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Le risonanze nel Sistema Solare

Rome wasn’t built in a day: è il titolo di una famosa canzone dei Morcheeba. Ogni cosa impiega il suo tempo per nascere, crescere ed evolversi, ed anche il Sistema Solare non fa eccezioni.

Grazie all’enorme tempo avuto a disposizione (cinque miliardi di anni), i corpi celesti hanno sperimentato l’azione di influenze gravitazionali che hanno portaro alla nascita di situazioni in cui i periodi orbitali fra due corpi si sino ‘sincronizzati’ fra loro, ovvero secondo la meccanica celeste, sono diventati in risonanza fra loro. La risonanza avviene quando il rapporto fra i periodi orbitali di due corpi celesti è esprimibile come frazione di due numeri interi; ovvero sono due valori commensurabili fra loro. Se consideriamo il moto di rivoluzione di un pianeta  però è più corretto usare il termine di risonanza di moto medio.

Le risonanze sono un fenomeno molto diffuso fra i pianeti del Sistema Solare (in particolare è molto presente fra i pianeti esterni), influenzano non solo le attuali condizioni orbitali, ma anche la geometria e caratterizzano l’evoluzione futura delle orbite.

La risonanza è molto diffusa fra i pianeti del Sistema Solare, in particolare è molto presente fra quelli esterni, i quali mostrano dei valori molto accurati.

Dal punto di vista della fisica il fenomeno è associato allo scambio di energia fra due corpi come risultato della reciproca influenza gravitazionale. In meccanica celeste le risonanze sono condizioni particolarmente studiate perché rappresentano dei naturali punti di equilibrio gravitazionale raggiunti dopo una lunga e complessa evoluzione temporale dell’orbita dei pianeti.

Facciamo un esempio tratto dalla quotidianità per comprendere meglio il concetto: consideriamo il moto di un’altalena che oscilla avanti e indietro con una sua frequenza di oscillazione; aggiungiamo ora una persona posta a uno dei due lati di essa che accompagna il moto dell’altalena con una spinta con le mani ogni qual volta l’altalena le sia avvicina. Dato che sia l’altalena, sia l’azione della spinta manuale avvengono con la stessa frequenza (sono in fase) il loro rapporto è esprimibile come frazione intera e si dice che sono in risonanza 1:1.

A ogni ciclo l’energia fornita dalla persona è trasmessa interamente (a parte gli attriti) all’altalena, cosicché viene garantito il ripetersi della configurazione, indefinitamente. Per analogia il modello è utilizzabile per lo studio del Sistema Solare;  ogni risonanza rappresenta una sua storia indipendente dalle altre la quale può agire come antidoto di protezione del sistema dinamico ed evitare configurazioni pericolose fra corpi celesti (risonanza stabile), oppure può portare l’instabilità dell’orbita e impedire che un oggetto la occupi.

Quando la risonanza funziona come protezione significa che al suo esterno il moto può diventare complesso e l’orbita può portare librazioni, rotazioni, aumenti di eccentricità … fino ad arrivare all’espulsione dell’oggetto dal Sistema Solare.

Ecco alcuni esempi di risonanza fra satelliti e pianeti del Sistema Solare:

Corpo celeste

Corpo celeste

Risonanza orbitale

Phobos

Deimos

4 : 1

Giove

Saturno

2 : 5

Nettuno

Plutone

2 : 3

La risonanza 4:1 ad esempio significa che nel tempo impiegato da Deimos per effettuare ogni singola rivoluzione intorno a Marte, Phobos ne effettua quattro.

Si possono distinguere diversi tipi di risonanze:

  • Orbitali: come quella descritta sopra, fra due satelliti che rivoluzionano intorno allo stesso pianeta o fra due corpi che rivoluzionano intorno al Sole.
  • Secolari: risonanze che avvengono fra corpi celesti in cui i rapporti fra i periodi di precessione degli apsidi (o dei nodi) sono esprimibili anch’essi come numeri interi.

Di solito le risonanze secolari hanno periodi molto più lunghi delle risonanze di moto medio; un esempio c’è dato da Giove, il cui moto di precessione del perielio è responsabile del confinamento della fascia degli asteroidi.

  • Spin – orbitali: risonanze associate a più movimenti celesti relativi allo stesso oggetto, quando il periodo di rivoluzione del corpo celeste e il periodo di rotazione su se stesso sono esprimibili come frazione di due numeri interi.

Un esempio di risonanza spin – orbitale c’è fornita dalla Luna: essa rivolge sempre la stessa faccia verso Terra, il suo periodo di rotazione intorno alla Terra è sincrono (o in fase) con il periodo di rotazione sul proprio asse.

Un secondo esempio arriva da Mercurio: il suo periodo di rivoluzione intorno al Sole e quello di rotazione sono in rapporto di 3/2: questo assicura che fissato un punto qualsiasi della sua orbita, dopo ogni rivoluzione Mercurio mostri al Sole alternativamente un emisfero ed poi  il suo opposto.

La risonanza 3/2 di Mercurio
Animazione che mostra la risonanza 3/2 di Mercurio. Fonte: http://www.ac-ilsestante.it

Torniamo sulla Luna: la sua orbita in realtà non è perfettamente circolare; perturbazioni orbitali portano la Luna ad avere un’eccentricità non nulla (0.055): quanto basta per permettere a noi che stiamo sulla Terra di vedere più del 50% della sua superficie.

A causa della sua eccentricità, la Luna presenta velocità differenti fra perigeo (più veloce) e apogeo (più lontana) come Keplero insegna; inoltre l’orbita lunare non si trova sullo stesso piano orbitale terrestre ma è inclinata di 5° 9’. Gli effetti di questi due fenomeni consentono di vedere il 60% della superficie lunare; ciononostante la risonanza in media continua a essere valida.

In generale la risonanza spin orbitale è il risultato di lunghe interazioni mareali fra i due corpi (variabili in funzione delle loro masse e dimensioni) che si sono protratte per periodi di tempo lunghissimi, che sono riuscito a sincronizzare le loro orbite.

Nel caso della Luna si pensa che la risonanza spin – orbitale abbia contribuito a garantire la stabilità dell’asse terrestre: questo fatto non è di poco conto, poiché sappiamo che l’obliquità di un pianeta influisce sulla quantità di luce che riceve dal Sole e quindi è strettamente legato al ciclo delle stagioni.

A differenza degli alti pianeti del Sistema Solare, come Venere il cui nei primi istanti di formazione del sistema solare hanno sperimentato un’obliquità molto variabile dovuta ad effetti caotici o risonanze particolari (risonanze di Kozai) oppure Urano, il cui asse è inclinato di 98°, la Terra si è trovata in una situazione molto favorevole grazie all’azione favorevole della Luna. La Luna garantisce stabilità dell’asse terrestre prevenendo situazioni d’instabilità. Possiamo dire che:

Grazie anche alla presenza della Luna, la vita è potuta nascere ed evolversi sul nostro pianeta.

Spostiamoci ora verso l’esterno del Sistema Solare e muoviamoci verso Io, il più interno dei quattro satelliti galileiani, dove troviamo un altro caso di risonanza spin – orbitale. Il periodo orbitale di Io, è sincronizzato con il suo periodo di rivoluzione intorno al gigante gassoso in modo da essere in risonanza 1:1.

Effetti mareali su Io
Effetti mareali su Io. Fonte: NASA’s Cosmos

Come per la Luna, Io presenta effetti di librazioni le quali creano frizioni mareali sul pianeta che tentano di portare il satellite nella condizione iniziale di allineamento con Giove; come conseguenza all’interno del satellite si generano grandi quantità di calore che viene espulso dall’intensa attività vulcanica in superficie.

Per finire usciamo dal Sistema Solare e fermiamoci al sistema Plutone – Caronte; qui si può osservare un caso particolare di risonanza spin – orbitale chiamata risonanza sincrona e completa, ove non solo il periodo di rivoluzione e di rotazione di Caronte è lo stesso, ma tale periodo è uguale anche al periodo di rotazione di Plutone: Plutone e Caronte mostrano entrambi sempre la stessa faccia come se il filo invisibile della meccanica celeste li tenesse uniti.

Riferimenti e fonte delle immagini

  • Meccanica celeste, il valzer dei pianeti – Alessandra Celletti ed Ettore Perozzi.

Punti lagrangiani

Sappiamo ormai che il problema dei N corpi non ammette una soluzione; ciò però non vuol dire che non sia possibile trovarne alcune per casi particolari legati alla configurazione geometrica delle masse e a simmetrie spaziali. Consideriamo ad esempio N = 3 corpi, in cui uno dei tre sia massivamente minore rispetto agli altri due (problema ristretto di Hill); si tratta di un caso non isolato che possiede numerose analogie con la realtà, soprattutto all’interno del Sistema Solare. Un esempio di quest’ultimo caso è il sistema Terra – Sole – satellite/sonda, dove i primi due corpi possiedono una massa molto maggiore del terzo.

Lagrange (1736 – 1813), che studiò a fondo il problema riuscì a dimostrare che questo problema ammette come soluzione particolare l’esistenza di alcuni punti di equilibrio (stabili ed instabili) chiamati punti lagrangiani. I punti lagrangiano sono cinque, e si distribuiscono come segue:

  • I punti L1, L2, L3 sono collineari, situati sulla linea che unisce i due corpi più massivi.
  • I punti L4, L5  sono al vertice di un triangolo equilatero, i cui due vertici sono occupati dai due corpi più massivi.
Disposizione dei 5 punti lagrangiani
Disposizione dei 5 punti lagrangiani

I punti L4 ed L5 sono punti di equilibrio stabile, in cui il terzo oggetto condivide l’orbita con uno degli altri due; dal punto di vista geometrico i tre corpi si posizionandosi ai vertici di un triangolo equilatero. Il corpo celeste di massa molto piccola rispetto agli altri due sarà vincolato gravitazionalmente al punto di equilibrio e rivoluzionerà intorno al Sole mantenendo le stesse distanze dagli altri due corpi di massa maggiore.

Le distanze dei punti di equilibrio dai due corpi variano in funzione della massa dei due corpi; nel caso del sistema Terra – Sole il punto L1 è situato a una distanza di 1,5 milioni di Km dalla Terra in direzione della congiungente Terra – Sole; L2 è situato anch’esso alla stessa distanza ma nella direzione opposta verso l’esterno dell’orbita, mentre il punto L3 si trova dalla parte opposta al Sole alla stessa distanza dalla Terra.

Questi tre punti sono sempre instabili; basta una minima perturbazione per dar luogo a un movimento caotico che può portare l’oggetto lontano dal punto di equilibrio.

I punti L4 e L5 seguono e precedono l’orbita della Terra di 60°; nel nostro caso l’equilibrio è stabile; in altre parole il terzo corpo se soggetto a una piccola perturbazione esterna tende a tornarvi spontaneamente.

Le posizioni di equilibrio si ottengono annullando le derivate dell’equazione che rappresenta l’energia totale   del sistema (contributo potenziale e centrifugo); il risultato è la soluzione statica e stazionaria del problema.

Per trovare i punti di stabilità del sistema s’impostano piccole variazioni di posizione (sui tre assi) nell’intorno del punto di equilibrio e si sviluppano le nuove equazioni in serie di Taylor. Infine s’introduce la variazione nel punto di equilibrio (s’impone a zero la derivata) e si risolvono le nuove equazioni: si ricava che la stabilità dei punti L4 ed L5 non è sempre garantita, ma dipende dalla massa dei due corpi.

Nonostante l’instabilità dei punti L1 e L2, essi costituiscono dei punti ideali per porre avamposti spaziali e/o sonde lanciate dalla Terra per l’osservazione del cielo; grazie alla correzione dell’orbita infatti è possibile mantenere l’oggetto nei dintorni del punto di equilibrio con orbite semi periodiche che sono chiamate Halo.

Esempio di orbita Halo intorno L2
Esempio di orbita Halo intorno L2 – Foto credit: NASA/JPL

Il punto L1 in particolare è già occupato dalle seguenti sonde:

  • 1978: ISEE-3 per lo studio del vento solare e dei raggi cosmici.
  • 1995: SOHO, una sonda dedicata allo studio del Sole.
  • 1997: ACE per lo studio di particelle energetiche e del vento solare.
  • 2001: Genesis per lo studio del vento solare

Nell’intorno del punto L2  invece si trovano:

  • 2001: WMAP una sonda per lo studio dell’Universo all’infrarosso.
  • 2008: Herschel, un telescopio per l’osservazione del cielo nel lontano infrarosso.
  • 2008: Planck una sonda per lo studio della radiazione di fondo a microonde.
  • 2012: GAIA che effettua misure di astrometria.

Nel 2018 inoltre verra a trovarsi anche il telescopio James Webb (in sostituzione del telescopio Hubble). Nel Sistema Solare esistono altri esempi in cui sono sfruttati naturalmente i punti lagrangiani: si tratta del sistema Sole – Giove,  e Sole – Saturno e Terra – Luna. Nei punti L4 e L5 di Giove ci sono due famiglie di asteroidi noti come i Greci e Troiani che rivoluzionano assieme a Giove e pertanto presentano lo stesso periodo di rivoluzione (risonanza 1:1); su Saturno invece, i punti L4 ed L5 sono occupati da due suoi satelliti: Telesto e Calipso.

Nel caso del sistema Terra – Luna il punto lagrangiano L2 ebbe il suo periodo di notorietà negli  anni ’60, durante il periodo del programma Apollo; si pensava di sfruttare l’orbita Halo translunare L2 per posizionare un satellite di telecomunicazioni per garantire la continuità di comunicazioni con la Terra durante il passaggio delle navicelle Apollo nella parte invisibile della Luna, ma a causa dei costi il progetto venne abbandonato. Oggi si pensa possa essere sfruttato per creare un avamposto spaziale per la futura missione su Marte.

La seguente tabella mostra i valori di Lper alcuni corpi celesti del Sistema Solare:

M1

M2

Distanza

Sole Mercurio 220.000 Km
Sole Terra 1.500.000 Km
Sole Marte 1.100.000 Km
Sole Giove 54.300.00 Km
Terra Luna 65.000 Km
Giove Io 10.000 Km

Riferimenti

  • Il walzer dei pianeti, Stefania Celletti, Ettore Perozzi. Springer editore

Cos’è la meccanica celeste

La meccanica celeste è la disciplina dell’astronomia che si pone come obiettivo quello di calcolare e predire le traiettorie dei corpi celesti: naturali e artificiali; sebbene la nascita del termine sia dovuta a Laplace (1749 – 1827), le basi sulle quali si fonda sono nate con i lavori di Keplero (1571 – 1630) e in seguito approfondite da Newton (1641 – 1727).

L’impegno di Keplero nello studio dell’orbita di Marte con il tentativo di conciliare gli enormi dati osservativi di Tycho con la formulazione di un modello teorico che spiegasse il moto retrogrado di Marte, portò alla formulazione delle ben note tre leggi di Keplero. Più tardi Newton, studiando il moto di caduta dei gravi e grazie alla recente nascita del calcolo differenziale, introdusse la legge di gravitazione universale; in essa si esprime la forza d’interazione gravitazionale fra due corpi in funzione della loro massa e posti a una certa distanza fra loro, come espresso qui di seguito:

F = – G * M1 * M2 / d2

dove G è la costante di gravitazione universale (= 6,67 * 10-11 N m2/Kg2), d è la distanza fra i due corpi ed M1 ed M2 sono le masse dei due corpi considerati puntiformi.

La legge di Newton è valida in tutto l’Universo e per tutti i corpi sotto le seguenti ipotesi:

  • Non si tiene conto del movimento di precessione delle orbite, altrimenti la formula deve essere modificata per introdurre gli effetti della Teoria della Relatività.
  • Quando stiamo lavorando a scale atomiche, occorre introdurre una teoria differente: la meccanica quantistica.

La legge di Newton consente di costruire quindi le equazioni per la determinazione del moto dei corpi celesti: considerando un Universo costituito da due soli corpi (ad esempio la Terra e il Sole) e impostando le condizioni iniziali in termini di posizione e velocità dei due corpi, la soluzione cui si perviene sono le traiettorie dell’orbita dei due corpi celesti.

In termini geometrici ciò che si ottiene sono due ellissi: le tre leggi di Keplero non sono altro che una forma approssimata della soluzione analitica esatta. Quando si riesce ad ottenere in forma chiusa la soluzione delle equazioni di un sistema (ovvero con una formula) come in questo caso, allora il sistema si dice integrabile.

M1 ed M2 possono rappresentare il Sole e la Terra, i quali ovviamente non sono gli unici corpi presenti nel nostro universo, né tantomeno all’interno del Sistema Solare; se per esempio volessimo trovare le traiettorie delle orbite di ogni singolo pianeta (Mercurio, Venere, Marte, …) , occorre impostare un sistema di equazioni come quella di Newton in cui per ogni pianeta si considera il contributo gravitazionale di tutti gli altri 8 pianeti e risolverle ….

Il problema appena descritto si può generalizzare ed estenderlo per N corpi generici, la cui formulazione completa diventa la seguente:

Dati N corpi liberi di muoversi sotto l’influenza dell’attrazione gravitazionale e le condizioni iniziali di ciascuno (posizione e velocità), impostare e risolvere il sistema di equazioni che rappresentano le equazioni del moto.

Nonostante la semplicità della formulazione del problema, la ricerca di una soluzione al sistema non lo è altrettanto; non è possibile trovare una soluzione generale, cioè non si può trovare le N funzioni in forma esplicita che rappresentano le soluzioni al problema: si dice che il sistema non è integrabile.

Questo perché la descrizione del problema porta alla formulazione di equazioni che non sempre sono separabili; a volte è possibile trovare delle soluzioni per alcuni casi particolari, associati alla configurazione geometrica dei corpi.

Nonostante ciò, da almeno XVII secolo molti astronomi e matematici hanno dedicato anni di studi alla ricerca di una soluzione, tra questi Lagrange affrontò un caso particolare del problema nel caso di N = 3 e aveva trovato alcune soluzioni periodiche legate a particolari simmetrie, una delle quali ad esempio vede i tre corpi in equilibrio ai vertici di un triangolo equilatero in rotazione.

Il profondo interesse che sempre più studiosi verso il problema dei N corpi era legato allo studio delle orbite planetarie ed alla stabilità del Sistema Solare: in generale quest’ultimo aspetto ricopre un’importanza fondamentale nella ricerca delle soluzioni del problema dei N corpi. Nonostante infatti il problema sia definito da equazioni semplici e deterministiche, variando anche di poco le condizioni iniziali del sistema, si può ottenere una grande varietà di orbite.

L’estrema sensibilità alle condizioni iniziali in un sistema deterministico può portare a soluzioni molto diverse in cui nascono moti irregolari; un piccolo cambiamento modifica in modo considerevole l’evoluzione successiva del sistema e diventa impossibile fare una predizione delle orbite su lungo periodo.

Oggi esiste una branca della matematica che studia l’estrema sensibilità di un sistema dinamico alle condizioni iniziali: la teoria del caos.

Alla fine del 1800 il problema della stabilità delle soluzioni coinvolse persino personalità reali, come il re di Svezia Oskar II, mise in palio un premio in denaro, da consegnare in occasione del suo compleanno, per chi fosse riuscito a trovare una soluzione.

Il premio fu attribuito nel 1889 a Henri Poincaré, il quale dedicò tanta energia alla ricerca della soluzione del problema da scrivere un trattato con più di 270 pagine, ma purtroppo non riuscì a trovare una soluzione. Nonostante i suoi sforzi però, le sue analisi furono molto utili per le nuove idee che introdusse nell’affrontare il problema.

Egli riuscì a dimostrare che nel caso di tre corpi:

  • Si presentavano per forza delle orbite instabili, tali per cui un piccolo cambiamento delle condizioni iniziali portava a un cambiamento notevole dell’orbita.
  • Potevano esistere soluzioni periodiche in funzione della configurazione geometrica dei corpi.
  • Non è possibile calcolare con un errore arbitrariamente piccolo una soluzione valida per un tempo arbitrariamente grande e per ogni condizione iniziale.
Esempio sezione di Poincarè con orbita non periodica
Sezione di Poincarè con orbita non periodica

Anche Poincaré fece molti passi avanti nella ricerca di soluzioni perché introdusse uno strumento molto utile nella ricerca di periodicità delle soluzioni senza risolvere le equazioni. Il suo ragionamento è il seguente: per sapere se esiste una soluzione periodica, anziché tentare di risolvere le equazioni ed esaminare il risultato, possiamo analizzare cosa succede in alcuni punti in un grafico chiamato spazio delle fasi delle soluzioni, un grafico che rappresenta in maniera univoca tutti i possibili stati del sistema.

Mappa di Poincarè: x0 è un'orbita periodica
Sezione di Poincarè: x0 è un’orbita periodica

Egli quindi analizzò i punti dello spazio delle fasi in prossimità di traiettorie periodiche costruendo una sezione: seguendo il percorso di ogni punto bisogna controllare dove la traiettoria interseca di nuovo per la prima volta la sezione creata. Se il punto nello spazio descrive una curva chiusa con lo stesso punto di partenza e arrivo sulla sezione allora il moto dell’oggetto sarà periodico per sempre. Il concetto si può estendere nel caso di dimensioni arbitrarie ed coinvolge anche considerazioni sulla topologia (un’altra branca della matematica).

(Clicca sull’immagine sopra per simulare il tuo Sistema Solare)
Il nostro Sistema Solare rappresenta un ottimo laboratorio per l’applicazione dei risultati della meccanica celeste, dove si possono trovare differenti configurazioni geometriche che portano a molteplici tipi di orbite: stabili, caotiche, periodiche …

Le leggi della meccanica celeste sono universali (ad eccezione dei punti sopra esposti) e il loro utilizzo non si limita ai nostri confini, ma fornisce anche un valido contributo alla ricerca di pianeti al di fuori il nostro Sistema Solare per cercare di capire se esistono altri mondi simili al nostro.

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