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Analisi del moto di Iperione

Terza parte

La figura sottostante mostra la sezione di Poincaré dello spazio delle soluzioni dell’equazione della dinamica del moto di Iperione: i parametri in gioco del sistema sono tre: {θ, θ(t), f(t)[1]}. Per poter visualizzare in una mappa l’andamento di {θ, θ(t)}|f(t) (sezione dello spazio delle fasi in 2 dimensioni) l’orbita di rivoluzione del satellite intorno a Saturno è stata campionata ad istanti regolari (passaggio al periastro t = 0).

Il grafico si ottiene nel seguente modo:

  • si integra l’equazione del moto in θ e d2θ/dt2 tramite metodi numerici: ogni integrazione viene associata una curva costituita da 300 punti ottenuta a partire da una condizione iniziale. Si annotano i 300 punti sulla sezione (mappa di Poincaré).
  • Si ripete il passo precedente per una diversa condizione iniziale, integrando l’equazione e costruendo un nuovo insieme di punti da 300 punti.

Le coordinate sono state normalizzate e il diagramma si legge nel seguente modo:

  • l’ascissa rappresenta l’anomalia che, per motivi di simmetria, viene considerata tra [0, π] (i valori nell’intervallo [π, 2π] sono identici)
  • l’ordinata rappresenta la variazione nel tempo di θ(t). Possiamo considerare la variazione dell’angolo di rotazione (la fase) come la frequenza, ovvero come la variazione di frequenza dell’anomalia dell’asse di rotazione.
  • La dimensione inferiore, non rappresentata con continuità ma appunto discretizzata, è il tempo.

Dato che ogni istante t=0 viene identificato da un punto sul diagramma, il piano {θ, θ(t)} rappresenta una sezione, ed ogni coordinata una posizione angolare della rotazione sull’asse z di Iperione. Immaginate di fare periodicamente una fotografia al satellite ad ogni periastro per ogni possibile valore iniziale dell’equazione, annotare i valori di {θ, θ(t)} e di rappresentarli sul diagramma.

Alla fotografia nell’istante t viene associato il punto P i {θ, θ(t)}, per la fotografia nell’istante t+1 viene associato il punto Pi+1{θ, θ(t+1)} e così via …

Sulla sezione di Poincaré si possono distinguere due casi:

  1. ad ogni istante t, la coppia {θ, θ(t)} assume valori “casuali” (qualsiasi) all’interno dell’area punteggiata del piano, contribuendo ad aumentare la nuvola di punti sparsi nel piano. Questo corrisponde ad una rotazione caotica di Iperione (nessuna regolarità).
  1. ad ogni istante t, la coppia {θ, θ(t)} assume valori che presi in sequenza temporale si distribuiscono lungo una delle linee continue (semi-chiuse) del grafico, come se ad ogni passaggio (ad ogni intersezione con la sezione di Poincaré) contribuissero a “disegnare” ad ogni istante una delle linee continue del grafico per continuare a permanerci: questo corrisponde ad una rotazione quasi periodica di Iperione. Si nota ad esempio alcuni piccoli anelli nella parte centrale della mappa (isole ellittiche di quasi stabilità) a cui corrisponde ad una situazione di risonanza orbitale e di quasi – periodicità.

Si tratta di due situazioni estreme: caos nel primo caso e ordine nel secondo. Quale situazione delle due prevale?

Il diagramma della sezione mostra un’ampia zona caotica e si basa, per ipotesi iniziale, che Iperione ruoti lungo l’asse di rotazione z perpendicolare al piano orbitale ma se non dovesse trovarsi in una zona caotica, ma in una di quelle di quasi periodicità, Iperione avrebbe forse un’orbita stabile? Per studiare più a fondo tali regioni, bisogna utilizzare strumenti di analisi più complessi (nel campo delle equazioni differenziali) come il metodo dei moltiplicatori di Floquet. Esso mostra come, in ogni caso, anche nelle isole di stabilità del diagramma, il comportamento diventi instabile. La rotazione lungo z è altamente instabile: anche supponendo una piccola variazione del piano orbitale di Iperione (portandolo fuori dalla nostra ipotesi di normalità) si avrebbe una rotazione caotica intorno ai tre assi di rotazione.

Un’ulteriore analisi basata sull’esponenti di Lyapunov (1857 – 1918), che fornisce una serie di parametri che indicano di quanto si allontanano due traiettorie nello spazio delle fasi a fronte di piccolissime variazioni delle condizioni iniziali, porta sempre ad una soluzione caotica. Il principio della caoticità si presenta con un intervallo medio di tempo compreso fra 61 e 100 giorni, oltre il quale due traiettorie divergono rapidamente fra loro.

La Voyager 2 e la Cassini, nei loro cinque flyby hanno ricavato i valori dei parametri orbitali, compresi i loro momenti di inerzia e casualmente hanno trovato il satellite circa nelle stesse condizioni ad ogni passaggio ove l’asse principale di rotazione non era perpendicolare al piano orbitale. Rielaborando queste osservazioni e approfondendo gli studi, alcuni astronomi hanno sostenuto che Iperione si trovasse con una rotazione semi periodica. Gli astronomi hanno ipotizzato inoltre che Iperione risentisse sia di forze di precessione (periodo stimato di 300 giorni) sia di nutazione (⋍7 giorni). Bisogna considerare però che l’insieme dei dati a disposizione riguardava un periodo inferiore al tempo di rilassamento di Lyapunov, quindi troppo breve per dare conferme definitive al riguardo.

Data la vicinanza di Saturno, è plausibile ipotizzare anche che Iperione subisca gli effetti mareali e che, col tempo questi ultimi tendano a “raddrizzare” l’asse di rotazione in senso perpendicolare al piano orbitale (per rientrare nell’ipotesi iniziale della discussione), ma si tratta di processi lenti che non avvengono su scale temporali brevi. Questo vuol dire che anche se l’asse di rotazione z dovesse ritornare o permanere nel lungo periodo perpendicolare al piano orbitali per effetti mareali, la rotazione di Iperione sarebbe comunque instabile e quindi ancora caotica.

Allo stato attuale quindi, Iperione è un satellite che non ruota su sé stesso come gli altri corpi celesti del Sistema Solare, bensì capitombola su sé stesso in modo caotico mentre orbita intorno a Saturno, e questo nonostante le equazioni della dinamica del suo moto siano ben definite.

[1] f dipende dalla distanza di Iperione da Saturno, quindi è funzione dal tempo e dall’eccentricità, nel nostro caso considereremo f per f(t=0)

Bibliografia

Equazioni del moto di Iperione

Seconda parte

La dinamica di un corpo rigido venne affrontato da Eulero (1707 – 1783), prolifico matematico svizzero che frequentò le principali corti europee del tempo. La formulazione generica del problema richiede l’introduzione dell’ellissoide di inerzia e dei suoi assi inerziali: il concetto di base è la sostituzione dell’oggetto che stiamo studiando di forma irregolare e con un centro di gravità fisso, con un altro fittizio chiamato ellissoide di inerzia aventi le stesse proprietà dinamiche che si comporta come l’oggetto principale. Si tratta di un oggetto privo di massa le cui dimensioni degli assi vengono definite dai tre assi principali di inerzia del corpo principale: la dimensione di ogni asse di inerzia è proporzionale all’inerzia dell’oggetto vero lungo quella direzione, ovvero l’inerzia è maggiore dove la massa si muove più velocemente. Questo vuol dire che l’asse di inerzia è più lungo dove l’asse del corpo (rispetto al sistema di riferimento) è minore. Diciamo quindi che il comportamento del moto complessivo e risultante che si ottiene studiando l’ellissoide di inerzia è identico a quello originale.

 

Qui sopra viene rappresentato il sistema di equazioni di Eulero dove A < B < C sono i momenti di inerzia di Iperione, r è la distanza Saturno-Iperione e ωa, ωb e ωc sono le tre velocità angolari (lungo le direzioni degli assi) in un sistema di riferimento “saturno-centrico” postato nella figura a destra (la direzione di Saturno esce dalla pagina verso il lettore). Questo sistema di riferimento però non è utile per la descrizione del fenomeno nel caso della meccanica celeste: occorre effettuare una trasformazione degli assi in coordinate astronautiche (parametri orbitali), più utili per la descrizione del fenomeno. La figura seguente mostra il nuovo sistema di riferimento usato:

Fonte: vedi bibliografia

 I nostri nuovi parametri orbitali di riferimento saranno:

  • Pericentro: il punto dell’orbita di un corpo celeste in rotazione più vicino al centro di gravità rispetto al quale si muove
  • Anomalia vera f: angolo orario tra il vettore che punta al pericentro e la posizione di Iperione lungo l’orbita
  • angolo di rotazione θ lungo sul piano orbitale (x, y) rispetto al pericentro perpendicolare all’asse di rotazione z.

Ovviamente, perché la soluzione abbia un senso, occorrono anche le condizioni iniziali del sistema (di Iperione), ovvero la posizione iniziale di ωa (t=0), ωb (t=0) e ωc (t=0) e le loro variazioni su ogni asse (in totale 6 condizioni).

Nella figura viene schematizzata la distanza dal pericentro (MP), l’anomalia (angolo di rotazione f), l’asse inerziale più lungo che intercetta l’asse x con un angolo θ e l’angolo (θ – f) compreso fra l’asse più lungo e la direzione Saturno-Iperione. Fonte: vedi bibliografia

Prima di procedere facciamo alcune considerazioni: l’equazione di Eulero per la dinamica di corpo libero non è integrabile, ovvero non esiste un metodo che possa darci una soluzione in formula chiusa rispetto ai tre assi inerziali di rotazione: ci vogliono tecniche numeriche di analisi[1]. Così come per l’equazione del problema dei N corpi della meccanica celeste, esistono però alcune considerazioni generali che si possono fare ed esistono alcuni casi particolari (per esempio configurazioni geometriche) che consentono di fare delle semplificazioni e trovare una soluzione al problema.

Se ipotizziamo una velocità di rotazione uniforme intorno ad un asse qualsiasi (noti i tre momenti di inerzia I> I2 > I3) si possono formulare i seguenti risultati particolari (C = I1, B =  I2, A = I3):

  • Le soluzioni stazionarie possibile all’equazione di Eulero sono attorno gli assi principali di inerzia
  • Le rotazioni stazionarie stabili si hanno attorno agli assi con momenti di inerzia minimo o massimo: il corpo rigido non può ruotare lungo l’asse di inerzia intermedio

Tenendo presente quanto detto sopra e, se ipotizziamo ragionevolmente che:

  • Iperione risenta degli effetti di marea di Saturno (similmente a diversi satelliti del Sistema Solare), in grado di bloccare la rotazione del satellite sui due assi del piano orbitale (x, y). Questo significa che il suo moto di rotazione avviene su un solo asse, quello maggiore, perpendicolare al suo piano orbitale (z).
  • il suo moto di rotazione, qualunque esso sia, sia più veloce del suo moto di rivoluzione intorno a Saturno

allora l’unica coppia di variabili indipendenti dell’equazione di Eulero è {θ(t), d θ(t)/dt} lungo il quale è possibile l’unica soluzione stazionaria all’equazione del moto di corpo rigido. L’equazione precedente si semplifica e quindi diventa:

dove

  • e rappresenta l’eccentricità dell’orbita
  • l’angolo f è l’anomalia (angolo) del pericentro.

Nell’equazione precedente viene descritto il moto di un corpo rigido che ruota su sé stesso lungo l’asse z perpendicolare al piano dell’orbita e contemporaneamente orbita intorno ad un ellisse definita dalla coppia {MP, (θ – f)}. Gli attori principali della dinamica sono due risonanze:

  1. rotazione sul proprio asse (spin)
  2. orbita intorno al pericentro

L’analisi dei problemi in cui ci sono più risonanze che si sovrappongono ha mostrato come, sotto alcune condizioni, la soluzione del problema mostri fenomeni di stabilità e/o caos. Boris Chirikov (1928 – 2008) nel 1979 basandosi sull’espansione in serie di Fourier (sia f che r sono termini periodici) ha mostrato in maniera euristica che:

un’orbita che parte da una regione in cui si sovrappongono due risonanze mostrerà un’evoluzione caotica.

Chirikov ha postulato l’esistenza di un valore di soglia ω0R0 per mezzo della quale è possibile stabilire a priori se possiamo aspettarci a priori zone caotiche nella soluzione dell’equazione. Il parametro ω0 può anche scritto in funzione dell’eccentricità e:

Nel caso di Iperione si ottiene ω0R0 = 0.31, maggiore di quello che è stato possibile determinare dalle immagini della Voyager 2, e più recente dalla Cassini 0 = 0.89)[2]. Essendo ω0 > ω0R0 (sopra soglia) Iperione dobbiamo aspettarci nella soluzione dell’equazione del moto ampie zone di caoticità nella sua rotazione lungo il suo asse z. Basandoci su queste considerazioni, nel prossimo passaggio verrà mostrato più in dettaglio la sezione di Poincarè associata all’equazione del moto così da poter definire per quali condizioni possiamo considerare caotico il moto di Iperione.

(continua)

[1] Il modello si basa su un sistema di equazioni differenziali in sei dimensioni (e sei condizioni iniziali) risolvibile in maniera analitica con il metodo di Runge – Kutta

[2]I valori di eccentricità e ω0 sono stati ricavati dalle sonde a partire dalla stima dei tre valori dei momenti di inerzia

Bibliografia

Iperione e il caos

Prima parte

Secondo la mitologia greca Iperione era un Titano, figlio di Urano e di Gea, che nella battaglia contro gli dei dell’Olimpo per la conquista del potere (Titanomachia) decise di schierarsi con Kronos; dal punto di vista astronomico, è un satellite di Saturno scoperto da Bond Phillips (1825 – 1865), un astronomo americano, nel 1848.

Iperione è stato visitato in passato sia dalla sonda Voyager 2 negli anni ’80 che dalla sonda Cassini-Huygens (nel primo decennio del 2000) e ad oggi è il corpo irregolare più grande del Sistema Solare: le sue dimensioni approssimate sono: 410 x 260 x 220 Km, quindi si tratta di un satellite di forma irregolare molto simile ad una “patata cosmica”. Si pensa che la sua forma particolare si pensa possa essere dovuta a fenomeni di frammentazione e accrezione di materiale in seguito a collisioni multiple con altro materiale.

Possiede una superficie butterata da crateri da impatto molto porosa (simile ad una spugna) e una debole gravità superficiale: le indagini fotografiche da Terra (survey) circa l’albedo, portano a supporre la presenza di ghiaccio d’acqua con materiale roccioso (e composti organici?) sulla sua superficie. La densità del satellite è inferiore a quella dell’acqua (stimata in 544 Kg/m3) e, visto che non ci sono maggiori dettagli al riguardo, la considereremo costante per tutta la nostra discussione.

Il moto di rivoluzione di Iperione intorno a Saturno procede su un’orbita ellittica (che considereremo anch’essa costante nel tempo) con un semi asse maggiore a = 1,481 * 106 Km (circa 25 volte il raggio di Saturno) su un’orbita molto eccentrica (e 0,104) ed impiega circa 21,3 giorni a compiere una rivoluzione. Iperione si trova inoltre in risonanza di moto medio di rivoluzione 4:3 con Titano, che si trova in un’orbita più interna di esso (a = 1,221 *106 Km): ovvero ogni 4 rivoluzioni di Titano, Iperione ne compie 3.

La risonanza forza una variazione periodica dell’eccentricità e della longitudine del pericentro di Iperione (precessione orbitale rispetto a Saturno) stimata di un periodo di 18,8 anni che possiamo qui trascurare essendo un periodo molto più lungo rispetto a quello che ci apprestiamo ad analizzare.  Essa inoltre fa in modo che Iperione si trovi sempre all’apoastro quando è in congiunzione con Titano, inoltre tende a forzare eventuali nuovi oggetti cesti che dovessero trovarsi in rotta contro Iperione, ad essere attratti gravitazionalmente da Titano oppure essere espulsi dal sistema di satelliti di Saturno.

Orbita di Iperione (in rosso) e Titano più interna (realizzato con software Celestia)

Nonostante la sua orbita intorno a Saturno sia regolare, ciò che sin dall’inizio incuriosisce gli scienziati è invece la rotazione intorno al proprio asse orbitale (il suo assetto), che sin da subito si è mostrato molto complesso e irregolare: le indagini da Terra però hanno avvalorato l’ipotesi che il suo moto fosse caotico in maniera aperiodica. Nonostante l’assetto di Iperione segua le leggi di Newton come tutti gli altri oggetti celesti, è molto difficile fare una previsione con estrema precisione nel futuro dei movimenti di rotazione del satellite. Questa peculiarità dipende dal fatto che, sebbene si possono impostare le equazioni della dinamica (tramite leggi deterministiche), le soluzioni sono molto sensibili alle condizioni iniziali: la variazione (anche di poco) di quest’ultime, comporta una notevole differenza nella soluzione del moto: l’origine di questo comportamento è da ricercare nel caos dei sistemi dinamici.

Cerchiamo di analizzare più a fondo questo aspetto: per capire l’evoluzione dell’assetto di Iperione bisogna prendere in prestito alcuni principi della dinamica di corpo rigido e identificare le direzioni dei tre assi (x, y, z) di riferimento del satellite più coerenti alla nostra analisi, che ci consentiranno di capire come ruota rispetto a questi assi.

(continua)

Bibliografia