Tag: relatività

Leggi di conservazione

By articolidiastronomia on 17/02/2025 • ( Lascia un commento )

In un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative l’energia meccanica totale si conserva

Questa affermazione, conosciuta come principio di conservazione dell’energia¹, era già nota ed applicata sin dal XIX secolo per la sua praticità sia in fisica che in altre discipline: la loro giustificazione si basava dall’osservazione empirica della natura, senza però associare una giustificazione fisica né conoscere alcuna ragione fondamentale di validità. Così come oltre all’energia, erano noti anche i seguenti due principi fisici di conservazione:

in un sistema isolato la quantità di moto si conserva
se il momento risultante delle forze esterne è nullo allora il momento angolare del sistema si conserva

Possiamo riformulare matematicamente il primo principio (conservazione dell’energia) associando l’energia totale $E_{T}(\dot{x}, x)$ di un corpo in movimento per un periodo $t \in [a, b]$ come somma del contributo dato da due fattori: dall’energia cinetica e da quella gravitazionale:

E_{T}(\dot{x}, x) = E_{K}(\dot{x}, x) + E_{P}(x)

Per il principio, la quantità $E_{T}(\dot{x}, x)$ è sempre costante durante il moto. Per risolvere l’equazione precedente si utilizzano le leggi della meccanica classica di Newton: ovvero si esprime il moto del corpo come sono funzioni vettoriali in $\mathbb{R}^3$ nell’intervallo temporale [a, b] durante i quali avviene il moto. Questo significa scrivere la funzione vettoriale che la traiettoria descrive nello spazio (x, y, z), ovvero la nota equazione della dinamica di Newton:

\vec{F(t)} = m\vec{a(t)}

A questa equazione vettoriale corrispondono tre equazioni scalari dove (x, y, z) sono le coordinate cartesiane ortogonali in un fissato sistema di riferimento: se dalla precedente equazione cambiamo sistema di coordinate (ad esempio coordinate cilindriche o polari) la soluzione, ovvero la traiettoria del corpo, non cambia ma l’approccio analitico diventa più difficoltoso. Si pensi ad esempio allo studio del moto di un pianeta intorno alla propria stella: si può descrivere sia in coordinate cartesiane (x, y) che in coordinate polari $(\rho, \theta )$ . Il secondo sistema di riferimento è sicuramente più pratico e più naturale da utilizzare.

Sarà possibile invece riscrivere le equazioni del moto in un sistema di riferimento indipendente? La risposta è sì, ed è quello che fece nel Settecento Lagrange quando suggerì un nuovo formalismo matematico che produceva gli stessi risultati fisici della meccanica newtoniana, ma basato su un nuovo principio: il principio di minima azione.

Riscriviamo intanto l’equazione dell’energia totale di un corpo come:

\mathcal{L(q, \dot{q}, t)} = T(q, \dot{q}, t) - V(q)

Sia $T(q, \dot{q}, t)$ l’enegia cinetica del sistema e $V(q)$ l’energia potenziale: si definisce lagrangiana la quantità $\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)$ . Questo nuovo formalismo consente di studiare il sistema fisico quando la formula di Newton possiede un approccio troppo complicato da risolvere, come ad esempio sistemi con vincoli (equazioni del pendolo semplice) o, appunto, le orbite dei pianeti. La lagrangiana quindi semplifica il problema utilizzando un sistema di coordinate generalizzate q. Lavorando sempre in un sistema conservativo, Lagrange infine dimostrò l’equivalenza tra l’equazione di Newton e la lagrangiana.

Definiamo ora funzionale azione lungo $t \in [a, b]$ il seguente integrale:

S = \int_{a}^{b} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt

Possiamo intuitivamente spiegare il funzionale azione come le somme degli eccessi dell’energia cinetica rispetto a quella potenziale calcolata per un quanto di tempo piccolo lungo tutta la traiettoria percorsa dal corpo.

Il problema di trovare la traiettoria del corpo nell’intervallo $t \in [a, b]$ a partire dall’integrale sopra definito, venne affrontato da Eulero utilizzando una tecnica che ha aperto la strada ad una nuova branca della matematica chiamata calcolo delle variazioni. L’impostazione che egli diede, nota come equazione di Eulero-Lagrange, si basa sulla ricerca degli estremali di $S$ .

Alcune possibili traiettorie da x₁ a x₂
Fonte: https://www.quantumuniverse.nl/

Per capire il concetto, si immagini l’azione come un valore associato ad ogni possibile traiettoria che un corpo potrebbe fare: ognuna di essa possiede un valore $S$ calcolato come “tante piccole somme degli eccessi”, dall’istante iniziale t = a fino ad all’istante finale t = b. Il moto naturale che un corpo seguirà è quello che rende stazionario il funzionale azione, ovvero risulta un valore minimo o massimo di $S$ . È come se la Natura volesse ridurre o limitare lo sforzo necessario per compiere il suo lavoro: la Natura, in un certo senso, è pigra.²

David Hilbert (1862 – 1943)
Fonte: https://www.famousmathematicians.net/david-hilbert/

Il lavoro di Eulero giustifica matematicamente la relazione fra entità conservate e principi newtoniani, senza però fornirne una giustificazione fisica. Nessuno poteva ancora sapere che agli inizi del XX secolo sarebbe stata sviluppata una teoria più generale che entra in gioco a complicare il problema quando un corpo è sottoposto agli effetti di una grande massa.

Nel novembre 1915 infatti Einstein pubblicò la Teoria della Relatività Generale nell’articolo Feldgleichungen der Gravitation – Preussische Akademie der Wissenschaften: un’estensione della meccanica newtoniana ma con un impianto matematico differente³. Secondo David Hilbert, un matematico contemporaneo al fisico tedesco, era necessario fornirne una dimostrazione matematica dei principi conservativi in questo nuovo contesto.

Prima ancora della pubblicazione, Einstein aveva già discusso nei mesi precedenti dello stesso anno l’argomento con i colleghi universitari, in particolare proprio con Hilbert, il quale riscrisse da zero la teoria di Einstein secondo il formalismo lagrangiano⁴.

Grazie a questo passaggio, il matematico tedesco aveva cercato di usare lo stesso approccio visto in precedenza per dimostrare la validità del principio di conservazione ma non fu in grado; invitò quindi Einstein a trovare una soluzione.

Albert Einstein: Integrazione approssimata delle equazioni del campo gravitazionale. Fonte: https://edition-open-sources.org/sources/10/4/index.html

Dopo un anno neanche il fisico tedesco riuscì a venirne a capo; quindi Hilbert decise di rivolgersi ad una persona che all’epoca era la sua assistente, la quale avrebbe avuto le competenze per analizzare il problema da una prospettiva diversa. Questa persona era Amalie Emmy Noether.

Nota

Uno spazio funzionale $\mathcal{F} ([a, b], \mathbb{R}^n)$ è l’insieme di tutte le funzioni $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ dove [a, b] è un intervallo di $\mathbb{R}$ I suoi elementi sono funzioni.

Bibliografia

Rivoluzioni matematiche: il teorema di Noether, Edoardo Provenzi – Le Scienze
Enigmi per decifrare il mondo, Cumrun Vafa – Edizioni Dedalo

Un sistema isolato è un sistema che non interagisce in alcun modo con l’ambiente circostante ed una forza conservativa è una funzione che dipende soltanto dalla posizione. ↩︎
Se vi fossero più soluzioni a questo problema, ogni soluzione produrrebbe un estremo (un minimo o un massimo) del funzionale. ↩︎
La gravitazione diventa con Einstein una proprieta’ della geometria dell’Universo ↩︎
Hilbert riscrisse la Teoria della Relatività nell’estate del 1915 ma non la pubblicò per rispettare il lavoro di Einstein; quindi decise di pubblicare il suo lavoro l’anno seguente. ↩︎

Spazio e geometria – Parte II

By articolidiastronomia on 31/07/2016 • ( 3 commenti )

Equazione di campo della Relatività Generale

Strutture su media scala. Quando parliamo di strutture su media scala aumentiamo le dimensioni del nostro orizzonte visivo: questo ci consente di percepire nuovi dettagli ed una migliore visione d’insieme. Consideriamo quindi l’orbita di un pianeta intorno alla propria stella: Keplero nel XVII secolo definì le leggi che governano i moti dei pianeti e Newton, poco dopo, definì la legge di gravitazione universale. Newton la definì come una forza attrattiva a distanza che agisce su tutti i corpi e che, in particolare per il nostro pianeta, lo costringe a orbitare intorno alla propria stella con un’orbita ellittica.

Nel 1915 Albert Einstein formulò la Teoria della Relatività Generale e cambiò il concetto di gravità: la gravità deforma la geometria dello spazio – temporale intorno alla massa ed il pianeta si muove lungo queste deformazioni.Indispensabile per l’elaborazione della teoria fu lo studio del trattato su calcolo differenziale assoluto con coordinate, ovvero sul calcolo tensoriale su una varietà riemanniana, scritto dai matematico italiani Ricci Curbastro (1853 – 1925) e Tullio Levi Civita che fornì un framework in grado di descrivere come spiegare la geometria e la dinamica dei corpi basandosi sul calcolo tensoriale.

Ecco l’equazione di campo della relatività generale:

dove G è la costante di gravitazione universale, R_μν è il tensore di curvatura, R la curvatura scalare, T_μν il tensore energia e g_μν è il tensore metrico. I tensori sono matrici (4 x 4) in cui sono estese le tre dimensioni spaziali e quella temporale. R_μν descrive la geometria dello spazio-tempo (la metrica) mentre T_μν descrive la distribuzione della massa-energia ed il momento. La formula si può tradurre nella seguente massima di John Wheeler:

La massa dice allo spazio come curvarsi e lo spazio dice alla massa come muoversi.
John Wheeler

La forza di gravità è la manifestazione che la nostra geometria è distorta e qualcuno, o qualcosa, si muove in uno spazio curvo. Anche quando lasciamo cadere un oggetto, esso cade verso il basso attratto dalla forza di gravità e segue una traiettoria che è coerente con la deformazione spazio temporale generato dal campo di gravitazione terrestre.

Ma secondo quale criterio la massa si muove nella curvatura spazio-temporale? Facciamo un passo indietro: su una superficie piana (geometria euclidea) la distanza più corta che unisce due punti è una retta. Questa traiettoria si chiama geodetica ed è il percorso che segue un raggio di luce. In uno spazio curvo, come nei dintorni di una stella (o di un buco nero), la luce percorrerà sempre una geodetica, cioè il percorso più breve, ma relativa alla geometria in cui è immersa. Dal nostro punto di vista la luce percorrerà un tratto curvo nei pressi della massa perché lo spazio viene curvato dalla gravità, ma comunque la luce percorrerà il cammino più breve nello spazio-tempo curvo.

L’eclissi solare del 1919 (quella che confermò sperimentalmente la teoria della relatività generale), dimostrò per esempio che i raggi di luce provenienti dalle stelle occultate dal Sole durante l’eclissi subivano una deflessione gravitazionale e pertanto, le stelle vicino al disco solare apparivano in una posizione più esterna rispetto alla loro posizione originale.

In linea teorica anche Gauss che condusse il suo esperimento avrebbe dovuto osservare una geometria non euclidea, ma siccome il triangolo era costruito su brevi distanze (circa 100 Km) la curvatura dello spazio sarebbe stata molto piccola non rilevabile dagli strumenti di misura. Gauss non poteva condurre esperimenti di curvatura sullo spazio fuori dalla Terra, oggi invece si può: basta andare …. nello spazio.

Supponiamo di misurare la distanza fra due oggetti, ad esempio la distanza Terra e Marte, mandando per esempio un fascio laser verso destinazione e ritorno. Ebbene, proprio a causa della curvatura dello spazio causato dal passaggio dei fotoni nei pressi di una massa, questi ultimi impiegherebbero un tempo superiore rispetto al caso facessero lo stesso percorso in assenza delle due masse (Terra e Marte). I fotoni comunque continuerebbero a percorre una distanza che, nella loro metrica, ed in uno spazio curvo rappresenta la distanza più breve che unisce sorgente e destinazione. Questo effetto si chiama effetto Shapiro, e prende il nome dall’astronomo Irwin Shapiro (1929) che l’ha scoperto a metà degli anni ’60. Più recentemente, nel 2004, la NASA lanciò il satellite Gravity Probe B allo scopo di misurare la curvatura spazio-temporale causata dalla Terra. Il satellite orbitava ad un’altezza di 650 Km e portava con sé quattro giroscopi a forma perfettamente sferica ed un telescopio di puntamento (per misure di riferimento). Grazie alla misura della variazione della direzione di puntamento dei giroscopi rispetto a dei punti di riferimento stellari fissi, la strumentazione fu in grado di verificare con estrema sensibilità:

L’effetto geodetico: di quanto la Terra altera lo spazio tempo in cui è immersa.
L’effetto frame – dragging: di quanto la rotazione terrestre trascina e torce il suo spazio tempo intorno a se durante il suo movimento di rotazione.

Effetto strizzamento dello spazio tempo della Terra

I risultati della missione erano in accordo con la teoria di Einstein. La geometria che nasce dall’applicazione della Relatività Generale funziona molto bene su strutture come il nostro Sistema Solare, ma se vogliamo generalizzare e capire la struttura della geometria del nostro universo allora dobbiamo introdurre nuovi concetti di cosmologia, ovvero la scienza che studia l’Universo nel suo complesso

(continua).

Bibliografia e immagini