La definizione di sfera di Hill è dovuta al lavoro dell’astronomo W. Hill che, in maniera indipendente dall’astronomo E. Roche, arrivarono entrambi alla stessa definizione. Per questo motivo viene chiamata anche sfera di Roche¹. L’obiettivo è rispondere alla seguente domanda: perché la Luna orbita intorno alla Terra e non intorno al Sole visto che è un corpo più grande intorno al quale anche essa orbita?

Consideriamo un sistema di tre corpi m₁, m₂ ed m₃ con m₁ > m₂ ed m₂ >> m₃ (come ad esempio il sistema Sole-Terra-Luna). Il corpo di massa puntiforme (m₃) si muova assieme ad m₂ intorno ad m₁ con velocità angolare costante ad una distanza . Quindi:

		\omega^{2} = \frac{G \space\ m_{1}}{d^{3}}

Consideriamo ora le due forze gravitazionali ed che agiscono sui corpi m₁ ed m₂ in rotazione intorno ad un comune centro di massa e calcoliamo il limite superiore della regione di spazio per cui le azioni gravitazionali eguagliano quella dovuta all’accelerazione del moto circolare:

		\frac{G \space\ m_{2}}{R^{2}_{HILL}} - \frac{G \space\ m_{1}}{(d - R^{2}_{HILL})^{2}} + \omega^{2} (d \pm R_{HILL}) = 0 

Sostituendo nell’espressione sopra ed applicando l’approssimazione al primo ordine al denominatore possiamo ottenere un valore approssimato del R_HILL per un pianeta di massa m₂ in orbita circolare intorno ad m₁.

		R_{HILL} \simeq d \space\ \sqrt[3] {\frac{m_{2}}{3 \space\ m_{1}}} 

Nel caso di un’orbita ellittica si ottiene invece:

		R_{HILL} \simeq d \space\ (1 - e) \sqrt[3] {\frac{m_{2}}{3 \space\ m_{1}}}

dove corrisponde all’eccentricità dell’orbita di m₂. Sostituendo le costanti note della Terra e della Luna si ottengono i seguenti valori:

• R_HILL della Luna: 61532,11 km (33224.69 nmi)
• R_HILL della Terra: 1496229,36 km (807899.52 nmi)

La sfera di Hill è la più grande regione di spazio ove l’azione delle tre forze è diretta verso il secondo corpo m₂ cosicchè sia gravitazionalmente dominante: un terzo corpo molto più piccolo di massa puntiforme m₃ potrebbe orbitare intorno ad m₂ in maniera stabile.

La sfera di Hill si estende fino a lambire i punti lagrangiani L₁ ed L₂ ma non coincide con essi: nei punti L₁ ed L₂ l’orbita non è stabile e piccole perturbazioni possono cambiare l’orbita di m₃.
Abbiamo la risposta alla domanda posta all’inizio del paragrafo: anche se dal punto di vista statico il Sole esercita una maggiore attrazione gravitazionale sulla Luna di quanto faccia lo stesso sulla Terra, la Luna orbita all’interno del R_HILL della Terra con una velocità angolare tale da controbilanciare l’eccesso di attrazione del Sole; l’influenza gravitazionale della Terra domina su quella del Sole ed impedisce alla Luna di abbandonare la sua orbita per quella di un altro corpo celeste.
Il concetto di sfera di Hill è applicabile ad ogni corpo celeste, anche all’oggetto m₃ che si trova nella sfera di Hill del corpo m₂ intorno al quale orbita. Questo significa che potrebbero esistere satelliti di oggetti celesti i quali possiedono a loro volta satelliti: il condizionale è necessario perché sono necessarie altre ipotesi, tra cui:

• il satellite m₃ deve essere in grado di resistere alle forze di marea del corpo celeste al quale è legato: non deve orbitare all’interno del limite di Roche.
• la distribuzione di massa di m₂ è supposta uniforme, altrimenti le forze in gioco cambiano.

La missione Apollo 16, per esempio, nonostante alcuni problemi è riuscita a dispiegare in orbita lunare il piccolo satellite PFS-2 (Particles & Fields Subsatellite). Il satellite era inclinato di 10° rispetto all’equatore lunare con un periselènio di 90 km ed aposelènio di 130 km: aveva un’orbita prograda con un periodo orbitale di 120 minuti ma purtroppo, anche a causa dei mascon² lunari, precipitò sulla Luna 34 giorni dopo.

Concludiamo la discussione precisando che l’analisi numerica del problema evidenzia che le orbite in prossimità di R_HILL non sono stabili su lungo periodo: orbite stabili dipendono dalla distanza di m₂ e dall’inclinazione dell’orbita di m₃. In questa figura viene mostrato un confronto tra la dimensione del raggio della sfera di Hill e di Laplace per la Luna: la sfera di Hill della Luna ha un raggio più piccolo.

Bibliografia

• Astrodynamics II Edition 2006 – 07 – Ver. 2.0.1 Guido Colasurdo – Dipartimento di Energetica. Teacher: Giulio Avanzini. Dipartimento di Ingegneria Aeronautica e Spaziale
• Generalized Hill-stability criteria for hierarchical three-body systems at arbitrary inclinations. Evgeni Grishin, Hagai B. Perets, Yossef Zenati, Erez Michaely. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society (Vol 466, num=1, Aprile 2017). Oxford Academic

Note

1. Non confondere la sfera di Roche con il lobo di Roche (si riferisce all’evoluzione stellare di un sistema di stelle binario) oppure con il limite di Roche (si riferisce alle forze mareali che agiscono su un corpo di massa distribuito nelle vicinanze di un altro più grande). ↩︎
2. Il termine mascon è l’acronimo di mass concentration e indica una differente concentrazione di massa rispetto alle zone circostanti. Sulla Luna i mascon si trovano nelle zone dei mari sulla faccia a noi visibile del satellite: essi vennero inizialmente analizzati già nella missione Apollo 8. ↩︎