cento miglia nautiche.

I due ingrandimenti a sinistra mostrano come la traiettoria cambi di molto al variare delle condizioni iniziali.

Variare di poco l’angolo α fa la differenza tra schiantarsi sulla Terra in fase di rientro o avvicinarsi entrare nella sfera di influenza terrestre. Anche se in ogni caso servono correzioni di rotta per garantire l’inserimento nel corridoio di rientro, la simulazione permette di escludere a priori alcuni parametri orbitali.

Durante lo sviluppo del progetto Apollo, la responsabile della pianificazione e verifica delle traiettorie FRT era Frances “Poppy” Northcutt: la prima donna ad essere ammessa al Mission Control Room (MCC), all’epoca un ambiente maschile. Poppy si era laureata in matematica in Texas perché voleva evitare lavori da donne ed avere una marcia in più nella ricerca di un lavoro.

Iniziò a lavorare alla TRW (un’azienda del settore avionico) prima di collaborare con NASA per il progetto Apollo come “donna computer” (computress), poi passò al Mission Planning & Analysis Room diventando la prima donna a lavorare al MCC.  Lei divenne la responsabile sia della definizione del profilo di volo delle FRT per l’Apollo 8 che per riprogettare la FRT in tempo reale per la missione di salvataggio dell’Apollo 13: per i suoi contributi ha ricevuto La Medaglia Presidenziale delle Libertà.

Da quando il progetto Apollo è stato chiuso, Poppy ha lasciato la NASA per occuparsi della sua vera passione: la legge. Dal 1984 esercita come avvocato.

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Traiettoria di ritorno libero – Parte III

L’analisi di una traiettoria FRT è un esempio di applicazione del problema degli n corpi, che non ammette soluzioni in forma chiusa, ma si può modellare implementando tecniche di integrazione numerica.

Nel nostro caso possiamo identificare tre diversi metodi risolutivi:

  1. Analisi per approssimazione conica (PCA)
  2. Analisi del problema dei tre corpi ristretto (R3B)
  3. Analisi del problema dei tre corpi ristretto su orbite circolari (RC3B)

Il primo è il modo più semplice ma anche più approssimativo: si ipotizza che la capsula si muova sotto l’influenza gravitazionale di un corpo a seconda della sfera di influenza ed è usato per avere un’idea iniziale della traiettoria che compirà la sonda. Le altre due soluzioni si basano sul problema ristretto dei 3 corpi. L’ipotesi di fondo è che la massa della capsula è molto minore della massa degli altri 2 corpi (Terra e Luna) e quindi sarà soggetta all’accelerazione di entrambi i corpi a seconda della loro distanza: la traiettoria è più precisa del metodo PCA.


Analisi PCA: questo metodo considera solo gli effetti del corpo gravitazionalmente dominante in cui si trova in quel momento la traiettoria della capsula. Il corpo dominante è definito dalla sfera di influenza RSOI (rispetto al Sole) secondo la relazione:

Dove R è la distanza Terra – Sole, Mx è all’occorrenza la massa della Terra o della Luna, MS è la massa del Sole ed R è la distanza Terra – Sole.

PianetaSOI
Terra9,24643 * 105 Km
Luna0,66168 * 105 Km
Valori di RSOI per la Terra e la Luna. Notare come il valore della SOI della Terra è circa un’ordine di grandezza maggiore rispetto alla SOI lunare

Dato che la RSOI terrestre include la RSOI lunare, questo approccio esclude a priori l’influenza terrestre quando l’Apollo si trova all’interno della sfera gravitazionale lunare.

Per questo motivo l’analisi PCA è impiegata quando ancora si sta affrontando la fase di pianificazione iniziale del viaggio.

Il procedimento prevede di studiare separatamente il tratto del percorso dell’Apollo in regime della dinamica dei due corpi (uno alla volta) all’interno della propria SOI.

La traiettoria PCA si sviluppa in tre fasi:

  • traiettoria geocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale terrestre
  • traiettoria selenocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale lunare
  • la traiettoria finale è composta dall’unione delle due traiettorie

Grazie alla TLI, nella traiettoria geocentrica il CSM percorre un’orbita ellittica fino a trovarsi a distanza r1 dalla Terra con una velocità  \overrightarrow{v_{1}} (dell’ordine di qualche centinaio m/s) cioè al raggiungimento della SOI nel punto S intersezione con la sfera r2=RSOI.

Il punto S marca il passaggio nella seconda fase: la traiettoria selenocentrica: consideriamo ora come sistema di riferimento il piano selenocentrico non rotante e osserviamo cosa succede fino all’uscita dalla SOI al punto T.


Dal punto di vista di un osservatore solidale con la Luna essa si muove lungo la traiettoria intorno alla Terra con velocità \overrightarrow{v_{m}}  e vede arrivare l’Apollo con velocità \overrightarrow{v_{2}}  = (\overrightarrow{v_{1}}  -  \overrightarrow{v_{m}}) composizione vettoriale delle due velocità. La velocità risultante d’ingresso \overrightarrow{v_{2}} deve essere pianificata in fase di progetto tale da raggiungere la SOI con una velocità maggiore della velocità di fuga lunare al confine della SOI, in tal caso l’Apollo arriva intorno alla Luna con un’orbita iperbolica (con fuoco nella Luna).

A mano a mano che ci avvicina al pericinzio, la velocità  \overrightarrow{v_{2}} fino a \overrightarrow{v_{max}} quindi si allontana e raggiunge il confine della SOI con velocità di uscita | \overrightarrow{v_{4}}| = |\overrightarrow{v_{2}}| ma direzione differente, ovvero lascia la SOI con velocità geocentrica \overrightarrow{v_{5}} =  (\overrightarrow{v_{4}} + \overrightarrow{v_{m}}) in direzione della Terra.

Esempio di traiettoria per la Luna ove sono evidenziati nel ramo di andata la combinazione della traiettoria geocentrica e selenocentrica.

Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer

L’Apollo effettua un fly-by lunare: il cambiamento della direzione del vettore velocità dipende da quanto siamo vicini alla Luna: se il fly-by viene effettuato più distante, allora il cambiamento di direzione sarà minore, se il fly-by viene effettuato più vicino al perilunio r3 più stretta sarà il cambiamento di direzione del moto, e quindi un vantaggio in prospettiva di un allunaggio.

In ogni caso sono possibili due casi estremi:

  • r3 < 1738 Km (raggio lunare) la sonda si schianta sulla Luna.
  • r3 > 1738 Km (raggio lunare) l’Apollo può entrare in orbita lunare (Lunar Orbit Insertion, LOI) o effettuare un fly-by.

Verso la Terra5. Una volta abbandonata la SOI, l’Apollo si inserisce nel ramo di ritorno della FRT: quest’ultimo è ancora un arco di ellisse. Per compensare gli errori sempre presenti, alcune correzioni di rotta lungo la traiettoria distribuiti fra ramo di andata e ritorno sono possibili, anche se non necessarie. Le correzioni orbitali sono necessarie per includere:

  • errori di approssimazione
  • per accelerare il rientro del CSM (come nel caso dell’Apollo 13)
  • per sincronizzarsi con il punto esatto di rientro a Terra della capsula (la Terra ruota su sé stessa mentre la sonda è in navigazione e la procedura di rientro in atmosfera deve avvenire all’interno di un corridoio preciso).

(continua)

Nota

5Nel presente articolo non viene considera alcuna manovra orbitale di inserimento lunare (LOI) o reinserimento in traiettoria terrestre (TEI) dopo il docking fra LM e CSM. Si considera solo la traiettoria in caduta libera in maniera simile a quanto successo con la missione Apollo 13 (a parte le correzioni di rotta per l’immissione in FRT sul ramo di andata e la correzione di rotta sul ramo di ritorno per velocizzarne il rientro).

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

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