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Spazio e geometria – Parte III

Strutture su larga scala. L’Universo intero è costituito in gran parte da spazio e macro strutture quali ammassi, galassie, … dal punto di vista locale è molto disomogeneo.

Mano a mano che aumentiamo il fattore di scala, la disomogeneità dell’Universo diventa sempre meno evidente, tanto che per dimensioni maggiori di 100-150 Mpc, gli astronomi hanno dimostrato che possiamo considerare con molta buona approssimazione l’Universo omogeneo e assai vuoto: la densità media della materia è meno di un atomo d’idrogeno per m3 e lo spazio rappresenta l’ingrediente principale. Poniamoci ora la stessa domanda: qual è la geometria del nostro Universo? Che proprietà possiede? Sappiamo già dalla Teoria della Relatività che la massa curva lo spazio-tempo, quindi di conseguenza, quando consideriamo sistemi planetari, galassie, super ammassi … anche il nostro universo è localmente curvo, in altre parole non è piatto, ha curvatura positiva ovvero non vale più la geometria euclidea. Possiamo generalizzare questo concetto? La capacità di identificare la geometria dell’Universo (piatta, positiva o negativa) è legata alla quantità di materia totale in esso contenuto.

Torniamo un attimo indietro nel tempo, e precisamente nel 1929, quando a formulò, grazie alle sue osservazioni sulle cefeidi con il telescopio di Monte Wilson, la legge che porta il suo nome. Le ipotesi di base per la validità della legge (empirica) di Hubble sono la presenza di un Universo isotropo ed omogeno:

  • isotropo: significa che il comportamento dell’Universo è uguale in ogni direzione.
  • omogeno: perché non esiste un punto di vista preferenziale dello spazio all’interno del nostro Universo: qualsiasi luogo dell’Universo è staticamente equivalente.

Questi due ipotesi sono alla base di quello che i cosmologi chiamano principio antropico. La legge di Hubble dice che:

V = H0 * D

Dove v è la velocità radiale di recessione, H0 è la costante di Hubble e D è la distanza dell’oggetto dall’osservatore. Dal punto di vista storico, la costante di Hubble, a dispetto del nome, cambia nel tempo (grazie a misure di spettrografia più precise). Il più recente e accurato valore di H0 è 67,15 Km/s/Mps.

Legge di Hubble
Legge di Hubble. Fonte: vialattea.net

La legge sancisce che, considerato qualsiasi punto P dell’Universo, le galassie si allontanano da esso in maniera proporzionale di un fattore H0 simmetricamente in ogni direzione. L’effetto recessivo delle galassie viene misurato con analisi dello spettro; si nota infatti che le linee spettrali delle componenti galattiche sono più spostate verso la lunghezza d’onda del rosso, rispetto al caso in cui le galassie abbiano una posizione relativa statica. Questo effetto viene chiamato red-shift e consiste in almeno due componenti:

  • red shift gravitazionale: dovuto al moto proprio delle galassie influenzate dalla galassie vicine.
  • red shift cosmologico: dovuto alla creazione dello spazio tempo nell’Universo e che trascina con esso le galassie, come la trama di un palloncino che si gonfia separa sempre più due punti qualsiasi sulla superficie dello stesso. E’ la causa dell’espansione dell’Universo.

La componente cosmologica è di gran lunga maggiore di quella gravitazionale, che pertanto, per il nostro obiettivo, possiamo trascurare. Dato che la forza di gravità è attrattiva, e il nostro Universo si sta espandendo, la domanda che ci poniamo è la seguente: la quantità di materia dell’Universo (sia barionica che oscura) è sufficiente ad arrestare l’espansione, oppure è troppo poca?

C’è un trait d’union molto importante fra la quantità di materia (o densità) nell’Universo, e tipo di geometria che è stato rilevato da Friedmann (1888 – 1925) nel 1922 – prima ancora che Hubble scoprisse la sua legge – in cui si lega l’espansione dell’Universo con le equazioni della relatività sotto le ipotesi di validità del principio antropico. Friedmann espose come, in funzione della densità critica, si possa determinare la geometria dell’Universo e quindi la sua curvatura. In particolare, definì il valore limite di densità critica:

ρ0 = 3 H02 / (8 * π *G)

come valore di separazione fra uno Universo chiuso o aperto: il valore ρ0 rappresenta un valore limite. Se ci fosse una quantità di materia insufficiente a contrastare la gravità allora l’espansione sarà inarrestabile e il nostro Universo avrà una curvatura negativa. Contrariamente, se ci fosse abbastanza materia a sovrastare la forza gravitazionale l’espansione si arresterebbe e la gravità avrebbe il sopravvento: questo implica che il nostro Universo avrebbe una curvatura positiva. Esiste anche una terza via, ovvero che nell’Universo è presente una quantità di materia in grado di contro bilanciare esattamente la forza di espansione in modo tale che l’espansione decelererà fino ad arrestarsi (in un tempo infinito).

La faccenda si riduce quindi a calcolare Ω = ρ / ρ0, dove ρ rappresenta la densità di materia totale nell’Universo e vedere in quali dei seguenti tre casi ricadiamo:

  • Ω < 1: l’Universo ha curvatura negativa, quindi in una geometria iperbolica.
  • Ω > 1: l’Universo ha curvatura positiva, quindi in una geometria ellittica.
  • Ω = 1: l’Universo è piatto, quindi in una geometria euclidea.

Allo scopo di determinare il valore di ρ, gli astronomi hanno continuato il loro lavoro di esplorazione percorrendo a ritroso nel tempo la storia dell’Universo. Come in un vecchio nastro che si riavvolge per tornare al capo, così gli astronomi fecero per studiare gli istanti iniziali del Big Bang pensando di trovarsi di fronte ad un Universo in decelerazione. Lo studio della radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Background Radiation) è stato di basilare importanza per lo studio della forma dell’Universo. Grazie ad esperimenti con palloni aerostatici (BOOMERANG e MAXIMA) e all’utilizzo di missioni satellitari (COBE, WMAP e Planck) abbiamo un’immagine molto definita dell’eco del Big Bang espressa in termini di una radiazione a microonde (pari ad una temperatura di corpo nero a 2,7 K) che permea tutto lo spazio.

Radiazione cosmica di fondo
Radiazione cosmica di fondo. Fonte: en.wikipedia.org

Il fatto interessante è che tutta la quantità di materia che abbiamo oggi nell’Universo è descritta dalla distribuzione di radiazione raccolta dalle sonde quando l’Universo aveva l’età di circa 380.000 anni. Tramite l’analisi delle fluttuazioni dello spettro della radiazione di fondo, è possibile calcolare con precisione:

  • Grandezza delle macchie e fluttuazioni di temperatura
  • Dimensioni angolari e distribuzione delle anisotropie.
  • Effetti di diffusione della luce (gli effetti di scattering).

Tutti questi elementi consentono di giustificare la distribuzione spaziale di materia (e quindi implicitamente la densità di materia) nell’Universo, cioè la curvatura dell’Universo così come lo vediamo oggi.

La CMBR contiene tutte e sole le informazioni di cui hanno bisogno i cosmologi per lo studio della geometri dell’Universo, in particolare il contributo percentuale di ognuno al valore finale di densità di materia complessiva.

Spettro di potenza della CMBR
Spettro di potenza della CMBR

Gli astrofisici hanno così individuato che l’Universo è costituito da diversi tipi di materia:

  • Materia barionica (quella che si può vedere e toccare, per intenderci): la sua densità ρbar rappresenta circa il 4% della densità totale di materia.
  • Materia oscura: è responsabile dell’esistenza dei grossi ammassi di galassie in termini di coesione gravitazionale. Gli astronomi hanno dedotto che questa rappresenta circa il 30% di tutta la materia (densità ρosc).

Con questi valori di percentuale, manca ancora una frazione notevole di massa per giustificare la quantità totale materia pari a circa 70%. Per trovarla dobbiamo tornare negli anni ’90 quando lo studio di Supernovae Ia rivelò che l’Universo sta accelerando: gli astrofisici hanno messo in relazione la percentuale di densità mancante (ρesp) con la quantità di massa-energia che sta causando l’espansione dell’Universo. Si tratta di una forma di energia non gravitazionale, che gli astronomi suppongono sia legata alla densità di energia del vuoto (ad oggi non abbiamo altre certezze) ed è stata introdotta per permettere alla densità di materia di raggiungere il valore critico che già si registra nello spettro delle fluttuazioni di temperatura della CMBR. In pratica dai risultati delle missioni spaziali ricaviamo il valore di densità critica, sappiamo che l’Universo accelera, che l’accelerazione è causata da una forma di energia (oscura), e mettiamo in relazione questa quantità mancante l’energia oscura in modo che tale quantità raggiunga il valore di ρ rilevato dalle misurazioni. Nessuno sa ancora di cosa sia costituita questa forma di massa-energia oscura, ma gli astrofisici la mettono in relazione con L, ovvero la costante cosmologica che Einstein nel 1917, introdusse nelle equazioni della Relatività generale, per giustificare – secondo la sua interpretazione – un universo statico. Possiamo quindi dire che la densità di materia dell’Universo è la somma di tre termini:

ρ = ρbar + ρosc + ρesp

Queste analisi hanno portato alla conclusione che viviamo in un Universo la cui densità di materia complessiva ρ è molto vicina al valore critico ρo con una percentuale di errore molto piccola, pari al 2%. Ciò vuol dire un valore di Ω molto vicino a 1: incredibilmente questo valore ci porta alla conseguenza più evidente che ad oggi:

Compatibilmente con gli errori di misura, il nostro Universo è piatto o molto vicino alla piattezza, senza bordi ne confini, con un orizzonte dell’Universo visibile pari a 13,7 miliardi di anni luce, all’interno del quale valgono i teoremi e le preposizioni della geometria euclidea, descritta e studiata già 2300 anni fa da un matematico greco.

Bibliografia

  • Amedeo Balbi: La musica del Big Bang – Springer Edizioni

Aberrazioni ottiche

Anche se le lenti sono otticamente perfette, senza irregolarità o difetti di costruzione, un fascio di luce non monocromatico è soggetto a cammini geometrici differenti quando attraversa un sistema ottico; ne consegue che l’immagine finale sarà soggetta a deformazioni rispetto all’immagine ideale che si vuole ottenere come prevista dal modello matematico che descrive il sistema ottico: queste differenze sono chiamate aberrazioni.

Naturalmente ogni strumento ottico può avere uno o più difetti di aberrazione; in ogni caso ognuna di esse possono essere limitate o eliminate con l’utilizzo di accoppiamenti con vetri in funzione del tipo di aberrazione: se i difetti formazione dell’immagine si formano sull’asse ottico avremo aberrazioni assiali, altrimenti si parla di aberrazioni extra assiali.

Ci sono solo due tipi di aberrazioni assiali: sferiche e cromatiche. Le aberrazioni sferiche sono dovute al fatto che, in una lente, i raggi marginali rifratti da una lente proveniente da una sorgente monocromatica (laser, per esempio) e non convergono tutti in un solo punto, ma nell’intorno di esso (sempre sull’asse ottico) ad una distanza minima e massima rispetto al fuoco nominale della lente. Questi punti si chiamano fuochi marginali. La differenza dei due fuochi marginali da un’indicazione dell’aberrazione della lente; questo difetto può essere eliminato o ridotto sia in caso di lenti o specchi. In pratica l’effetto visivo che si osserva guardando con una lente affetta da aberrazione sferica è un’immagine sfocata.

L’Hubble Space Telescope (HST) fu una delle vittime più famose affetta da fenomeni di aberrazione sferica: mandato in orbita nell’Aprile del 1990, già nel Giugno dello stesso anno gli astronomi notarono dalle immagini trasmesse a terra alcuni dubbi sulla sua precisione ottica. Infatti dopo le prime foto, alcuni tecnici iniziarono a presentare delle riserve e capirono che si trattava di uno dei difetti più diffusi in ottica: aberrazione sferica. Gli scienziati capirono che il problema era di molto tempo fa, durante l’assemblaggio dello specchio: un componente del primario era stato assemblato in maniera sbagliata con un errore di misura di 1,3 mm. Il risultato era uno specchio primario deformato dove ai bordi risultava più piatto del previsto (1/50 dello spessore di un foglio).

La NASA si rese conto che era necessaria una nuova missione Shuttle. Fu progettato il COSTAR (Corrective Optical Space Telescope Axial Replacement). Il COSTAR altro non è che una serie di bracci meccanici che sorreggono 5 ottiche correttive: la luce raccolta dal primario veniva riflessa su questi specchi correttori che avevano una curvatura tale da eliminare l’aberrazione iniziale.

Pictures of Galaxy M100 with Hubble
Fonte: http://hubblesite.org

Source: Hubblesite.org

La missione dedicata alla riparazione avvenne il 2 Dicembre 1993 con il lancio dell’Endevour (STS-61); gli astronauti portarono il telescopio nella stiva di carico ed effettuarono la riparazione con una serie di EVA (Extra Veicular Activity). Venne inoltre installata una nuova fotocamera Wide Field Planetary Camera (WF/PC2) al posto della precedente e furono sostituiti due pannelli solari per risolvere problemi di oscillazione.

Nel caso di lenti o specchi l’aberrazione assiale può essere corretta o limitata correggendo la curvatura della lente oppure, nel caso di specchi, con una lastra correttrice (chiamata lastra di Schmidt). L’aberrazione assiale residua è chiamata aberrazione sferica zonale.

Vediamo ora l’aberrazione cromatica:

\frac{1}{f} = (n(\lambda{})-1) (\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}})

la formula sopra riportata è l’equazione fondamentale dell’ottica; essa dice che per calcolare la distanza focale di una lente occorre conoscere i due raggi di curvatura della lente (con le dovute convenzioni dei segni) ma anche dall’indice di rifrazione \lambda{} del mezzo n. L’indice di rifrazione a sua volta è funzione della lunghezza d’onda. Se consideriamo sorgente puntiforme non monocromatica, avremo che ogni singolo componente del fascio luminoso incontrerà una lunghezza focale diversa, e quindi l’immagine risultante non è concentrato in un unico fuoco. La massima aberrazione cromatica si avrà come differenza della distanza focale ottenuta quando consideriamo le due lunghezza estreme nell’intervallo del visibile dello spettro ottico (rosso e blu). Una lente positiva è sempre cromaticamente sotto corretta mentre una negativa è sempre sovra corretta.

Per correggere una lente affetta da aberrazione cromatica assiale occorre introdurre sempre due lenti: una positiva ed una negativa fatte di vetri diversi; in tal caso si ottiene un sistema ottico acromatico. La correzione però riguarda solo i valori estremi dello spettro visibile, ma non per quelli intermedi: la lente quindi soffrirà sempre di un’aberrazione cromatica residua. E’ possibile aggiungere una terza lente alle prime due per ottenere una correzione cromatica sulle tre lunghezze d’onda principali (rosso, verde e blu) per garantire un’immagine migliore; in tal caso si ottiene un sistema ottico apocromatico.

Aberrazione cromatica
Fonte: http://nothingnerdy.wikispaces.com/OPTICAL+INSTRUMENTS

Un sistema ottico affetto da aberrazione cromatica si riconosce perché l’immagine che genera è circondata da un alone colorato, come se ci fossero più copie della stessa immagine con colori differenti leggermente spostate una rispetto all’altra, risultato della messa a fuoco della stessa sorgente a diverse distanze focali.

Ci sono invece tre tipi di aberrazioni extra assiali: coma, astigmatismo, curvatura di campo/distorsione. Una lente è affetta da coma quando i raggi che provengono da una sorgente luminosa in maniera obliqua rispetto all’asse non vengono messi a fuoco alla stessa distanza focale e sullo stesso asse; l’immagine risultante allora non è puntiforme ma ha forma obliqua ed allungata come quella di una cometa (coma). Questo è dovuto al fatto che in lenti con tali difetti l’ingrandimento cambia a seconda della direzione del raggio sorgente (tangenziale o sagittale). In un’immagine il coma è visibile maggiormente ai bordi della foto rispetto al centro in cui i raggi luminosi percorrono un cammino parallelo all’asse ottico.

http://demonstrations.wolfram.com/LensAberrations/
Fonte http://demonstrations.wolfram.com/LensAberrations/

In uno specchio il coma si può ridurre diaframmando l’apertura (limitando la presenza dei raggi più esterni), mentre in una lente occorre accoppiarla con altre. Un sistema ottico privo di coma si dice aplanatico.

L’astigmatismo è un difetto che consiste nel differente valore della lunghezza focale della lente a seconda del piano incidente della sorgente luminosa ed è dovuto a difetti nei due piani di simmetria della lente (asse principale e perpendicolare). In pratica è come se la lente avesse due piani con lunghezza focale differenti ortogonali fra loro. Se abbiamo una sorgente puntiforme monocromatica, un modo semplice per identificare l’astigmatismo è quello di muoverlo lungo l’asse principale della lente avanti ed indietro ed osservare l’immagine risultante: se l’immagine che si forma varia da un segmento orizzontale che mano a mano si riduce ad un punto per poi allungarsi di nuovo in verticale. L’astigmatismo si può verificare anche nell’accoppiamento di due lenti perfette (prive di qualsiasi difetto): basta che vengano accoppiate fuori asse per ottenere un sistema astigmatico.

Lente affetta da astigmatismo
Lente affetta da astigmatismo – disegno dell’autore

Un sistema ottico privo di astigmatismo si chiama anastigmatico.

Distorsione/curvatura di campo: supponiamo che la nostra sorgente sia un quadrato: come sarà la sua immagine in un sistema ottico affetto da questo tipo di aberrazione? Dato che l’immagine ottenuta da superfici ottiche sferiche non giace sullo stesso piano, ma su calotte sferiche, quindi più ci si allontana dall’asse ottico principale, più distorta sarà l’immagine che si forma; l’effetto visivo è quello di un barilotto, ovvero la nostra immagine sarò un quadrato deformato con i lati trasformati in archi di circonferenza ove alcuni punti saranno più vicini al centro dell’immagine, altri più lontano. Quanto maggiore è la lunghezza focale, tanto maggiore sarà la curvatura di campo.

Lente affetta da distorsione/curvatura di campo
Lente affetta da distorsione/curvatura di campo (effetto esagerato) –  disegno dell’autore

Matematicamente l’effetto si può quantificare in termini di errore quadratico medio; un sistema ottico privo di distorsione si dice ortoscopico.

Riferimenti

  • L’astronomo dilettante – Sansoni