Tag: terza legge di Keplero

Metodo della velocità radiale

By articolidiastronomia on 16/04/2018 • ( 2 commenti )

La tecnica indiretta della velocità radiale per l’individuazione di esopianeti rappresenta il passo successivo dell’astrometria. Sappiamo quanto è difficile misurare con esattezza la varizione di posizione di una stella in cielo, ma gli astronomi sono in grado di sfruttare ugualmente le perturbazioni gravitazionali indotte dal pianeta sulla stella ospite effettuando non misure di posizione, bensì sfruttando le variazioni di velocità indotte sulla stella ospite.

Il principio base su cui poggia il metodo della velocità radiale risiede nell’effetto Doppler, ovvero il cambiamento di frequenza dovuta ad una sorgente in movimento rispetto all’osservatore.

Spesso i due termini vengono scambiati fra loro, ma in realtà identificano la stessa procedura.

L’esempio dell’ambulanza per spiegare l’effetto Doppler Fonte: https://www.frascatiscienza.it/2013/12/e-on-line-la-19-puntata-di-radioscienza-leffetto-doppler

Abbiamo visto come la soluzione del problema di Keplero nel caso di due corpi (stella ed esopianeta) sia due ellissi; se consideriamo la proiezione dell’orbita lungo la linea di vista dell’osservatore si nota che la stella ospite si avvicina e si allontana da Terra, di conseguenza, le sue linee spettrali si sposteranno verso il blu (quando si avvicina) o verso il rosso (quando si allontana) in maniera periodica.

radial velocity — Fonte: http://www.astronomynotes.com/solfluf/s12.htm

Il primo a proporre questo tipo di metodo fu Otto Struve (1897 – 1963), ma come spesso accade, con la tecnologia del tempo gli errori di misura e i limiti tecnologici rendevano impossibile sfruttarlo per l’osservazione di pianeti extrasolari; bisognava aspettare. Il primo esopianeta ad essere scoperto con effetto Doppler fu $\gamma$ Cephei (Alrai) nel lontano 1988; ma sebbene nuove misure misero in discussione tale scoperta, solo nel 2000 si ebbe la conferma che effettivamente si trattava di un esopianeta (Alrai ab) di circa di 1,5 masse gioviane. Fu quindi nel 1995 che Mayor e Queloz scoprirono il primo vero esopianeta con questa metodologia: 51 Pegasi b. Oggi (2018) la tecnologia è ancora migliorata: lo spettrografo cileno HARPS (High Accuracy Radial velocity Planet Searcher), operativo dal 2002, è in grado di misurare, per confronto con spettri di riferimento, misure di velocità radiali (e quindi varizioni di velocità della stella ospite) inferiori a 1 m/s (3,6 Km/h), ovvero una frazione millesima di pixel di una immagine CCD.

Valori così piccoli di velocità sono del tutto plausibili; per capire come si possa raggiungere precisioni estreme si osservi la seguente figura:

I principali parametri orbitali di un corpo celeste (Fonte: vedi riferimenti)

Essa illustra i principali parametri di riferimento orbitali di un piano orbitale (inclinato) di un corpo celeste (pianeta) rispetto al cielo (piano tangente alla sfera celeste). Entrando in dettaglio, definiamo i parametri principali e le ipotesi di lavoro:

l’osservatore si trova in basso e guarda il disegno lungo l’asse z
la lettera N indica il nodo ascendente (notare il pano orbitale che attraversa il piano celeste dal basso a sinistra all’alto a destra)
la lettera $\gamma$ indica il nodo ascendente.
la lettera (ω – $\pi$ ) indica l’angolo fra il punto di massimo avvicinamento alla stella (pericentro) e il punto in cui il corpo nel suo moto attraversa il piano di riferimento da Sud a Nord (nodo ascendente). La differenza rispetto a $\pi$ indica che l’orientazione è opposta alla direzione dell’asse x.
I è l’inclinazione del piano orbitale rispetto piano di riferimento celeste (eclittica)

Usando questo sistema di coordinate, si possono calcolare le componenti dei vettori del piano orbitale lungo la base vettoriale (i, j, k) degli assi coordinati (x, y, z). La soluzione porta a tre formule poco utili ai nostri fini, quindi di solito si preferisce applicare una trasformazione di coordinate per ottenere le stesse espressioni in termini (v, $\theta$ ), ovvero velocità e vettore angolare posizione (più semplici da usare).

La soluzione delle equazioni è la tupla (v_x( $\theta$ ), v_y( $\theta$ ), v_z( $\theta$ )) ove le tre componenti hanno le seguenti espressioni:

Dove $\theta$ è la posizione corrente del pianeta lungo la sua orbita nel tempo (ovvero $\theta (t)$ ): un’orbita completa corrisponde ad una variazione di $\theta$ di 360°. Il parametro a è, come sempre, il semi asse maggiore mentre P è il periodo (che è possibile calcolare in base alla periodicità dello spostamento delle righe spettrali).

Inoltre :

dato che in questo sistema di riferimento inerziale il baricentro rimane fisso, possiamo affermare che la distanza del pianeta e della stella variano in maniera proporzionale in funzione delle due masse M_s (massa della stella) e M_p (massa dell’eso pianeta).
ai fini del procedimento solo la componente del moto lungo la direzione di osservazione contribuisce all’effetto doppler, ovvero visto che l’osservatore guarda dal basso lungo la direzione z, consideriamo il solo contributo v_z.

Aggiungendo le due precedenti considerazoni nella soluzione (v, $\theta$ ), possiamo calcolare l’ampiezza finale della variazione di velocità radiale (V_z) in funzione di v_z e delle masse del sistema. Si ottiene:

La varizione dello spostamento Doppler è data dalla nota formula:

Dove c e la velocità della luce, $\Delta \lambda$ è la variazione della lunghezza d’onda a seguito dello spostamento dello spettro ed infine $\lambda (t)$ è il valore della lunghezza d’onda misurata spettroscopicamente a riposo. Possiamo sostituire quindi tutte le variabili note nelle equazioni precedenti e ricavare per inversione il valore di M_p(la massa dell’esopianeta).

Le formule precedenti ovviamente forniscono solo il valore minimo della massa dell’esopianeta.

Per avere un’idea dell’ordine di grandezza delle misure di velocità, applichiamo per esempio la formula precedente al Sistema Solare per capire le variazioni di velocità che i pianeti impongono al Sole (trascurando sempre l’effetto degli altri N-1 pianeti):

*Pianeta*	*a (Km)*	M_p(Kg)	M_s(10³⁰Kg)	e	*P (giorno)*	*A_e (m/s)*
Terra	1,496 x 10⁸	5,972 x 10²⁴	1,989	0,017	365	8,95 x 10^-2
Giove	7,784 x 10⁸	1,899 x 10²⁷	1,989	0,048	4332,550	12,5
Saturno	14,3353 x 10⁹	5,68 x 10²⁶	1,989	0,0565	10767,5	2,77

La Terra è riportata solo per confronto, comunque si nota come Giove imponga al Sole una variazione di velocità radiale di circa 12,5 m/s, mentre Saturno (più lontano e più piccolo) di 2,7 m/s.

Il problema inizia a diventare più complesso quando ci sono n esopianeti che orbitano intorno alla stella ospite: in questo caso ogni pianeta aggiunge il suo contributo all’ampiezza A_e, e la formula si complica un pò, perché deve tener conto delle masse M_i degli altri compagni del sistema planetario. Sotto l’ipotesi che le orbite dei pianeti non si influenzino a vicenda, possiamo sommare i singoli contributi della coppia k (stella ospite, esopianeta), per cui possiamo applicare la seguente relazione (qui riportata solo per la componente x delle coordinate):

La tecnica delle velocità radiali possiede pregi e difetti: anzitutto gli spettrometri devono essere progettati per raccogliere tanta luce: dato che la quantità di luce che arriva ad un telescopio dipende (anche) dall’inverso del quadrato della distanza, questo vuol dire che più è lontano il sistema planetario, più complicato sarà il sistema di raccolta/elaborazione della luce. Anche per questa metodologia, entra in gioco il fattore tempo: occorre analizzare il fenomeno per più periodi P prima di avere una misura accettabile dal punto di vista sperimentale.

Ad oggi (Aprile 2018), il database http://exoplanet.eu/catalog/ riporta 749 esopianeti scoperti con il metodo delle velocità radiali; cliccando sull’immagine pdf qui sotto c’è la lista completa.

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica basata sulla velocità radiale.

Il video originale si trova sulla pagina della NASA nella sezione esopianeti: https://exoplanets.nasa.gov/interactable/11/vid/radial_velocity.mp4

Bibliografia

Strani mondi – Ray Jayawardhana – Codice Edizioni
Transiting Exoplanets – Carole A. Haswell
http://www.gehirn-und-geist.de/sixcms/media.php/370/Leseprobe.406372.pdf

Astrometria

By articolidiastronomia on 17/03/2018 • ( 2 commenti )

L’astrometria e’ un metodo diretto molto antico per la ricerca di esopianeti: come dice il nome, questa disciplina si occupa della misura delle stelle in termini di posizione e distanza nel cielo. I primi tentativi fruttuosi di questo metodo furono messi a punto da Friedrich W. Bessel (1784 – 1846); nel 1844 ipotizzò la presenza di una stella compagna di Sirio (Sirio B) e di Procione (Procione B). Basandosi su questi successi altri astronomi utilizzarono questa metodologia per affermare di aver trovato esopianeti intorno ad altre stelle come fece Peter van der Kamp (1901 – 1995) quando disse di aver trovato un esopianeta in orbita intorno alla stella di Barnard (ipotesi in seguito rivelatasi falsa).

In realtà l’impiego di questa metodologia è piuttosto limitato perché si fonda sulla capacità di fornire misure estremamente precise della posizione delle stelle in cielo e molto spesso quest’ultime sono invalidate dal rumore di fondo della misura, che porta a un SNR (Signal to Noise Ratio) molto basso cosicché la misura fatica a distinguersi dal rumore. Come sempre lo spazio ci viene in aiuto; in particolare negli anni ’90 del secolo scorso la missione ESA dal nome Hipparcos (http://sci.esa.int/hipparcos/) ha felicemente portato a termine la misura astrometrica di centinaia di migliaia di stelle in cielo con una precisione di 10^-3 arco secondi. Tornano nel nostro secolo, nel 2013 una seconda missione dal nome GAIA (http://sci.esa.int/gaia/ – sempre dell’ESA), sta lavorando per catalogare la posizione di stelle con magnitudine estremamente bassa.

Per dare un’idea di quanto sia difficile scoprire un esopianeta con misure di astrometria, affrontiamo il problema dal punto di vista fisico e geometrico, introducendo – come al solito – alcune semplificazioni che però non alterano il procedimento di base.

Consideriamo, la coppia stella – esopianeta come un sistema a due corpi, ed ignoriamo tutto il resto (influenza gravitazionale, dovuta alla presenza di altri esopianeti nello stesso sistema planetario, …) e avanziamo alcune considerazioni di base.

Grazie a Keplero sappiamo che le equazioni che determinano il moto di entrambi i corpi sono due ellissi: la prima ellisse descrive l’orbita del pianeta mentre l’altra ellisse descrive l’orbita della stella. Le due orbite sono legate gravitazionalmente fra loro; questo vuol dire che entrambi i corpi orbitano intorno ad un comune centro di massa; così come vediamo dalla seguente animazione:

Esempio di una soluzione al sistema dei due corpi A e B: entrambi ruotano intorno ad un comune centro di massa (Disegno dell’autore)

Dal punto di vista del primo corpo A è come se la presenza dell’altro corpo B provocasse sul primo un ‘dondolio orbitale’ intorno al centro di massa del sistema binario. Questa variazione di posizione è rilevabile (teoricamente) dallo spostamento della stella in cielo: un vero e proprio violento strattone gravitazionale. Ecco perché è così importante avere dei parametri di riferimento molto accurati sulle attuali posizioni stellari in cielo: osservando il dondolio stellare (ovvero l’orbita della stella ospite) è possibile dedurre la presenza di un esopianeta. Di conseguenza:

l’osservatore percepirà il moto oscillatorio periodico della stella ospite come una perturbazione che l’esopianeta induce su di essa.

Tornando al problema dei due corpi, come riportato a questo link http://scienceworld.wolfram.com/physics/Two-BodyProblem.html, sappiamo che la posizione del centro di massa C_m dipende dal rapporto delle masse dei due corpi: maggiore è la massa della stella ospite M_s e proporzionalmente più spostato in direzione della stella (eventualmente anche all’interno di essa) sarà il centro il centro di massa C_m.

Il centro di massa Cm nel sistema dei due corpi. (Disegno dell’autore)

In formule abbiamo:

Come sempre a rappresenta il semiasse maggiore dell’orbita del pianeta ed M_p e’ la massa dell’esopianeta. La distanza b rappresenta il valore del semi asse maggiore dell’orbita della stella ospite.

Come spiegato per la metodologia di direct imaging, la risoluzione angolare è proporzionale al semi asse maggiore dell’orbita della stella (ovvero b in questo caso), e inversamente proporzionale alla distanza di da cui vediamo il sistema stella – esopianeta. Utilizzando la formula per piccoli angoli, si ricava quindi:

Riassumendo: la separazione angolare fra la stella e il pianeta (e quindi il grado di identificazione dell’esopianeta) è tanto maggiore quanto maggiore è la massa del pianeta e quanto più è distante dalla sua stella ospite, oppure, ceteris paribus, minore è la massa della stella e maggiore sarà la separazione angolare.

Applichiamo la formula precedente al Sistema Solare, in particolare ad ogni coppia Sole – pianeta (Sole – Mercurio, Sole – Venere, …) e, per semplicità, consideriamo solo il contributo del singolo pianeta, trascurando gli effetti degli altri 7 pianeti. Ecco la tabella con il calcolo di b:

Pianeta	Semi asse maggiore (UA)	Massa Pianeta ( in Masse terrestri)	Massa Sole (Kg)	*Mp/Msa**
Mercurio	0,3870	0,055	1,989 x 10³⁰	9,61544
Venere	0,7230	0,815	1,989 x 10³⁰	2,64806 x10²
Terra	1,0000	1,000	1,989 x 10³⁰	4,49296 x 10²
Marte	1,5240	0,107	1,989 x 10³⁰	7,35398 x 10¹
Giove	5,2000	318,000	1,989 x 10³⁰	7,42957 x 10⁵
Saturno	9,5400	95,000	1,989 x 10³⁰	4,07197 x 10⁵
Urano	19,1900	14,520	1,989 x 10³⁰	1,25191 x 10⁵
Nettuno	30,1000	17,150	1,989 x 10³⁰	2,31934 x 10⁵

Si nota che Nettuno, che ha una massa poco più grande di Urano, ha un valore di b più elevato di quest’ultimo, dovuto proprio alla maggiore distanza dal Sole. Ovviamente Giove, anche se più vicino di altri, vince facilmente questa classifica, grazie alla sua massa.

In questo ragionamento manca un parametro importante: l’inclinazione dell’orbita del pianeta: finora abbiamo sottinteso che l’angolo dell’osservatore rispetto all’orientazione dell’orbita sia il più favorevole possibile per l’identificazione, in modo che ci consenta di beneficiare di misurare la massima estensione di b, e quindi indirettamente conoscere la vera estensione dell’orbita (ovvero della perturbazione indotta) della stella. In generale, possiamo notare solo la proiezione sul piano perpendicolare a quello di vista (rispetto all’angolo di inclinazione $\alpha$ ), ottenendo così dei valori di $\theta$ inferiori.

Variazione di b in funzione dell’angolo fra piano orbitale e direzione di vista dell’osservatore

Dal disegno abbiamo, infatti, che:

Quanto più’ $\theta$ è piccolo, più difficoltosa risulta l’individuazione del pianeta.

Un’ultima considerazione da fare: anche in questo caso occorrono più survey sulla stessa stella (e pazienza …) prima di confermare la presenza di un esopianeta per diminuire gli errori di stima sui parametri. Inoltre il tempo di osservazione dipende dal periodo P dell’orbita della stella: lavorando infatti sempre nelle migliore ipotesi di osservazione, per trovare b (il semiasse maggiore) occorre che la stella abbia percorsa almeno un periodo. Utilizzando la terza legge di Keplero siamo in grado di calcolarne anche il valore:

Sotto la condizione M_s >> M_p, la formula precedente si semplifica così:

Da cui l’unica incognita è P.

Il sito http://exoplanet.eu/catalog/ riporta un solo esopianeta confermato con questa tecnica di indagine: si tratta di HD 176051 b, un pianeta gioviano scoperto nel 2010 che orbita intorno ad un sistema binario con un periodo P = 1016 (± 40) giorni.

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica basata sull’astrometria.