In un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative l’energia meccanica totale si conserva

Questa affermazione, conosciuta come principio di conservazione dell’energia¹, era già nota ed applicata sin dal XIX secolo per la sua praticità sia in fisica che in altre discipline: la loro giustificazione si basava dall’osservazione empirica della natura, senza però associare una giustificazione fisica né conoscere alcuna ragione fondamentale di validità. Così come oltre all’energia, erano noti anche i seguenti due principi fisici di conservazione:

• in un sistema isolato la quantità di moto si conserva
• se il momento risultante delle forze esterne è nullo allora il momento angolare del sistema si conserva

Possiamo riformulare matematicamente il primo principio (conservazione dell’energia) associando l’energia totale  di un corpo in movimento per un periodo come somma del contributo dato da due fattori: dall’energia cinetica e da quella gravitazionale:

E_{T}(\dot{x}, x) = E_{K}(\dot{x}, x) + E_{P}(x)

Per il principio, la quantità è sempre costante durante il moto. Per risolvere l’equazione precedente si utilizzano le leggi della meccanica classica di Newton: ovvero si esprime il moto del corpo come sono funzioni vettoriali in nell’intervallo temporale [a, b] durante i quali avviene il moto. Questo significa scrivere la funzione vettoriale che la traiettoria descrive nello spazio (x, y, z), ovvero la nota equazione della dinamica di Newton:

\vec{F(t)} = m\vec{a(t)}

A questa equazione vettoriale corrispondono tre equazioni scalari dove (x, y, z) sono le coordinate cartesiane ortogonali in un fissato sistema di riferimento: se dalla precedente equazione cambiamo sistema di coordinate (ad esempio coordinate cilindriche o polari) la soluzione, ovvero la traiettoria del corpo, non cambia ma l’approccio analitico diventa più difficoltoso. Si pensi ad esempio allo studio del moto di un pianeta intorno alla propria stella: si può descrivere sia in coordinate cartesiane (x, y) che in coordinate polari . Il secondo sistema di riferimento è sicuramente più pratico e più naturale da utilizzare.

Sarà possibile invece riscrivere le equazioni del moto in un sistema di riferimento indipendente? La risposta è sì, ed è quello che fece nel Settecento Lagrange quando suggerì un nuovo formalismo matematico che produceva gli stessi risultati fisici della meccanica newtoniana, ma basato su un nuovo principio: il principio di minima azione.

Riscriviamo intanto l’equazione dell’energia totale di un corpo come:

\mathcal{L(q, \dot{q}, t)} = T(q, \dot{q}, t) - V(q)

Sia l’enegia cinetica del sistema e l’energia potenziale: si definisce lagrangiana la quantità . Questo nuovo formalismo consente di studiare il sistema fisico quando la formula di Newton possiede un approccio troppo complicato da risolvere, come ad esempio sistemi con vincoli (equazioni del pendolo semplice) o, appunto, le orbite dei pianeti. La lagrangiana quindi semplifica il problema utilizzando un sistema di coordinate generalizzate q. Lavorando sempre in un sistema conservativo, Lagrange infine dimostrò l’equivalenza tra l’equazione di Newton e la lagrangiana.

Definiamo ora funzionale azione lungo il seguente integrale:

S = \int_{a}^{b} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt

Possiamo intuitivamente spiegare il funzionale azione come le somme degli eccessi dell’energia cinetica rispetto a quella potenziale calcolata per un quanto di tempo piccolo lungo tutta la traiettoria percorsa dal corpo.

Il problema di trovare la traiettoria del corpo nell’intervallo a partire dall’integrale sopra definito, venne affrontato da Eulero utilizzando una tecnica che ha aperto la strada ad una nuova branca della matematica chiamata calcolo delle variazioni. L’impostazione che egli diede, nota come equazione di Eulero-Lagrange, si basa sulla ricerca degli estremali di .

Per capire il concetto, si immagini l’azione come un valore associato ad ogni possibile traiettoria che un corpo potrebbe fare: ognuna di essa possiede un valore calcolato come “tante piccole somme degli eccessi”, dall’istante iniziale t = a fino ad all’istante finale t = b. Il moto naturale che un corpo seguirà è quello che rende stazionario il funzionale azione, ovvero risulta un valore minimo o massimo di . È come se la Natura volesse ridurre o limitare lo sforzo necessario per compiere il suo lavoro: la Natura, in un certo senso, è pigra.²

Il lavoro di Eulero giustifica matematicamente la relazione fra entità conservate e principi newtoniani, senza però fornirne una giustificazione fisica. Nessuno poteva ancora sapere che agli inizi del XX secolo sarebbe stata sviluppata una teoria più generale che entra in gioco a complicare il problema quando un corpo è sottoposto agli effetti di una grande massa.

Nel novembre 1915 infatti Einstein pubblicò la Teoria della Relatività Generale nell’articolo Feldgleichungen der Gravitation – Preussische Akademie der Wissenschaften: un’estensione della meccanica newtoniana ma con un impianto matematico differente³. Secondo David Hilbert, un matematico contemporaneo al fisico tedesco, era necessario fornirne una dimostrazione matematica dei principi conservativi in questo nuovo contesto.

Prima ancora della pubblicazione, Einstein aveva già discusso nei mesi precedenti dello stesso anno l’argomento con i colleghi universitari, in particolare proprio con Hilbert, il quale riscrisse da zero la teoria di Einstein secondo il formalismo lagrangiano⁴.

Grazie a questo passaggio, il matematico tedesco aveva cercato di usare lo stesso approccio visto in precedenza per dimostrare la validità del principio di conservazione ma non fu in grado; invitò quindi Einstein a trovare una soluzione.

Dopo un anno neanche il fisico tedesco riuscì a venirne a capo; quindi Hilbert decise di rivolgersi ad una persona che all’epoca era la sua assistente, la quale avrebbe avuto le competenze per analizzare il problema da una prospettiva diversa. Questa persona era Amalie Emmy Noether.

Nota

• Uno spazio funzionale è l’insieme di tutte le funzioni dove [a, b] è un intervallo di I suoi elementi sono funzioni.

Bibliografia

• Rivoluzioni matematiche: il teorema di Noether, Edoardo Provenzi – Le Scienze
• Enigmi per decifrare il mondo, Cumrun Vafa – Edizioni Dedalo

1. Un sistema isolato è un sistema che non interagisce in alcun modo con l’ambiente circostante ed una forza conservativa è una funzione che dipende soltanto dalla posizione. ↩︎
2. Se vi fossero più soluzioni a questo problema, ogni soluzione produrrebbe un estremo (un minimo o un massimo) del funzionale. ↩︎
3. La gravitazione diventa con Einstein una proprieta’ della geometria dell’Universo ↩︎
4. Hilbert riscrisse la Teoria della Relatività nell’estate del 1915 ma non la pubblicò per rispettare il lavoro di Einstein; quindi decise di pubblicare il suo lavoro l’anno seguente. ↩︎