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Sfera di Hill

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La definizione di sfera di Hill è dovuta al lavoro dell’astronomo W. Hill che, in maniera indipendente dall’astronomo E. Roche, arrivarono entrambi alla stessa definizione. Per questo motivo viene chiamata anche sfera di Roche1. L’obiettivo è rispondere alla seguente domanda: perché la Luna orbita intorno alla Terra e non intorno al Sole visto che è un corpo più grande intorno al quale anche essa orbita?


Consideriamo un sistema di tre corpi m1, m2 ed m3 con m1 > m2 ed m2 >> m3 (come ad esempio il sistema Sole-Terra-Luna). Il corpo di massa puntiforme (m3) si muova assieme ad m2 intorno ad m1 con velocità angolare \omega costante ad una distanza d. Quindi:

		\omega^{2} = \frac{G \space\ m_{1}}{d^{3}}

Consideriamo ora le due forze gravitazionali \overrightarrow{F}_{m_{1}} ed \overrightarrow{F}_{m_{2}} che agiscono sui corpi m1 ed m2 in rotazione intorno ad un comune centro di massa e calcoliamo il limite superiore della regione di spazio per cui le azioni gravitazionali eguagliano quella dovuta all’accelerazione del moto circolare:

		\frac{G \space\ m_{2}}{R^{2}_{HILL}} - \frac{G \space\ m_{1}}{(d - R^{2}_{HILL})^{2}} + \omega^{2} (d \pm R_{HILL}) = 0

Sostituendo \omega nell’espressione sopra ed applicando l’approssimazione al primo ordine al denominatore possiamo ottenere un valore approssimato del RHILL per un pianeta di massa m2 in orbita circolare intorno ad m1.

		R_{HILL} \simeq d \space\ \sqrt[3] {\frac{m_{2}}{3 \space\ m_{1}}}
Diagramma che illustra il concetto di sfera di Hill, mostrando le forze gravitazionali in un sistema di tre corpi: il Sole (m1), la Terra (m2) e la Luna (m3).
Gli attori principali con i parametri in gioco per il calcolo della sfera di Hill. Disegno di Giorgia Rizzi.

Nel caso di un’orbita ellittica si ottiene invece:

		R_{HILL} \simeq d \space\ (1 - e) \sqrt[3] {\frac{m_{2}}{3 \space\ m_{1}}}

dove e corrisponde all’eccentricità dell’orbita di m2. Sostituendo le costanti note della Terra e della Luna si ottengono i seguenti valori:

  • RHILL della Luna: 61532,11 km (33224.69 nmi)
  • RHILL della Terra: 1496229,36 km (807899.52 nmi)

La sfera di Hill è la più grande regione di spazio ove l’azione delle tre forze è diretta verso il secondo corpo m2 cosicchè sia gravitazionalmente dominante: un terzo corpo molto più piccolo di massa puntiforme m3 potrebbe orbitare intorno ad m2 in maniera stabile.

La sfera di Hill si estende fino a lambire i punti lagrangiani L1 ed L2 ma non coincide con essi: nei punti L1 ed L2 l’orbita non è stabile e piccole perturbazioni possono cambiare l’orbita di m3.
Abbiamo la risposta alla domanda posta all’inizio del paragrafo: anche se dal punto di vista statico il Sole esercita una maggiore attrazione gravitazionale sulla Luna di quanto faccia lo stesso sulla Terra, la Luna orbita all’interno del RHILL della Terra con una velocità angolare tale da controbilanciare l’eccesso di attrazione del Sole; l’influenza gravitazionale della Terra domina su quella del Sole ed impedisce alla Luna di abbandonare la sua orbita per quella di un altro corpo celeste.
Il concetto di sfera di Hill è applicabile ad ogni corpo celeste, anche all’oggetto m3 che si trova nella sfera di Hill del corpo m2 intorno al quale orbita. Questo significa che potrebbero esistere satelliti di oggetti celesti i quali possiedono a loro volta satelliti: il condizionale è necessario perché sono necessarie altre ipotesi, tra cui:

  • il satellite m3 deve essere in grado di resistere alle forze di marea del corpo celeste al quale è legato: non deve orbitare all’interno del limite di Roche.
  • la distribuzione di massa di m2 è supposta uniforme, altrimenti le forze in gioco cambiano.

La missione Apollo 16, per esempio, nonostante alcuni problemi è riuscita a dispiegare in orbita lunare il piccolo satellite PFS-2 (Particles & Fields Subsatellite). Il satellite era inclinato di 10° rispetto all’equatore lunare con un periselènio di 90 km ed aposelènio di 130 km: aveva un’orbita prograda con un periodo orbitale di 120 minuti ma purtroppo, anche a causa dei mascon2 lunari, precipitò sulla Luna 34 giorni dopo.

Schema della configurazione del sottosatellite dispiegato, con indicatori per le antenne, i pannelli solari e il magnetometro.
Configurazione del Satellite PFS delle missioni Apollo.
Fonte: https://tinyurl.com/4nsd524n

Concludiamo la discussione precisando che l’analisi numerica del problema evidenzia che le orbite in prossimità di RHILL non sono stabili su lungo periodo: orbite stabili dipendono dalla distanza di m2 e dall’inclinazione dell’orbita di m3. In questa figura viene mostrato un confronto tra la dimensione del raggio della sfera di Hill e di Laplace per la Luna: la sfera di Hill della Luna ha un raggio più piccolo.

Bibliografia

  • Astrodynamics II Edition 2006 – 07 – Ver. 2.0.1 Guido Colasurdo – Dipartimento di Energetica. Teacher: Giulio Avanzini. Dipartimento di Ingegneria Aeronautica e Spaziale
  • Generalized Hill-stability criteria for hierarchical three-body systems at arbitrary inclinations. Evgeni Grishin, Hagai B. Perets, Yossef Zenati, Erez Michaely. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (Vol 466, num=1, Aprile 2017). Oxford Academic

Note

  1. Non confondere la sfera di Roche con il lobo di Roche (si riferisce all’evoluzione stellare di un sistema di stelle binario) oppure con il limite di Roche (si riferisce alle forze mareali che agiscono su un corpo di massa distribuito nelle vicinanze di un altro più grande). ↩︎
  2. Il termine mascon è l’acronimo di mass concentration e indica una differente concentrazione di massa rispetto alle zone circostanti. Sulla Luna i mascon si trovano nelle zone dei mari sulla faccia a noi visibile del satellite: essi vennero inizialmente analizzati già nella missione Apollo 8. ↩︎

Sfera d’influenza

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Consideriamo un sistema isolato con due soli corpi di massa m1 ed m2 di cui si vuole calcolare le loro traiettorie: grazie agli studi di Keplero sappiamo che il problema ha una soluzione unica. I loro moti appartengono alla famiglia delle coniche: iperbole o parabola se le traiettorie sono aperte, ellissi per traiettorie chiuse.


Il mondo reale è ben diverso, ci sono molti corpi che interagiscono e le equazioni di Keplero non si possono usare; supponendo anche solo di dover pianificare una missione dalla Terra alla Luna dobbiamo considerare tre oggetti: la Terra, la Luna e il nostro modulo spaziale1 di massa m3. Se consideriamo invece i viaggi interplanetari, come per esempio quello delle Voyager, il problema è ancora più complicato: come calcolare la traiettoria di m3?

La soluzione è suddividere la traiettoria in più segmenti di volo ognuno dei quali è costituito da due corpi ed un terzo corpo che disturba i primi due. Lo scopo è stabilire in che parte della traiettoria quale dei due corpi m1 o m2 influenza in maniera dominante la traiettoria del terzo corpo m3 e quale può essere considerata un disturbo gravitazionale. Si introduce quindi il concetto di sfera d’influenza (SOI) nota anche come sfera di Laplace: un modello matematico usato per la pianificazione della traiettorie di sonde spaziali. Ho notato che in letteratura c’è molta confusione al riguardo, con diverse definizioni spesso fuorvianti: per esempio ci sono fonti dove riportano come SOI la regione in cui l’effetto gravitazionale di m1 su m3 termina e rimane solo l’effetto gravitazionale di m2. Questa definizione è errata in quanto la gravità è una forza sempre presente.

La SOI si basa su due componenti di forze: l’azione gravitazionale di corpo principale ed un’azione di disturbo che agiscono su un terzo corpo in moto all’interno dello spazio gravitazionale dei primi due.

Sia un sistema di tre corpi Terra-Luna-CSM di massa mT, mL ed mC rispettivamente in un sistema di riferimento inerziale rispetto alla Terra. Sia inoltre rTC il vettore Terra-CSM, rLC il vettore Luna-CSM ed rTL il vettore Terra-Luna. Calcoliamo l’effetto del sistema Terra-CSM con la perturbazione della Luna rispetto ad un sistema di riferimento inerziale terrestre.
Procediamo con l’impostazione del sistema di due equazioni: nella prima esprimiamo con \overrightarrow{F}{principale, T} il contributo principale della Terra sul CSM, mentre con la seconda equazione \overrightarrow{F}{perturbazione, T} consideriamo due contributi: quello che la Luna esercita sul CSM (primo termine) e quello perturbativo della Luna sugli altri due corpi: 

	\begin{dcases}
		\overrightarrow{F}_{principale, T} = G \frac {(m_{T} + m_{C})} { {\lVert \overrightarrow{r_{TC}} \rVert}^{3} } \overrightarrow{r_{TC}}\\
		\overrightarrow{F}_{perturbazione, T} = - G m_{L}  \left[ \frac{\overrightarrow{r_{LC}}} {{\lVert \overrightarrow{r_{LC}} \rVert}^{3}} + \frac{\overrightarrow{r_{TL}}} {{\lVert \overrightarrow{r_{TL}} \rVert}^{3}} \right]
	\end{dcases}

Stesso ragionamento per il sistema di riferimento selenocentrico per il sistema Luna-CSM con la perturbazione gravitazionale della Terra. Consideriamo l’azione principale della Luna \overrightarrow{F}{principale, L} sul CSM mentre con la seconda equazione \overrightarrow{F}{pertrbazione, L} consideriamo due contributi: quello che la Terra esercita sul CSM (primo termine) e quello perturbativo della Terra sugli altri due corpi (secondo termine):

	\begin{dcases}
		\overrightarrow{F}_{principale, L} = \frac {G (m_{L} + m_{C})} { {\lVert \overrightarrow{r_{LC}} \rVert}^{3} } \overrightarrow{r_{LC}}\\
		\overrightarrow{F}_{perturbazione, L} = - G m_{T}  \left[ \frac{\overrightarrow{r_{TC}}} {{\lVert \overrightarrow{r_{TC}} \rVert}^{3}} + \frac{\overrightarrow{r_{TL}}} {{\lVert \overrightarrow{r_{TL}} \rVert}^{3}} \right]
	\end{dcases}

Quando l’effetto gravitazionale perturbativo dovuto alla presenza della Luna (qui sopra in blu) e subìto dalla Terra rispetto all’azione principale della Terra su mC (qui sopra in rosso) è minore dell’effetto perturbativo dovuto alla presenza della Terra e subìto dalla Luna (vedere disegno a lato in verde) rispetto all’azione principale della Luna (vedere disegno a lato in rosso) su mC allora la traiettoria mC è descritta dalla sola azione della Terra.
Il corpo mC si trova in SOI terrestre.
In colore si è cercato di esprimere le “azioni gravitazionali” mentre il tratto corsivo indica i vettori di distanza.
Disegno di Giorgia Rizzi
Quando l’effetto gravitazionale perturbativo dovuto alla presenza della Terra (in verde) e subìto dalla Luna rispetto all’azione principale della Luna su mC (qui sopra in rosso) è minore dell’effetto perturbativo dovuto alla presenza della Luna e subìto dalla Terra (vedere disegno a lato in blu) rispetto all’azione principale della Terra (vedere disegno a lato in rosso ) su mC allora la traiettoria mC è descritta dalla sola azione della Luna.
Il corpo mC si trova in SOI lunare.
In colore si è cercato di esprimere le “azioni gravitazionali” mentre il tratto corsivo indica i vettori di distanza.
Disegno di Giorgia Rizzi

Siano dati tre corpi mT, mL ed mC (m_{T} > m_{L} e m_{L} \gg m_{C}). Un corpo celeste mC si trova nella sfera di influenza del corpo 1 di massa mT rispetto ad un secondo corpo celeste 2 di massa mL se:

		\begin{equation}
			\textcolor{red}{\frac{\overrightarrow{F}_{perturbazione, T}}{\overrightarrow{F}_{principale, T}} < \frac{\overrightarrow{F}_{perturbazione, L}}{\overrightarrow{F}_{principale, L}}}
		\end{equation}

Ovvero mC si trova in SOI del corpo mT se il rapporto tra il disturbo gravitazionale subìto da mT e l’azione gravitazionale principale esercitata da mT è minore rispetto al rapporto tra il disturbo gravitazionale subìto da mL e l’azione gravitazionale principale esercitata da mL.

Non esiste ovviamente nulla di fisico che separa la due regioni, né si avverte alcun cambiamento di forza all’interno del corpo mC: questo concetto era ben noto anche agli astronauti delle missioni Apollo in viaggio per la Luna.
Nel programma Apollo il passaggio in SOI lunare segnava l’istante di tempo in cui avveniva il cambiamento del sistema di riferimento di coordinate BRCS (Basic Reference Coordinate System) usato a terra al MCC (Mission Control Center) da terrestre a lunare. Questo cambiamento procurava apprensione ai visitatori e giornalisti presenti nella piccola tribuna situata dietro ai banchi (trenches) della Sala di Controllo a Houston perché i vettori di stato p e v del CSM cambiavano improvvisamente valore dando l’impressione ai non addetti ai lavori che fosse successo qualcosa di pericoloso a bordo.

La geometria della regione della SOI in realtà non è una sfera ma piuttosto uno sferoide in quanto, essendo un calcolo vettoriale, dipende dalla direzione di arrivo di mC. A seconda delle semplificazioni che si vogliono introdurre, esistono delle formule che forniscono un valore approssimato del raggio di SOI RSOI. La formula qui sotto fornisce ad esempio il valore di RSOI per un pianeta di massa mL rispetto ad un pianeta di massa mT. La variabile d rappresenta la distanza fra i due corpi mT ed mL: nel nostro caso la distanza media Terra-Luna.

	R_{SOI} \simeq d \left( \frac{m_{L}}{m_{T}} \right)^{\frac{2}{5}}
Immagine che mostra le differenze tra la SOI e sfera di Hill della Luna.
Il raggio della SOI lunare è più grande del raggio della sfera di Hill. Grafico dell’autore.

Sostituendo le costanti note della Terra e della Luna si ottiene un valore approssimativo di RSOI in linea con quanto riportato nell’Apollo Flight Journal 13 al GET (Ground Elapsed Time) 059:01:53.

  • RSOI della Luna: 66193,29 km (35741,53 nmi), ovvero un valore che comprende la sua sfera di Hill.
  • RSOI della Terra: 924402,75 km (499137,74 nmi), ovvero un valore che comprende l’orbita lunare.

All’interno del Sistema Solare il pianeta con la sfera di influenza più grande non è Giove (\simeq 482 \times 10^{15} km) bensì Nettuno (\simeq 865 \times 10^{15} km): questo perché la sua maggiore distanza dal Sole compensa pienamente il fatto di avere una massa più piccola rispetto al gigante del Sistema Solare nonostante quest’ultimo risenta maggiormente dell’effetto gravitazionale del Sole.

Nota: per la presente discussione si e fatto riferimento ai lavori di John D. Cook e di Matthew Peet citati in bibliografia.

Bibliografia

  • Apollo 13 Flight Journal, NASA
  • Spacecraft Dynamics and Control, Matthew M. Peet – Arizona State University. Interplanetary Mission Planning.
  • Sphere of Influence John d. Cook.

Note

  1. Come ad esempio il CSM del programma Apollo in viaggio per la Luna. ↩︎

L’equazione del razzo e staging

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Lo scienziato russo Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky fu uno dei primi scienziati a studiare e formalizzare i concetti del volo spaziale come lo conosciamo oggi. A causa della scarlattina dovette convivere con una forma di sordità alle orecchie sin dall’età di 10 anni: probabilmente questo influì sul carattere riservato e così da studente autodidatta si impegnò a studiare fisica, chimica, meccanica e matematico fino a diventarne insegnante a Borovsk. Appassionato come molti suoi contemporanei ai testi di Giulio Verne si chiedeva se i racconti dello scrittore francese potessero avere un risvolto teorico.
Le sue pubblicazioni uscite in più parti sulle riviste russe dell’epoca nel maggio 1903 e nei mesi successivi sono antecedenti anche quelli di Robert Goddard dei primi del XIX secolo e riguardano il campo gravitazionale terrestre, l’uso dei propellenti liquidi come combustibili per i razzi (O2 e H2), analisi sul principio di reazione, discussione su possibili satelliti artificiali terrestri e formule fondamentali per il volo spaziale. Si ritiene che il suo carattere particolare è stato il motivo principale per cui le sue opere vennero conosciute ed approfondite solo più tardi in Europa e negli Stati Uniti.

La Terra è la culla dell’umanità, ma non si può vivere nella culla per sempre

Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky

Tra queste la più nota è quella in cui descrive l’equazione fondamentale del razzo. Consideriamo un razzo di massa m0 che si muove con velocità v0 rispetto ad un sistema di riferimento inerziale nel vuoto in uno spazio privo di gravità. Il razzo procede per il suo moto, grazie al principio di azione e reazione di Newton, espellendo i gas di scarico dagli ugelli. Mano a mano che il razzo consuma il combustibile parte della sua massa diminuisce: ci chiediamo qual è la quantità di massa (m0 – mf) che il razzo dovrà consumare per raggiungere la velocità finale vf ?
L’equazione di Tsiolkowsky ci fornisce la risposta.

	v_{f} - v_{0} = - g_{0} \space\ I_{sp} \ln \left( \frac{m_f}{m_o} \right)

Il valore mf rappresenta la massa finale del razzo quando avrà raggiunto vf. Il termine Isp si chiama impulso specifico ed è una costante che dipende dalla caratteristica del tipo di propellente usato (dimensionalmente si misura in secondi), mentre g0 è l’accelerazione di gravità a livello del mare. La tabella seguente riporta per esempio i valori di impulso specifico per alcuni tipi di propellente.

TipoIsp [s]
Solido260 – 300
Mono-propellente liquido140 – 235
Bi-propellente liquido320 – 460
Ibrido290 – 350
N260
H2250
Alcuni valori di impulso specifico Isp per diversi tipi di propulsione. Fonte: vedi bibliografia.

L’equazione si presta anche ad una seconda lettura: se voglio avere una grande variazione di velocità devo fare in modo che mf sia molto minore di m0, ovvero devo consumare una grande quantità di massa. Questo obiettivo è raggiungibile sia bruciando il combustibile in maniera più efficiente oppure progettando il razzo con più stadi.
Vediamo perché: pensiamo ad un treno composto da più vagoni1. Ogni vagone contiene del carbone che alimenta una locomotiva a vapore. Quando ho consumato tutto il carbone dell’ultimo vagone quel che rimane è solo un vagone vuoto che costituisce una massa inutilizzata: posso sganciarlo dal resto del treno. Questa variazione di massa comporta un aumento di velocità del treno. Si consuma quindi il carbone del penultimo vagone, ora diventato ultimo: quando rimane vuoto viene sganciato anch’esso (staging), il treno aumenta ancora di più la sua velocità, e così via … come mostrato nelle due sequenze di esempio qui sotto (autrice delle fotografie: Giorgia Rizzi).


Ecco perché oggi molti vettori spaziali sono multistadio. In generale, per un razzo di n stadi2 l’incremento di velocità totale al temine delle operazioni di staging è la somma dei singoli incrementi di velocità di ogni stadio intermedio. Ma dato che ogni stadio può utilizzare un carburante differente, si avranno diversi valori di Isp: nel caso reale inoltre, bisogna tener conto della forza di gravità e del dragging atmosferico (resistenza nel mezzo), quindi la velocità totale è ancora più bassa.
Tsiolkovsky morì all’età di 78 anni il 19 Settembre 1935: negli ultimi anni il governo bolscevico gli garantì una pensione.

Sopra: sequenza di staging dello stadio S-IC del Saturn V dell’Apollo 8. Fonte: Documentario “Chasing the Moon”, 2019.
Sotto: staging dello stadio S-IC del Saturn V dell’Apollo 11. Fonte: Wikipedia.

Nel programma Apollo, l’operazione di staging del primo stadio del Saturn V era una manovra complessa comandata dal computer LVDC (Launch Vehicle Digital Computer) sviluppato dall’IBM. La manovra era effettuata ad intervalli precisi chiamati Timebase solo dopo le operazioni di rotazione (roll & pitch) per minimizzare i rischi ed ovviamente con sistemi di accensioni ridondati. L’LVDC aveva il compito di effettuare le seguenti operazioni:

  • circa due minuti dal lift-off (il valore esatto del cut-off dipende dalla missione Apollo) l’LVDC posizionato nella IU (Instrument Unit) situato sopra il terzo stadio S-IVB e sotto il CSM/LM attiva il comando di spegnimento del motore centrale F1 (Timebase 2), mentre gli altri quattro laterali continuano il loro lavoro fino all’esaurimento del LOX e KP1 (Timebase 3).
  • l’LDVC rileva quindi il completo esaurimento del carburante e invia una seconda serie di segnali elettrici che attivano delle cariche (EBW – Explosive BridgeWire firing units) per separare fisicamente il primo stadio che segue per inerzia il corpo principale.
  • otto retrorazzi laterali nelle carenature a forma di cono si accendono nel primo stadio per allontanarlo ulteriormente dal Saturn V (si veda la prima figura qui sotto). Lo stadio perde momento (velocità) e prosegue in caduta balistica verso il suo destino nell’oceano a circa 350 miglia dal KSC (Kennedy Space Center).
  • si attivano ulteriori otto piccoli propulsori (o meglio gli ullage) per 4 secondi posizionati sulla poppa del secondo stadio S-II per mandare in pressione il carburante (O2 e H2).
  • in questo istante di tempo intermedio il Saturn V procede per inerzia con il propellente del secondo stadio che risente dello sloshing.
  • dopo 30 secondi, quindi altre cariche si attivano e separano l’anello interstadio dal diametro di 5,5 m (soprannominato skirt) compreso tra il primo (S-IC) e secondo stadio (S-II) del Saturn V. Per motivi di sicurezza non era possibile separare l’anello assieme al primo stadio (avere 2 corpi che possono andare in rotazione in coda che ti seguono mentre si raggiunge l’orbita di parcheggio non è proprio rassicurante).
  • si accendono i cinque motori J2 del secondo stadio per circa 6 minuti. Il Saturn V continua la sua salita.
Posizione dei retrorazzi nel S-IC del Saturn V.
Fonte: vedi bibliografia
Tabella con l’elenco dei sistemi di retrorazzi a combustibile solido del Saturn V.
Fonte Vedi bibliografia

Un sistema di quattro telecamere montate sul Saturn V e su un aereo in volo dell’ATS (Airbone Television System) riprendevano l’intera sequenza ed trasmettevano dati a terra. All’interno del CSM gli astronauti sperimentano sul proprio corpo le variazioni di forze g, soprattutto allo staging del S-IC. Durante la missione Apollo 83, alla separazione dell’S-IC, gli astronauti vengono catapultati in avanti con un’accelerazione di 4g .
William Anders (pilota del LM) istintivamente mise la mano davanti al viso per la paura di andare contro il pannello di controllo del CSM e quando venne scaraventato all’indietro contro la sua postazione la visiera del casco si era rigata con l’anello di raccordo di metallo dei suoi guanti.

Diagramma delle forze g sperimentate dall’equipaggio dell’Apollo 8 durante l’ascesa. Fonte: Apollo 8 Flight Journal

Mettiamo in pratica l’equazione con un esempio puramente teorico, indicativo ma verosimile per la ISS. La ISS orbita intorno alla Terra ad un’altezza compresa fra 370 km e 460 km con una velocità orbitale compresa fra 7,6 km/s e 7,7 km/s (ovvero 27500 km/h). Se dobbiamo inviare un payload agli astronauti che vi soggiornano (rifornimenti, materiali, strumentazione scientifica …) quanta massa dobbiamo spendere per raggiungerla con razzo a bi-propellente liquido? Consideriamo un valore indicativo di Isp = 350 secondi per un combustibile RP-1/LOX. Sostituendo si ottiene:

	7700 \space\ [m/s] = - 9,81 \space\ [m/s^2] \space\ 350 \space\ [s] \space\ \ln \left( \frac{m_f}{m_o} \right)

	2,2426 = - \ln \left( \frac{m_f}{m_o} \right)

ovvero m0 = 9,4178 mf. Per ogni chilogrammo di payload utile devo utilizzare 9,4178 kg di massa accessoria per raggiungere la ISS. In pratica circa 90,401% della massa del razzo è rappresentato dal propellente e dalla massa a vuoto degli stadi intermedi, il resto rappresenta il carico utile. E’ fondamentale ad ogni lancio ottimizzare le risorse e gli spazi per contenere i costi.

Bibliografia

  • David Woods and Frank O’Brien. Apollo 8 Flight Journal. 2024
  • George Marshall Space Flight Center, Saturn V flight manual, SA-503. November 1968. NASA
  • SPACE MECHANICS. Note tratte da “SPACECRAFT ORBITAL DYNAMICS AND CONTROL” Bologna. Prof. Giacomo Tommei e Dr. Stefano Maro’ A.A. 2018 – 2019.
  • How Apollo Flew to the Moon 2011 – W. David Woods

Note

  1. L’esempio di riferisce proprio al concetto originale che aveva in mente lo scienziato russo. ↩︎
  2. Il Saturn V era costituito da n=3 stadi. ↩︎
  3. L’Apollo 8 fu la prima missione del Saturn V con equipaggio a bordo. La variazione di g per le altre missioni Apollo avevano valori molto simili. ↩︎