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Traiettoria di ritorno libero – Conclusione

Riprendiamo l’analisi degli ultimi due metodi risolutivi per il tracciamento della traiettoria di ritorno libero.


Analisi R3B (Restricted 3 Body). Questo metodo sfrutta l’approssimazione del problema dei tre corpi: la Terra, la Luna e l’Apollo. Dato che la massa dell’Apollo è molto minore rispetto alle masse degli altri due oggetti celesti (Terra e Luna), i suoi effetti sugli altri oggetti possono essere ignorati. Consideriamo quindi il moto del sistema Terra-Luna intorno al comune centro di massa (CoM).

Si può dimostrare (qui) che le equazioni del moto della massa più piccola (la capsula m di massa trascurabile rispetto a m1 e m2) sono le seguenti:

l sistema di equazioni riportato sopra rappresenta un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineari in (x, y, z) con i seguenti parametri:

 \begin{cases}
\mu_{1} = G m_{1}\\
\mu_{2} = G m_{2}\\
\end{cases}
\\[5pt]
 \begin{cases}
\pi_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\\
\pi_{2} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}
\end{cases}
\\[5pt]
\Omega= \sqrt{\frac{\mu_{2}}{r_{12}^3}}
\\[5pt]
r_{12}= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^2}
\\[5pt]
r_{1}= \sqrt{(x+\pi_{2}r_{12})^2+y^2}
\\[5pt]
r_{2}= \sqrt{(x+\pi_{1}r_{12})^2+y^2}

Nel sistema di equazioni sopra riportato:

  • x1 è la posizione di m1 rispetto al CoM
  • x2 è la posizione di m2 rispetto al CoM
  • \Omega è la velocità angolare riferita al sistema corotante Terra – Luna rispetto al CoM dei due corpi.
  • r12 è la distanza fra CoM della Terra e la Luna
  • r1 rappresenta la distanza di m1 dal centro di gravità
  • r2 rappresenta la distanza di m2 dal centro di gravità
  • La derivata seconda (\ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) rappresenta l’accelerazione.

Risolvendo il sistema in si ricava la posizione (x, y, z), velocità (\dot{\boldsymbol{x}}, \dot{\boldsymbol{y}}, \dot{\boldsymbol{z}}) e accelerazione \ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) della capsula.

La soluzione si ottiene per integrazione numerica, come ad esempio il metodo di iterativo Runge-Kutta che si ottiene applicando i seguenti passi:

- 1 Si parte dalla condizione iniziale (x0, y0, z0), per esempio la posizione del CSM al momento della  TLI per t = t0

- 2 Si calcola l'accelerazione della sonda sotto l'azione gravitazionale di Luna e della Terra per un piccolo quanto di tempo t (dipende dalla precisione).

- 3 Si ricalcolano l'equazioni del moto per trovare i nuovi valori delle variabili di stato di posizione (x, y, z) e velocità (vx, vy, vz).  Si annotano i nuovi valori: essi rappresentano la nuova posizione della capsula nello spazio. Si dice che si 'propaga' la soluzione.

- 4 Si passa al quanto successivo di tempo t = t +  Δt e si torna al punto 2. Una volta raccolto un set di punti (x, y, z) sufficienti per l'analisi si esce

- 5 Si disegna la traiettoria di (x, y, z) in un sistema di coordinate cartesiane.

La soluzione del sistema che si ottiene è molto sensibile alle condizioni iniziali di (\overrightarrow{x}, \overrightarrow{v}).

In generale la traiettoria dell’Apollo nello spazio 3D non è detto che sia posizionata sullo stesso piano dell’orbita lunare, Intuitivamente possiamo immaginare di ‘stirare’ la traiettoria disegnata nel piano (vedi analisi RC3B) verso la direzione positiva e negativa dell’asse z. Di quanto viene modificata dipende dall’angolo formato fra i due piani:

  • il piano orbitale lunare rispetto all’eclittica
  • l’azumuth di lancio del Saturn V, e quindi dell’inclinazione del piano orbitale del CSM in orbita LEO.

Come già visto, i due piani hanno in comune il punto antipodale, dove avviene la TLI.


Analisi RC3B (Restricted Circular 3 Body). Se per ipotesi il moto della capsula è planare (\ddot{\boldsymbol{z}}=0) (ovvero la traiettoria giace sullo stesso piano del moto dei 2 corpi celesti di massa più grande) possiamo trascurare l’ultima equazione.

Sistema di riferimento usato per l’equazione del moto. Nel caso di analisi R3B il punto (x, y, z) è libero di muoversi in 3 dimensioni.
Nel caso RC3B per ipotesi il movimento è limitato nel piano del moto di m1 e m2

Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer

Il fatto di rimuovere la componente z significa che nei grafici seguenti viene disegnata la proiezione lungo il piano orbitale della Luna della traiettoria del CSM.

Bisogna calcolare in maniera molto precisa posizione e velocità iniziali affinché la traiettoria dell’Apollo circumnavighi la Luna e ritorni in prossimità della Terra con una condizione compatibile con la manovra di rientro. Condizioni anche di poco fuori dalla condizione ottimale fanno percorrere alla sonda traiettorie che andranno in direzione della Terra, ma non necessariamente nel punto di ritorno previsto.

La traiettoria della sonda potrebbe per esempio descrivere anche un moto oscillatorio tra i due corpi, oppure portarsi nella traiettoria giusta per il rientro ma dopo parecchi oscillazioni, quindi un tempo troppo lungo affinché si possa garantire la sopravvivenza dell’equipaggio.

Le figure seguenti mostrano i risultati di diverse simulazioni fatte dall’autore grazie al software sviluppato da Adrien (blog.nodraak.fr) in python. In entrambi i diagrammi viene tracciata una famiglia di traiettorie FRT considerando un periodo di dieci giorni di viaggio. Nel primo diagramma viene mostrato come cambia la traiettoria della FRT al variare del Δv a parità di angolo α di inserimento della TLI; viceversa, il secondo grafico mostra come cambia la FRT al variare dell’angolo α a parità di Δv.

In tutte le simulazioni l’Apollo si trova in un’orbita LEO ad un’altezza di cento miglia nautiche.

I due ingrandimenti a sinistra mostrano come la traiettoria cambi di molto al variare delle condizioni iniziali.

Variare di poco l’angolo α fa la differenza tra schiantarsi sulla Terra in fase di rientro o avvicinarsi entrare nella sfera di influenza terrestre. Anche se in ogni caso servono correzioni di rotta per garantire l’inserimento nel corridoio di rientro, la simulazione permette di escludere a priori alcuni parametri orbitali.

Durante lo sviluppo del progetto Apollo, la responsabile della pianificazione e verifica delle traiettorie FRT era Frances “Poppy” Northcutt: la prima donna ad essere ammessa al Mission Control Room (MCC), all’epoca un ambiente maschile. Poppy si era laureata in matematica in Texas perché voleva evitare lavori da donne ed avere una marcia in più nella ricerca di un lavoro.

Iniziò a lavorare alla TRW (un’azienda del settore avionico) prima di collaborare con NASA per il progetto Apollo come “donna computer” (computress), poi passò al Mission Planning & Analysis Room diventando la prima donna a lavorare al MCC.  Lei divenne la responsabile sia della definizione del profilo di volo delle FRT per l’Apollo 8 che per riprogettare la FRT in tempo reale per la missione di salvataggio dell’Apollo 13: per i suoi contributi ha ricevuto La Medaglia Presidenziale delle Libertà.

Da quando il progetto Apollo è stato chiuso, Poppy ha lasciato la NASA per occuparsi della sua vera passione: la legge. Dal 1984 esercita come avvocato.

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Traiettoria di ritorno libero – Parte III

L’analisi di una traiettoria FRT è un esempio di applicazione del problema degli n corpi, che non ammette soluzioni in forma chiusa, ma si può modellare implementando tecniche di integrazione numerica.

Nel nostro caso possiamo identificare tre diversi metodi risolutivi:

  1. Analisi per approssimazione conica (PCA)
  2. Analisi del problema dei tre corpi ristretto (R3B)
  3. Analisi del problema dei tre corpi ristretto su orbite circolari (RC3B)

Il primo è il modo più semplice ma anche più approssimativo: si ipotizza che la capsula si muova sotto l’influenza gravitazionale di un corpo a seconda della sfera di influenza ed è usato per avere un’idea iniziale della traiettoria che compirà la sonda. Le altre due soluzioni si basano sul problema ristretto dei 3 corpi. L’ipotesi di fondo è che la massa della capsula è molto minore della massa degli altri 2 corpi (Terra e Luna) e quindi sarà soggetta all’accelerazione di entrambi i corpi a seconda della loro distanza: la traiettoria è più precisa del metodo PCA.


Analisi PCA: questo metodo considera solo gli effetti del corpo gravitazionalmente dominante in cui si trova in quel momento la traiettoria della capsula. Il corpo dominante è definito dalla sfera di influenza RSOI (rispetto al Sole) secondo la relazione:

Dove R è la distanza Terra – Sole, Mx è all’occorrenza la massa della Terra o della Luna, MS è la massa del Sole ed R è la distanza Terra – Sole.

PianetaSOI
Terra9,24643 * 105 Km
Luna0,66168 * 105 Km
Valori di RSOI per la Terra e la Luna. Notare come il valore della SOI della Terra è circa un’ordine di grandezza maggiore rispetto alla SOI lunare

Dato che la RSOI terrestre include la RSOI lunare, questo approccio esclude a priori l’influenza terrestre quando l’Apollo si trova all’interno della sfera gravitazionale lunare.

Per questo motivo l’analisi PCA è impiegata quando ancora si sta affrontando la fase di pianificazione iniziale del viaggio.

Il procedimento prevede di studiare separatamente il tratto del percorso dell’Apollo in regime della dinamica dei due corpi (uno alla volta) all’interno della propria SOI.

La traiettoria PCA si sviluppa in tre fasi:

  • traiettoria geocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale terrestre
  • traiettoria selenocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale lunare
  • la traiettoria finale è composta dall’unione delle due traiettorie

Grazie alla TLI, nella traiettoria geocentrica il CSM percorre un’orbita ellittica fino a trovarsi a distanza r1 dalla Terra con una velocità  \overrightarrow{v_{1}} (dell’ordine di qualche centinaio m/s) cioè al raggiungimento della SOI nel punto S intersezione con la sfera r2=RSOI.

Il punto S marca il passaggio nella seconda fase: la traiettoria selenocentrica: consideriamo ora come sistema di riferimento il piano selenocentrico non rotante e osserviamo cosa succede fino all’uscita dalla SOI al punto T.


Dal punto di vista di un osservatore solidale con la Luna essa si muove lungo la traiettoria intorno alla Terra con velocità \overrightarrow{v_{m}}  e vede arrivare l’Apollo con velocità \overrightarrow{v_{2}}  = (\overrightarrow{v_{1}}  -  \overrightarrow{v_{m}}) composizione vettoriale delle due velocità. La velocità risultante d’ingresso \overrightarrow{v_{2}} deve essere pianificata in fase di progetto tale da raggiungere la SOI con una velocità maggiore della velocità di fuga lunare al confine della SOI, in tal caso l’Apollo arriva intorno alla Luna con un’orbita iperbolica (con fuoco nella Luna).

A mano a mano che ci avvicina al pericinzio, la velocità  \overrightarrow{v_{2}} fino a \overrightarrow{v_{max}} quindi si allontana e raggiunge il confine della SOI con velocità di uscita | \overrightarrow{v_{4}}| = |\overrightarrow{v_{2}}| ma direzione differente, ovvero lascia la SOI con velocità geocentrica \overrightarrow{v_{5}} =  (\overrightarrow{v_{4}} + \overrightarrow{v_{m}}) in direzione della Terra.

Esempio di traiettoria per la Luna ove sono evidenziati nel ramo di andata la combinazione della traiettoria geocentrica e selenocentrica.

Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer

L’Apollo effettua un fly-by lunare: il cambiamento della direzione del vettore velocità dipende da quanto siamo vicini alla Luna: se il fly-by viene effettuato più distante, allora il cambiamento di direzione sarà minore, se il fly-by viene effettuato più vicino al perilunio r3 più stretta sarà il cambiamento di direzione del moto, e quindi un vantaggio in prospettiva di un allunaggio.

In ogni caso sono possibili due casi estremi:

  • r3 < 1738 Km (raggio lunare) la sonda si schianta sulla Luna.
  • r3 > 1738 Km (raggio lunare) l’Apollo può entrare in orbita lunare (Lunar Orbit Insertion, LOI) o effettuare un fly-by.

Verso la Terra5. Una volta abbandonata la SOI, l’Apollo si inserisce nel ramo di ritorno della FRT: quest’ultimo è ancora un arco di ellisse. Per compensare gli errori sempre presenti, alcune correzioni di rotta lungo la traiettoria distribuiti fra ramo di andata e ritorno sono possibili, anche se non necessarie. Le correzioni orbitali sono necessarie per includere:

  • errori di approssimazione
  • per accelerare il rientro del CSM (come nel caso dell’Apollo 13)
  • per sincronizzarsi con il punto esatto di rientro a Terra della capsula (la Terra ruota su sé stessa mentre la sonda è in navigazione e la procedura di rientro in atmosfera deve avvenire all’interno di un corridoio preciso).

(continua)

Nota

5Nel presente articolo non viene considera alcuna manovra orbitale di inserimento lunare (LOI) o reinserimento in traiettoria terrestre (TEI) dopo il docking fra LM e CSM. Si considera solo la traiettoria in caduta libera in maniera simile a quanto successo con la missione Apollo 13 (a parte le correzioni di rotta per l’immissione in FRT sul ramo di andata e la correzione di rotta sul ramo di ritorno per velocizzarne il rientro).

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Traiettoria di ritorno libero – Parte I

photo of moon

Un aspetto fondamentale delle missioni Apollo fu la determinazione delle traiettorie che il Modulo Comando e Servizi (CSM) avrebbe dovuto percorrere per raggiungere la Luna ed inserirsi in orbita lunare. Per andare dalla Terra alla Luna e ritorno (in sicurezza) esistono tante traiettorie possibili in funzione dei vincoli di progetto, ognuna con vantaggi e svantaggi. Ad esempio si può utilizzare una manovra LTO1 tradizionale oppure sfruttare i limiti di stabilità delle autostrade gravitazionali del sistema Terra – Luna con un’orbita WSB2 come ha fatto la sonda Hiten negli anni Novanta.

Orbita della sonda giapponese Hiten.
Fonte: Ways to the Moon? R. Biesbroek, G. Janin ESA bulletin 103 – August 2000

Nel caso delle missioni Apollo traiettorie del genere non sono fattibili: ci sono diversi vincoli di progetto che limitano le scelte, eccone alcuni:

  • La durata: la missione deve avere una durata massima di 14 giorni per essere compatibile con la durata media di progetto della capsula Apollo3.
  • Luogo di allunaggio: la traiettoria deve facilitare l’inserimento in orbita lunare ed essere in funzione del luogo di atterraggio. I luoghi di allunaggio in fascia equatoriale (quelli scelti dell’Apollo) richiedono una traiettoria differente rispetto ad allunaggi in zone polari.
  • Costi: il consumo di carburante è il fattore più stringente nelle missioni spaziali (più massa vuol dire più costi) quindi bisogna privilegiare traiettorie che implicano basso consumo di propellente. Questo requisito richiede la ricerca di traiettorie di trasferimento orbitale ottimale (ad esempio Hohmann). Nella voce costi ricadono anche i materiali di consumo quali ad esempio viveri: una durata di cento giorni come per la Hiten non è praticabile.
  • Sicurezza: bisogna essere in grado di mantenere in sicurezza un equipaggio di 3 persone per un lungo periodo di tempo chiusi in una capsula dalle dimensioni 3,9 metri (diametro) x 3,65 metri: in ogni caso la NASA voleva assicurarsi un rientro dell’equipaggio a Terra anche in caso di emergenza estrema.

Le traiettorie circumlunari sono dei buoni candidati perché rappresentano un buon compromesso fra requisiti non sempre compatibili fra loro: fra queste esiste una classe di traiettorie durante le quali la sonda subisce sempre un moto di caduta libera chiamate traiettorie di ritorno libero (Free Return Trajectory, FRT). L’idea alla base di questa strategia era quella di mantenere il CSM in una traiettoria FRT fino a quando non avesse raggiunto la Luna ed avesse iniziato l’inserimento in orbita lunare (LOI): se qualche anomalia fosse insorta durante il viaggio verso la Luna la navicella sarebbe stata ancora in grado di rientrare sulla Terra spontaneamente circumnavigando la Luna apportando all’occasione immancabili brevi correzioni di rotta grazie al sistema propulsivo del modulo di servizio.


Le FRT furono già usate dai sovietici per l’invio di sonde lunari negli anni ’50 sfruttando il lavoro teorico pionieristico di Jurij Kondratjuk (1879 – 1942): esse sono in grado di trasferire una capsula in orbita lunare in circa 69/72 ore, si trattava di adeguarle per le missioni Apollo. Con valori di spinta opportuni, infatti, è possibile far percorrere ad una capsula una FRT, in modo tale che essa orbiti intorno alla Luna e ritorni verso la Terra spontaneamente senza l’utilizzo di altre manovre propulsive ma semplicemente sfruttando la gravità lunare. La NASA poteva così assicurarsi che, nel caso di situazione estrema, la capsula sarebbe ritornata “a casa gratis” senza ulteriori manovre.

Fonte: NASA

All’interno del programma Apollo, le missioni 8, 10 e 11 volarono tutte su questo tipo di traiettorie, mentre le successive sfruttarono delle traiettorie ibride.

Il motivo di questo cambiamento è che la FRT, pur essendo più sicure, consentivano di allunare soltanto in corrispondenza della regione equatoriale della Luna.

Poiché i siti di allunaggio delle missioni successive si trovano a latitudini superiori, si è reso necessario adottare questo tipo di soluzione. In una traiettoria ibrida la navicella viaggia inizialmente seguendo una FRT ma differente rispetto alla precedente, ma durante la traversata essa viene abbandonata per immettersi su una traiettoria ottimale che dipende dal sito di allunaggio desiderato. Esse richiedono sempre l’inserimento in un’orbita molto ellittica, ma non richiedono requisiti geometrici Terra – Luna particolari ed hanno il vantaggio di portare a bordo un carico maggiore.

In orbita intorno alla Terra: Il punto di partenza per la nostra trattazione è immaginare l’Apollo in orbita intorno alla Terra su un’orbita bassa di parcheggio (LEO, Low Earth Orbit) compresa fra 180 e 200 Km di altezza (∼100 miglia nautiche) da Ovest verso Est. Come tutti i lanci delle missioni Apollo essi sono avvenuti in direzione Est in modo da sfruttare la rotazione terrestre: questo accorgimento serve sia a far guadagnare circa 1100 Km/h di velocità sia di consumare una minore quantità di combustibile. In orbita LEO, con l’assistenza della Control Room del Mission Control Center (MCC) di Houston si effettuano i controlli di sistema per verificare la strumentazione di bordo, incluso l’allineamento dell’IMU (Sistema di navigazione inerziale) con le stelle di riferimento.

L’Apollo non può rimanere a lungo in orbita di parcheggio in quanto la batteria del terzo stadio che deve assolvere diversi compiti ha una durata limitata compreso accendere/spegnere il motore J2 del S-IVB e sfiatare/ventilare periodicamente l’idrogeno liquido dal suo serbatoio per motivi di sicurezza ed efficienza. La batteria ha anche il compito di facilitare il pompaggio dell’idrogeno in camera di combustione con l’ossigeno.

La TLI è una fase critica della missione: il tempismo nell’accensione dei motori è infatti fondamentale per poter intercettare la Luna lungo la sua orbita intorno alla Terra.

Per missioni di breve durata, quando si può escludere l’influenza gravitazionale di altri corpi, può essere considerata una traiettoria di trasferimento di Hohmann approssimata in un’orbita molto ellittica.

(continua)

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Note

1Una manovra Lunar Transfer Orbit si ottiene con un trasferimento ellittico alla Hohmann con eccentricità elevata alzando l’apogeo orbitale finché la sonda non viene catturata dalla Luna.

2Le orbite Weak Stability Boundary sono state studiate da E. Belbruno (1987) e riguardano trasferimenti balistici dalla Terra alla Luna. Esse sfruttano regioni nello spazio delle fasi dove gli effetti perturbativi del sistema Terra-Sole-Luna che agisce sulla sonda tendono a bilanciarsi (problema dei quattro corpi ridotto). Queste orbite utilizzano carburante ridotto ma raggiungono la Luna in un tempo variabile da 80 a 100 giorni.

3Nella presente discussione si usa il termine di capsula, navicella o sonda per indicare genericamente l’Apollo; il contesto e del piano di volo è evidente che si riferisce al S-IVB e il CSM, al solo CSM o al CM.

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