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Punti lagrangiani

By articolidiastronomia on 24/02/2013 • ( 1 commento )

Sappiamo ormai che il problema dei N corpi non ammette una soluzione; ciò però non vuol dire che non sia possibile trovarne alcune per casi particolari legati alla configurazione geometrica delle masse e a simmetrie spaziali. Consideriamo ad esempio N = 3 corpi, in cui uno dei tre sia massivamente minore rispetto agli altri due (problema ristretto di Hill); si tratta di un caso non isolato che possiede numerose analogie con la realtà, soprattutto all’interno del Sistema Solare. Un esempio di quest’ultimo caso è il sistema Terra – Sole – satellite/sonda, dove i primi due corpi possiedono una massa molto maggiore del terzo.

Lagrange (1736 – 1813), che studiò a fondo il problema riuscì a dimostrare che questo problema ammette come soluzione particolare l’esistenza di alcuni punti di equilibrio (stabili ed instabili) chiamati punti lagrangiani. I punti lagrangiano sono cinque, e si distribuiscono come segue:

I punti L₁, L₂, L₃sono collineari, situati sulla linea che unisce i due corpi più massivi.
I punti L₄, L₅sono al vertice di un triangolo equilatero, i cui due vertici sono occupati dai due corpi più massivi.

I punti L₄ ed L₅ sono punti di equilibrio stabile, in cui il terzo oggetto condivide l’orbita con uno degli altri due; dal punto di vista geometrico i tre corpi si posizionandosi ai vertici di un triangolo equilatero. Il corpo celeste di massa molto piccola rispetto agli altri due sarà vincolato gravitazionalmente al punto di equilibrio e rivoluzionerà intorno al Sole mantenendo le stesse distanze dagli altri due corpi di massa maggiore.

Le distanze dei punti di equilibrio dai due corpi variano in funzione della massa dei due corpi; nel caso del sistema Terra – Sole il punto L₁ è situato a una distanza di 1,5 milioni di Km dalla Terra in direzione della congiungente Terra – Sole; L₂ è situato anch’esso alla stessa distanza ma nella direzione opposta verso l’esterno dell’orbita, mentre il punto L₃ si trova dalla parte opposta al Sole alla stessa distanza dalla Terra.

Questi tre punti sono sempre instabili; basta una minima perturbazione per dar luogo a un movimento caotico che può portare l’oggetto lontano dal punto di equilibrio.

I punti L₄ e L₅ seguono e precedono l’orbita della Terra di 60°; nel nostro caso l’equilibrio è stabile; in altre parole il terzo corpo se soggetto a una piccola perturbazione esterna tende a tornarvi spontaneamente.

Le posizioni di equilibrio si ottengono annullando le derivate dell’equazione che rappresenta l’energia totale del sistema (contributo potenziale e centrifugo); il risultato è la soluzione statica e stazionaria del problema.

Per trovare i punti di stabilità del sistema s’impostano piccole variazioni di posizione (sui tre assi) nell’intorno del punto di equilibrio e si sviluppano le nuove equazioni in serie di Taylor. Infine s’introduce la variazione nel punto di equilibrio (s’impone a zero la derivata) e si risolvono le nuove equazioni: si ricava che la stabilità dei punti L4 ed L5 non è sempre garantita, ma dipende dalla massa dei due corpi.

Nonostante l’instabilità dei punti L₁ e L₂, essi costituiscono dei punti ideali per porre avamposti spaziali e/o sonde lanciate dalla Terra per l’osservazione del cielo; grazie alla correzione dell’orbita infatti è possibile mantenere l’oggetto nei dintorni del punto di equilibrio con orbite semi periodiche che sono chiamate Halo.

Esempio di orbita Halo intorno L2 – Foto credit: NASA/JPL

Il punto L₁ in particolare è già occupato dalle seguenti sonde:

1978: ISEE-3 per lo studio del vento solare e dei raggi cosmici.
1995: SOHO, una sonda dedicata allo studio del Sole.
1997: ACE per lo studio di particelle energetiche e del vento solare.
2001: Genesis per lo studio del vento solare

Nell’intorno del punto L₂invece si trovano:

2001: WMAP una sonda per lo studio dell’Universo all’infrarosso.
2008: Herschel, un telescopio per l’osservazione del cielo nel lontano infrarosso.
2008: Planck una sonda per lo studio della radiazione di fondo a microonde.
2012: GAIA che effettua misure di astrometria.

Nel 2018 inoltre verra a trovarsi anche il telescopio James Webb (in sostituzione del telescopio Hubble). Nel Sistema Solare esistono altri esempi in cui sono sfruttati naturalmente i punti lagrangiani: si tratta del sistema Sole – Giove, e Sole – Saturno e Terra – Luna. Nei punti L₄ e L₅ di Giove ci sono due famiglie di asteroidi noti come i Greci e Troiani che rivoluzionano assieme a Giove e pertanto presentano lo stesso periodo di rivoluzione (risonanza 1:1); su Saturno invece, i punti L₄ ed L₅ sono occupati da due suoi satelliti: Telesto e Calipso.

Nel caso del sistema Terra – Luna il punto lagrangiano L₂ ebbe il suo periodo di notorietà negli anni ’60, durante il periodo del programma Apollo; si pensava di sfruttare l’orbita Halo translunare L₂ per posizionare un satellite di telecomunicazioni per garantire la continuità di comunicazioni con la Terra durante il passaggio delle navicelle Apollo nella parte invisibile della Luna, ma a causa dei costi il progetto venne abbandonato. Oggi si pensa possa essere sfruttato per creare un avamposto spaziale per la futura missione su Marte.

La seguente tabella mostra i valori di L₂per alcuni corpi celesti del Sistema Solare:

M₁	M₂	Distanza
Sole	Mercurio	220.000 Km
Sole	Terra	1.500.000 Km
Sole	Marte	1.100.000 Km
Sole	Giove	54.300.00 Km
Terra	Luna	65.000 Km
Giove	Io	10.000 Km

Riferimenti

Il walzer dei pianeti, Stefania Celletti, Ettore Perozzi. Springer editore

Cos’è la meccanica celeste

By articolidiastronomia on 16/02/2013 • ( 4 commenti )

La meccanica celeste è la disciplina dell’astronomia che si pone come obiettivo quello di calcolare e predire le traiettorie dei corpi celesti: naturali e artificiali; sebbene la nascita del termine sia dovuta a Laplace (1749 – 1827), le basi sulle quali si fonda sono nate con i lavori di Keplero (1571 – 1630) e in seguito approfondite da Newton (1641 – 1727).

L’impegno di Keplero nello studio dell’orbita di Marte con il tentativo di conciliare gli enormi dati osservativi di Tycho con la formulazione di un modello teorico che spiegasse il moto retrogrado di Marte, portò alla formulazione delle ben note tre leggi di Keplero. Più tardi Newton, studiando il moto di caduta dei gravi e grazie alla recente nascita del calcolo differenziale, introdusse la legge di gravitazione universale; in essa si esprime la forza d’interazione gravitazionale fra due corpi in funzione della loro massa e posti a una certa distanza fra loro, come espresso qui di seguito:

F = - G * \frac{M_{1} * M_{2} }{d^{2}}

dove G è la costante di gravitazione universale (= 6,67 * 10-11 N m²/Kg²), d è la distanza fra i due corpi ed M₁ ed M₂ sono le masse dei due corpi considerati puntiformi.

La legge di Newton è valida in tutto l’Universo e per tutti i corpi sotto le seguenti ipotesi:

Non si tiene conto del movimento di precessione delle orbite, altrimenti la formula deve essere modificata per introdurre gli effetti della Teoria della Relatività.
Quando stiamo lavorando a scale atomiche, occorre introdurre una teoria differente: la meccanica quantistica.

La legge di Newton consente di costruire quindi le equazioni per la determinazione del moto dei corpi celesti: considerando un Universo costituito da due soli corpi (ad esempio la Terra e il Sole) e impostando le condizioni iniziali in termini di posizione e velocità dei due corpi, la soluzione cui si perviene sono le traiettorie dell’orbita dei due corpi celesti. In termini geometrici ciò che si ottiene sono due ellissi: le tre leggi di Keplero non sono altro che una forma approssimata della soluzione analitica esatta. Quando si riesce ad ottenere in forma chiusa la soluzione delle equazioni di un sistema (ovvero con una formula) come in questo caso, allora il sistema si dice integrabile.

M₁ ed M₂ possono rappresentare il Sole e la Terra, i quali ovviamente non sono gli unici corpi presenti nel nostro universo, né tantomeno all’interno del Sistema Solare; se per esempio volessimo trovare le traiettorie delle orbite di ogni singolo pianeta (Mercurio, Venere, Marte, …) , occorre impostare un sistema di equazioni come quella di Newton in cui per ogni pianeta si considera il contributo gravitazionale di tutti gli altri 8 pianeti e risolverle ….

Il problema appena descritto si può generalizzare ed estenderlo per N corpi generici, la cui formulazione completa diventa la seguente:

Dati N corpi liberi di muoversi sotto l’influenza dell’attrazione gravitazionale e le condizioni iniziali di ciascuno (posizione e velocità), impostare e risolvere il sistema di equazioni che rappresentano le equazioni del moto.

Nonostante la semplicità della formulazione del problema, la ricerca di una soluzione al sistema non lo è altrettanto; non è possibile trovare una soluzione generale, cioè non si può trovare le N funzioni in forma esplicita che rappresentano le soluzioni al problema: si dice che il sistema non è integrabile.

Questo perché la descrizione del problema porta alla formulazione di equazioni che non sempre sono separabili; a volte è possibile trovare delle soluzioni per alcuni casi particolari, associati alla configurazione geometrica dei corpi. Nonostante ciò, da almeno XVII secolo molti astronomi e matematici hanno dedicato anni di studi alla ricerca di una soluzione, tra questi Lagrange affrontò un caso particolare del problema nel caso di N = 3 e aveva trovato alcune soluzioni periodiche legate a particolari simmetrie, una delle quali ad esempio vede i tre corpi in equilibrio ai vertici di un triangolo equilatero in rotazione.

Il profondo interesse che sempre più studiosi verso il problema dei N corpi era legato allo studio delle orbite planetarie ed alla stabilità del Sistema Solare: in generale quest’ultimo aspetto ricopre un’importanza fondamentale nella ricerca delle soluzioni del problema dei N corpi. Nonostante infatti il problema sia definito da equazioni semplici e deterministiche, variando anche di poco le condizioni iniziali del sistema, si può ottenere una grande varietà di orbite. L’estrema sensibilità alle condizioni iniziali in un sistema deterministico può portare a soluzioni molto diverse in cui nascono moti irregolari; un piccolo cambiamento modifica in modo considerevole l’evoluzione successiva del sistema e diventa impossibile fare una predizione delle orbite su lungo periodo. Oggi esiste una branca della matematica che studia l’estrema sensibilità di un sistema dinamico alle condizioni iniziali: la teoria del caos.

Alla fine del 1800 il problema della stabilità delle soluzioni coinvolse persino personalità reali, come il re di Svezia Oskar II, mise in palio un premio in denaro, da consegnare in occasione del suo compleanno, per chi fosse riuscito a trovare una soluzione.

Il premio fu attribuito nel 1889 a Henri Poincaré, il quale dedicò tanta energia alla ricerca della soluzione del problema da scrivere un trattato con più di 270 pagine, ma purtroppo non riuscì a trovare una soluzione. Nonostante i suoi sforzi però, le sue analisi furono molto utili per le nuove idee che introdusse nell’affrontare il problema.

Egli riuscì a dimostrare che nel caso di tre corpi:

Si presentavano per forza delle orbite instabili, tali per cui un piccolo cambiamento delle condizioni iniziali portava a un cambiamento notevole dell’orbita.
Potevano esistere soluzioni periodiche in funzione della configurazione geometrica dei corpi.
Non è possibile calcolare con un errore arbitrariamente piccolo una soluzione valida per un tempo arbitrariamente grande e per ogni condizione iniziale.

Esempio sezione di Poincarè con orbita non periodica — Sezione di Poincarè con orbita non periodica

Anche Poincaré fece molti passi avanti nella ricerca di soluzioni perché introdusse uno strumento molto utile nella ricerca di periodicità delle soluzioni senza risolvere le equazioni. Il suo ragionamento è il seguente: per sapere se esiste una soluzione periodica, anziché tentare di risolvere le equazioni ed esaminare il risultato, possiamo analizzare cosa succede in alcuni punti in un grafico chiamato spazio delle fasi delle soluzioni, un grafico che rappresenta in maniera univoca tutti i possibili stati del sistema.

Mappa di Poincarè: x0 è un'orbita periodica — Sezione di Poincarè: x₀ è un’orbita periodica

Egli quindi analizzò i punti dello spazio delle fasi in prossimità di traiettorie periodiche costruendo una sezione: seguendo il percorso di ogni punto bisogna controllare dove la traiettoria interseca di nuovo per la prima volta la sezione creata. Se il punto nello spazio descrive una curva chiusa con lo stesso punto di partenza e arrivo sulla sezione allora il moto dell’oggetto sarà periodico per sempre. Il concetto si può estendere nel caso di dimensioni arbitrarie ed coinvolge anche considerazioni sulla topologia (un’altra branca della matematica).

Il mio Sistema Solare — (Simulatore di un Sistema Solare personalizzato. Vedi bibliografia)

Il nostro Sistema Solare rappresenta un ottimo laboratorio per l’applicazione dei risultati della meccanica celeste, dove si possono trovare differenti configurazioni geometriche che portano a molteplici tipi di orbite: stabili, caotiche, periodiche … Le leggi della meccanica celeste sono universali (ad eccezione dei punti sopra esposti) e il loro utilizzo non si limita ai nostri confini, ma fornisce anche un valido contributo alla ricerca di pianeti al di fuori il nostro Sistema Solare per cercare di capire se esistono altri mondi simili al nostro.

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