Lo scienziato russo Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky fu uno dei primi scienziati a studiare e formalizzare i concetti del volo spaziale come lo conosciamo oggi. A causa della scarlattina dovette convivere con una forma di sordità alle orecchie sin dall’età di 10 anni: probabilmente questo influì sul carattere riservato e così da studente autodidatta si impegnò a studiare fisica, chimica, meccanica e matematico fino a diventarne insegnante a Borovsk. Appassionato come molti suoi contemporanei ai testi di Giulio Verne si chiedeva se i racconti dello scrittore francese potessero avere un risvolto teorico.
Le sue pubblicazioni uscite in più parti sulle riviste russe dell’epoca nel maggio 1903 e nei mesi successivi sono antecedenti anche quelli di Robert Goddard dei primi del XIX secolo e riguardano il campo gravitazionale terrestre, l’uso dei propellenti liquidi come combustibili per i razzi (O₂ e H₂), analisi sul principio di reazione, discussione su possibili satelliti artificiali terrestri e formule fondamentali per il volo spaziale. Si ritiene che il suo carattere particolare è stato il motivo principale per cui le sue opere vennero conosciute ed approfondite solo più tardi in Europa e negli Stati Uniti.

La Terra è la culla dell’umanità, ma non si può vivere nella culla per sempre

Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky

Tra queste la più nota è quella in cui descrive l’equazione fondamentale del razzo. Consideriamo un razzo di massa m₀ che si muove con velocità v₀ rispetto ad un sistema di riferimento inerziale nel vuoto in uno spazio privo di gravità. Il razzo procede per il suo moto, grazie al principio di azione e reazione di Newton, espellendo i gas di scarico dagli ugelli. Mano a mano che il razzo consuma il combustibile parte della sua massa diminuisce: ci chiediamo qual è la quantità di massa (m₀ – m_f) che il razzo dovrà consumare per raggiungere la velocità finale v_f ?
L’equazione di Tsiolkowsky ci fornisce la risposta.

	v_{f} - v_{0} = - g_{0} \space\ I_{sp} \ln \left( \frac{m_f}{m_o} \right)

Il valore m_f rappresenta la massa finale del razzo quando avrà raggiunto v_f. Il termine I_sp si chiama impulso specifico ed è una costante che dipende dalla caratteristica del tipo di propellente usato (dimensionalmente si misura in secondi), mentre g₀ è l’accelerazione di gravità a livello del mare. La tabella seguente riporta per esempio i valori di impulso specifico per alcuni tipi di propellente.

L’equazione si presta anche ad una seconda lettura: se voglio avere una grande variazione di velocità devo fare in modo che m_f sia molto minore di m₀, ovvero devo consumare una grande quantità di massa. Questo obiettivo è raggiungibile sia bruciando il combustibile in maniera più efficiente oppure progettando il razzo con più stadi.
Vediamo perché: pensiamo ad un treno composto da più vagoni¹. Ogni vagone contiene del carbone che alimenta una locomotiva a vapore. Quando ho consumato tutto il carbone dell’ultimo vagone quel che rimane è solo un vagone vuoto che costituisce una massa inutilizzata: posso sganciarlo dal resto del treno. Questa variazione di massa comporta un aumento di velocità del treno. Si consuma quindi il carbone del penultimo vagone, ora diventato ultimo: quando rimane vuoto viene sganciato anch’esso (staging), il treno aumenta ancora di più la sua velocità, e così via … come mostrato nelle due sequenze di esempio qui sotto (autrice delle fotografie: Giorgia Rizzi).

Ecco perché oggi molti vettori spaziali sono multistadio. In generale, per un razzo di n stadi² l’incremento di velocità totale al temine delle operazioni di staging è la somma dei singoli incrementi di velocità di ogni stadio intermedio. Ma dato che ogni stadio può utilizzare un carburante differente, si avranno diversi valori di I_sp: nel caso reale inoltre, bisogna tener conto della forza di gravità e del dragging atmosferico (resistenza nel mezzo), quindi la velocità totale è ancora più bassa.
Tsiolkovsky morì all’età di 78 anni il 19 Settembre 1935: negli ultimi anni il governo bolscevico gli garantì una pensione.

Nel programma Apollo, l’operazione di staging del primo stadio del Saturn V era una manovra complessa comandata dal computer LVDC (Launch Vehicle Digital Computer) sviluppato dall’IBM. La manovra era effettuata ad intervalli precisi chiamati Timebase solo dopo le operazioni di rotazione (roll & pitch) per minimizzare i rischi ed ovviamente con sistemi di accensioni ridondati. L’LVDC aveva il compito di effettuare le seguenti operazioni:

• circa due minuti dal lift-off (il valore esatto del cut-off dipende dalla missione Apollo) l’LVDC posizionato nella IU (Instrument Unit) situato sopra il terzo stadio S-IVB e sotto il CSM/LM attiva il comando di spegnimento del motore centrale F1 (Timebase 2), mentre gli altri quattro laterali continuano il loro lavoro fino all’esaurimento del LOX e KP1 (Timebase 3).
• l’LDVC rileva quindi il completo esaurimento del carburante e invia una seconda serie di segnali elettrici che attivano delle cariche (EBW – Explosive BridgeWire firing units) per separare fisicamente il primo stadio che segue per inerzia il corpo principale.
• otto retrorazzi laterali nelle carenature a forma di cono si accendono nel primo stadio per allontanarlo ulteriormente dal Saturn V (si veda la prima figura qui sotto). Lo stadio perde momento (velocità) e prosegue in caduta balistica verso il suo destino nell’oceano a circa 350 miglia dal KSC (Kennedy Space Center).
• si attivano ulteriori otto piccoli propulsori (o meglio gli ullage) per 4 secondi posizionati sulla poppa del secondo stadio S-II per mandare in pressione il carburante (O₂ e H₂).
• in questo istante di tempo intermedio il Saturn V procede per inerzia con il propellente del secondo stadio che risente dello sloshing.
• dopo 30 secondi, quindi altre cariche si attivano e separano l’anello interstadio dal diametro di 5,5 m (soprannominato skirt) compreso tra il primo (S-IC) e secondo stadio (S-II) del Saturn V. Per motivi di sicurezza non era possibile separare l’anello assieme al primo stadio (avere 2 corpi che possono andare in rotazione in coda che ti seguono mentre si raggiunge l’orbita di parcheggio non è proprio rassicurante).
• si accendono i cinque motori J2 del secondo stadio per circa 6 minuti. Il Saturn V continua la sua salita.

Un sistema di quattro telecamere montate sul Saturn V e su un aereo in volo dell’ATS (Airbone Television System) riprendevano l’intera sequenza ed trasmettevano dati a terra. All’interno del CSM gli astronauti sperimentano sul proprio corpo le variazioni di forze g, soprattutto allo staging del S-IC. Durante la missione Apollo 8³, alla separazione dell’S-IC, gli astronauti vengono catapultati in avanti con un’accelerazione di 4g .
William Anders (pilota del LM) istintivamente mise la mano davanti al viso per la paura di andare contro il pannello di controllo del CSM e quando venne scaraventato all’indietro contro la sua postazione la visiera del casco si era rigata con l’anello di raccordo di metallo dei suoi guanti.

Mettiamo in pratica l’equazione con un esempio puramente teorico, indicativo ma verosimile per la ISS. La ISS orbita intorno alla Terra ad un’altezza compresa fra 370 km e 460 km con una velocità orbitale compresa fra 7,6 km/s e 7,7 km/s (ovvero 27500 km/h). Se dobbiamo inviare un payload agli astronauti che vi soggiornano (rifornimenti, materiali, strumentazione scientifica …) quanta massa dobbiamo spendere per raggiungerla con razzo a bi-propellente liquido? Consideriamo un valore indicativo di I_sp = 350 secondi per un combustibile RP-1/LOX. Sostituendo si ottiene:

	7700 \space\ [m/s] = - 9,81 \space\ [m/s^2] \space\ 350 \space\ [s] \space\ \ln \left( \frac{m_f}{m_o} \right)

	2,2426 = - \ln \left( \frac{m_f}{m_o} \right)

ovvero m₀ = 9,4178 m_f. Per ogni chilogrammo di payload utile devo utilizzare 9,4178 kg di massa accessoria per raggiungere la ISS. In pratica circa 90,401% della massa del razzo è rappresentato dal propellente e dalla massa a vuoto degli stadi intermedi, il resto rappresenta il carico utile. E’ fondamentale ad ogni lancio ottimizzare le risorse e gli spazi per contenere i costi.

Bibliografia

• David Woods and Frank O’Brien. Apollo 8 Flight Journal. 2024
• George Marshall Space Flight Center, Saturn V flight manual, SA-503. November 1968. NASA
• SPACE MECHANICS. Note tratte da “SPACECRAFT ORBITAL DYNAMICS AND CONTROL” Bologna. Prof. Giacomo Tommei e Dr. Stefano Maro’ A.A. 2018 – 2019.
• How Apollo Flew to the Moon 2011 – W. David Woods

Note

1. L’esempio di riferisce proprio al concetto originale che aveva in mente lo scienziato russo. ↩︎
2. Il Saturn V era costituito da n=3 stadi. ↩︎
3. L’Apollo 8 fu la prima missione del Saturn V con equipaggio a bordo. La variazione di g per le altre missioni Apollo avevano valori molto simili. ↩︎