Seconda parte

La dinamica di un corpo rigido venne affrontato da Eulero (1707 – 1783), prolifico matematico svizzero che frequentò le principali corti europee del tempo. La formulazione generica del problema richiede l’introduzione dell’ellissoide di inerzia e dei suoi assi inerziali: il concetto di base è la sostituzione dell’oggetto che stiamo studiando di forma irregolare e con un centro di gravità fisso, con un altro fittizio chiamato ellissoide di inerzia aventi le stesse proprietà dinamiche che si comporta come l’oggetto principale. Si tratta di un oggetto privo di massa le cui dimensioni degli assi vengono definite dai tre assi principali di inerzia del corpo principale: la dimensione di ogni asse di inerzia è proporzionale all’inerzia dell’oggetto vero lungo quella direzione, ovvero l’inerzia è maggiore dove la massa si muove più velocemente.

Questo vuol dire che l’asse di inerzia è più lungo dove l’asse del corpo (rispetto al sistema di riferimento) è minore. Diciamo quindi che il comportamento del moto complessivo e risu\bigltante che si ottiene studiando l’ellissoide di inerzia è identico a quello originale.

\begin{cases}
-\omega_{b}\omega_{c}(B-C)=-\frac{3}{r^3}\beta\gamma
\\
-\omega_{c}\omega_{a}(C-A)=-\frac{3}{r^3}\gamma\alpha
\\
-\omega_{a}\omega_{b}(A-B)=-\frac{3}{r^3}\alpha\beta
\end{cases}

Qui sopra viene rappresentato il sistema di equazioni di Eulero dove A < B < C sono i momenti di inerzia di Iperione, r è la distanza Saturno-Iperione e ω_a, ω_b e ω_c sono le tre velocità angolari (lungo le direzioni degli assi) in un sistema di riferimento “saturno-centrico” postato nella figura a destra (la direzione di Saturno esce dalla pagina verso il lettore). Questo sistema di riferimento però non è utile per la descrizione del fenomeno nel caso della meccanica celeste: occorre effettuare una trasformazione degli assi in coordinate astronautiche (parametri orbitali), più utili per la descrizione del fenomeno. La figura seguente mostra il nuovo sistema di riferimento usato:

 I nostri nuovi parametri orbitali di riferimento saranno:

• Pericentro: il punto dell’orbita di un corpo celeste in rotazione più vicino al centro di gravità rispetto al quale si muove
• Anomalia vera f: angolo orario tra il vettore che punta al pericentro e la posizione di Iperione lungo l’orbita
• angolo di rotazione θ lungo sul piano orbitale (x, y) rispetto al pericentro perpendicolare all’asse di rotazione z.

Ovviamente, perché la soluzione abbia un senso, occorrono anche le condizioni iniziali del sistema (di Iperione), ovvero la posizione iniziale di ω_a (t=0), ω_b (t=0) e ω_c (t=0) e le loro variazioni su ogni asse (in totale 6 condizioni).

Prima di procedere facciamo alcune considerazioni: l’equazione di Eulero per la dinamica di corpo libero non è integrabile, ovvero non esiste un metodo che possa darci una soluzione in formula chiusa rispetto ai tre assi inerziali di rotazione: ci vogliono tecniche numeriche di analisi^[1]. Così come per l’equazione del problema dei N corpi della meccanica celeste, esistono però alcune considerazioni generali che si possono fare ed esistono alcuni casi particolari (per esempio configurazioni geometriche) che consentono di fare delle semplificazioni e trovare una soluzione al problema.

Se ipotizziamo una velocità di rotazione uniforme intorno ad un asse qualsiasi (noti i tre momenti di inerzia I₁  > I₂ > I₃) si possono formulare i seguenti risultati particolari (C = I₁, B =  I₂, A = I₃):

• Le soluzioni stazionarie possibile all’equazione di Eulero sono attorno gli assi principali di inerzia
• Le rotazioni stazionarie stabili si hanno attorno agli assi con momenti di inerzia minimo o massimo: il corpo rigido non può ruotare lungo l’asse di inerzia intermedio

Tenendo presente quanto detto sopra e, se ipotizziamo ragionevolmente che:

• Iperione risenta degli effetti di marea di Saturno (similmente a diversi satelliti del Sistema Solare), in grado di bloccare la rotazione del satellite sui due assi del piano orbitale (x, y). Questo significa che il suo moto di rotazione avviene su un solo asse, quello maggiore, perpendicolare al suo piano orbitale (z).
• il suo moto di rotazione, qualunque esso sia, sia più veloce del suo moto di rivoluzione intorno a Saturno

allora l’unica coppia di variabili indipendenti dell’equazione di Eulero è {θ(t), d θ(t)/dt} lungo il quale è possibile l’unica soluzione stazionaria all’equazione del moto di corpo rigido. L’equazione precedente si semplifica e quindi diventa:

\ddot{\theta} + \bigg( \frac{\omega_{0}^{2}}{2r^3}\bigg) sin 2(\theta-f) = 0

\omega_{0}^{2} = \frac{3(I_{2}-I_{3})}{I_{1}}

dove

• e rappresenta l’eccentricità dell’orbita
• l’angolo f è l’anomalia (angolo) del pericentro.

Nell’equazione precedente viene descritto il moto di un corpo rigido che ruota su sé stesso lungo l’asse z perpendicolare al piano dell’orbita e contemporaneamente orbita intorno ad un ellisse definita dalla coppia {MP, (θ – f)}. Gli attori principali della dinamica sono due risonanze:

1. rotazione sul proprio asse (spin)
2. orbita intorno al pericentro

L’analisi dei problemi in cui ci sono più risonanze che si sovrappongono ha mostrato come, sotto alcune condizioni, la soluzione del problema mostri fenomeni di stabilità e/o caos. Boris Chirikov (1928 – 2008) nel 1979 basandosi sull’espansione in serie di Fourier (sia f che r sono termini periodici) ha mostrato in maniera euristica che:

un’orbita che parte da una regione in cui si sovrappongono due risonanze mostrerà un’evoluzione caotica.

Chirikov ha postulato l’esistenza di un valore di soglia ω₀^R0 per mezzo della quale è possibile stabilire a priori se possiamo aspettarci a priori zone caotiche nella soluzione dell’equazione. Il parametro ω₀ può anche scritto in funzione dell’eccentricità e:

\omega_{0}^{R0}=\frac{1}{2+\sqrt{14e}}

Nel caso di Iperione si ottiene ω₀^R0 = 0.31, maggiore di quello che è stato possibile determinare dalle immagini della Voyager 2, e più recente dalla Cassini (ω₀ = 0.89)^[2]. Essendo ω₀ > ω₀^R0 (sopra soglia) Iperione dobbiamo aspettarci nella soluzione dell’equazione del moto ampie zone di caoticità nella sua rotazione lungo il suo asse z. Basandoci su queste considerazioni, nel prossimo passaggio verrà mostrato più in dettaglio la sezione di Poincarè associata all’equazione del moto così da poter definire per quali condizioni possiamo considerare caotico il moto di Iperione.

(continua)

Note

[1] Il modello si basa su un sistema di equazioni differenziali in sei dimensioni (e sei condizioni iniziali) risolvibile in maniera analitica con il metodo di Runge – Kutta

[2]I valori di eccentricità e ω₀ sono stati ricavati dalle sonde a partire dalla stima dei tre valori dei momenti di inerzia

Bibliografia