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Leggi di conservazione

By articolidiastronomia on 17/02/2025 • ( Lascia un commento )

In un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative l’energia meccanica totale si conserva

Questa affermazione, conosciuta come principio di conservazione dell’energia¹, era già nota ed applicata sin dal XIX secolo per la sua praticità sia in fisica che in altre discipline: la loro giustificazione si basava dall’osservazione empirica della natura, senza però associare una giustificazione fisica né conoscere alcuna ragione fondamentale di validità. Così come oltre all’energia, erano noti anche i seguenti due principi fisici di conservazione:

in un sistema isolato la quantità di moto si conserva
se il momento risultante delle forze esterne è nullo allora il momento angolare del sistema si conserva

Possiamo riformulare matematicamente il primo principio (conservazione dell’energia) associando l’energia totale $E_{T}(\dot{x}, x)$ di un corpo in movimento per un periodo $t \in [a, b]$ come somma del contributo dato da due fattori: dall’energia cinetica e da quella gravitazionale:

E_{T}(\dot{x}, x) = E_{K}(\dot{x}, x) + E_{P}(x)

Per il principio, la quantità $E_{T}(\dot{x}, x)$ è sempre costante durante il moto. Per risolvere l’equazione precedente si utilizzano le leggi della meccanica classica di Newton: ovvero si esprime il moto del corpo come sono funzioni vettoriali in $\mathbb{R}^3$ nell’intervallo temporale [a, b] durante i quali avviene il moto. Questo significa scrivere la funzione vettoriale che la traiettoria descrive nello spazio (x, y, z), ovvero la nota equazione della dinamica di Newton:

\vec{F(t)} = m\vec{a(t)}

A questa equazione vettoriale corrispondono tre equazioni scalari dove (x, y, z) sono le coordinate cartesiane ortogonali in un fissato sistema di riferimento: se dalla precedente equazione cambiamo sistema di coordinate (ad esempio coordinate cilindriche o polari) la soluzione, ovvero la traiettoria del corpo, non cambia ma l’approccio analitico diventa più difficoltoso. Si pensi ad esempio allo studio del moto di un pianeta intorno alla propria stella: si può descrivere sia in coordinate cartesiane (x, y) che in coordinate polari $(\rho, \theta )$ . Il secondo sistema di riferimento è sicuramente più pratico e più naturale da utilizzare.

Sarà possibile invece riscrivere le equazioni del moto in un sistema di riferimento indipendente? La risposta è sì, ed è quello che fece nel Settecento Lagrange quando suggerì un nuovo formalismo matematico che produceva gli stessi risultati fisici della meccanica newtoniana, ma basato su un nuovo principio: il principio di minima azione.

Riscriviamo intanto l’equazione dell’energia totale di un corpo come:

\mathcal{L(q, \dot{q}, t)} = T(q, \dot{q}, t) - V(q)

Sia $T(q, \dot{q}, t)$ l’enegia cinetica del sistema e $V(q)$ l’energia potenziale: si definisce lagrangiana la quantità $\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)$ . Questo nuovo formalismo consente di studiare il sistema fisico quando la formula di Newton possiede un approccio troppo complicato da risolvere, come ad esempio sistemi con vincoli (equazioni del pendolo semplice) o, appunto, le orbite dei pianeti. La lagrangiana quindi semplifica il problema utilizzando un sistema di coordinate generalizzate q. Lavorando sempre in un sistema conservativo, Lagrange infine dimostrò l’equivalenza tra l’equazione di Newton e la lagrangiana.

Definiamo ora funzionale azione lungo $t \in [a, b]$ il seguente integrale:

S = \int_{a}^{b} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt

Possiamo intuitivamente spiegare il funzionale azione come le somme degli eccessi dell’energia cinetica rispetto a quella potenziale calcolata per un quanto di tempo piccolo lungo tutta la traiettoria percorsa dal corpo.

Il problema di trovare la traiettoria del corpo nell’intervallo $t \in [a, b]$ a partire dall’integrale sopra definito, venne affrontato da Eulero utilizzando una tecnica che ha aperto la strada ad una nuova branca della matematica chiamata calcolo delle variazioni. L’impostazione che egli diede, nota come equazione di Eulero-Lagrange, si basa sulla ricerca degli estremali di $S$ .

Alcune possibili traiettorie da x₁ a x₂
Fonte: https://www.quantumuniverse.nl/

Per capire il concetto, si immagini l’azione come un valore associato ad ogni possibile traiettoria che un corpo potrebbe fare: ognuna di essa possiede un valore $S$ calcolato come “tante piccole somme degli eccessi”, dall’istante iniziale t = a fino ad all’istante finale t = b. Il moto naturale che un corpo seguirà è quello che rende stazionario il funzionale azione, ovvero risulta un valore minimo o massimo di $S$ . È come se la Natura volesse ridurre o limitare lo sforzo necessario per compiere il suo lavoro: la Natura, in un certo senso, è pigra.²

David Hilbert (1862 – 1943)
Fonte: https://www.famousmathematicians.net/david-hilbert/

Il lavoro di Eulero giustifica matematicamente la relazione fra entità conservate e principi newtoniani, senza però fornirne una giustificazione fisica. Nessuno poteva ancora sapere che agli inizi del XX secolo sarebbe stata sviluppata una teoria più generale che entra in gioco a complicare il problema quando un corpo è sottoposto agli effetti di una grande massa.

Nel novembre 1915 infatti Einstein pubblicò la Teoria della Relatività Generale nell’articolo Feldgleichungen der Gravitation – Preussische Akademie der Wissenschaften: un’estensione della meccanica newtoniana ma con un impianto matematico differente³. Secondo David Hilbert, un matematico contemporaneo al fisico tedesco, era necessario fornirne una dimostrazione matematica dei principi conservativi in questo nuovo contesto.

Prima ancora della pubblicazione, Einstein aveva già discusso nei mesi precedenti dello stesso anno l’argomento con i colleghi universitari, in particolare proprio con Hilbert, il quale riscrisse da zero la teoria di Einstein secondo il formalismo lagrangiano⁴.

Grazie a questo passaggio, il matematico tedesco aveva cercato di usare lo stesso approccio visto in precedenza per dimostrare la validità del principio di conservazione ma non fu in grado; invitò quindi Einstein a trovare una soluzione.

Albert Einstein: Integrazione approssimata delle equazioni del campo gravitazionale. Fonte: https://edition-open-sources.org/sources/10/4/index.html

Dopo un anno neanche il fisico tedesco riuscì a venirne a capo; quindi Hilbert decise di rivolgersi ad una persona che all’epoca era la sua assistente, la quale avrebbe avuto le competenze per analizzare il problema da una prospettiva diversa. Questa persona era Amalie Emmy Noether.

Nota

Uno spazio funzionale $\mathcal{F} ([a, b], \mathbb{R}^n)$ è l’insieme di tutte le funzioni $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n$ dove [a, b] è un intervallo di $\mathbb{R}$ I suoi elementi sono funzioni.

Bibliografia

Rivoluzioni matematiche: il teorema di Noether, Edoardo Provenzi – Le Scienze
Enigmi per decifrare il mondo, Cumrun Vafa – Edizioni Dedalo

Un sistema isolato è un sistema che non interagisce in alcun modo con l’ambiente circostante ed una forza conservativa è una funzione che dipende soltanto dalla posizione. ↩︎
Se vi fossero più soluzioni a questo problema, ogni soluzione produrrebbe un estremo (un minimo o un massimo) del funzionale. ↩︎
La gravitazione diventa con Einstein una proprieta’ della geometria dell’Universo ↩︎
Hilbert riscrisse la Teoria della Relatività nell’estate del 1915 ma non la pubblicò per rispettare il lavoro di Einstein; quindi decise di pubblicare il suo lavoro l’anno seguente. ↩︎

Spazio e geometria – Parte III

By articolidiastronomia on 31/07/2016 • ( 3 commenti )

Strutture su larga scala. L’Universo intero è costituito in gran parte da spazio e macro strutture quali ammassi, galassie, … dal punto di vista locale è molto disomogeneo.

Mano a mano che aumentiamo il fattore di scala, la disomogeneità dell’Universo diventa sempre meno evidente, tanto che per dimensioni maggiori di 100-150 Mpc, gli astronomi hanno dimostrato che possiamo considerare con molta buona approssimazione l’Universo omogeneo e assai vuoto: la densità media della materia è meno di un atomo d’idrogeno per m³ e lo spazio rappresenta l’ingrediente principale. Poniamoci ora la stessa domanda: qual è la geometria del nostro Universo? Che proprietà possiede? Sappiamo già dalla Teoria della Relatività che la massa curva lo spazio-tempo, quindi di conseguenza, quando consideriamo sistemi planetari, galassie, super ammassi … anche il nostro universo è localmente curvo, in altre parole non è piatto, ha curvatura positiva ovvero non vale più la geometria euclidea. Possiamo generalizzare questo concetto? La capacità di identificare la geometria dell’Universo (piatta, positiva o negativa) è legata alla quantità di materia totale in esso contenuto.

Torniamo un attimo indietro nel tempo, e precisamente nel 1929, quando Hubble formulò, grazie alle sue osservazioni sulle cefeidi con il telescopio di Monte Wilson, la legge che porta il suo nome. Le ipotesi di base per la validità della legge (empirica) di Hubble sono la presenza di un Universo isotropo ed omogeno:

isotropo: significa che il comportamento dell’Universo è uguale in ogni direzione.
omogeno: perché non esiste un punto di vista preferenziale dello spazio all’interno del nostro Universo: qualsiasi luogo dell’Universo è staticamente equivalente.

La legge di Hubble dice che:

V = H₀ * D

Dove v è la velocità radiale di recessione, H₀ è la costante di Hubble e D è la distanza dell’oggetto dall’osservatore. Dal punto di vista storico, la costante di Hubble, a dispetto del nome, cambia nel tempo (grazie a misure di spettrografia più precise). Il più recente e accurato valore di H₀ è 67,15 Km/s/Mps.

La legge sancisce che, considerato qualsiasi punto P dell’Universo, le galassie si allontanano da esso in maniera proporzionale di un fattore H₀simmetricamente in ogni direzione. L’effetto recessivo delle galassie viene misurato con analisi dello spettro; si nota infatti che le linee spettrali delle componenti galattiche sono più spostate verso la lunghezza d’onda del rosso, rispetto al caso in cui le galassie abbiano una posizione relativa statica. Questo effetto viene chiamato red-shift e consiste in almeno due componenti:

red shift gravitazionale: dovuto al moto proprio delle galassie influenzate dalla galassie vicine.
red shift cosmologico: dovuto alla creazione dello spazio tempo nell’Universo e che trascina con esso le galassie, come la trama di un palloncino che si gonfia separa sempre più due punti qualsiasi sulla superficie dello stesso. E’ la causa dell’espansione dell’Universo.

La componente cosmologica è di gran lunga maggiore di quella gravitazionale, che pertanto, per il nostro obiettivo, possiamo trascurare. Dato che la forza di gravità è attrattiva, e il nostro Universo si sta espandendo, la domanda che ci poniamo è la seguente: la quantità di materia dell’Universo (sia barionica che oscura) è sufficiente ad arrestare l’espansione, oppure è troppo poca?

C’è un trait d’union molto importante fra la quantità di materia (o densità) nell’Universo, e tipo di geometria che è stato rilevato da Friedmann (1888 – 1925) nel 1922 – prima ancora che Hubble scoprisse la sua legge – in cui si lega l’espansione dell’Universo con le equazioni della relatività sotto le ipotesi di validità del principio antropico. Friedmann espose come, in funzione della densità critica, si possa determinare la geometria dell’Universo e quindi la sua curvatura. In particolare, definì il valore limite di densità critica:

ρ₀ = 3 H₀²/ (8 * π *G)

come valore di separazione fra uno Universo chiuso o aperto: il valore ρ₀ rappresenta un valore limite. Se ci fosse una quantità di materia insufficiente a contrastare la gravità allora l’espansione sarà inarrestabile e il nostro Universo avrà una curvatura negativa. Contrariamente, se ci fosse abbastanza materia a sovrastare la forza gravitazionale l’espansione si arresterebbe e la gravità avrebbe il sopravvento: questo implica che il nostro Universo avrebbe una curvatura positiva. Esiste anche una terza via, ovvero che nell’Universo è presente una quantità di materia in grado di contro bilanciare esattamente la forza di espansione in modo tale che l’espansione decelererà fino ad arrestarsi (in un tempo infinito).

La faccenda si riduce quindi a calcolare Ω = ρ/ρ_0,dove ρ rappresenta la densità di materia totale nell’Universo e vedere in quali dei seguenti tre casi ricadiamo:

Ω < 1: l’Universo ha curvatura negativa, quindi in una geometria iperbolica.
Ω > 1: l’Universo ha curvatura positiva, quindi in una geometria ellittica.
Ω = 1: l’Universo è piatto, quindi in una geometria euclidea.

Allo scopo di determinare il valore di ρ, gli astronomi hanno continuato il loro lavoro di esplorazione percorrendo a ritroso nel tempo la storia dell’Universo. Come in un vecchio nastro che si riavvolge per tornare al capo, così gli astronomi fecero per studiare gli istanti iniziali del Big Bang pensando di trovarsi di fronte ad un Universo in decelerazione. Lo studio della radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Background Radiation) è stato di basilare importanza per lo studio della forma dell’Universo. Grazie ad esperimenti con palloni aerostatici (BOOMERANG e MAXIMA) e all’utilizzo di missioni satellitari (COBE, WMAP e Planck) abbiamo un’immagine molto definita dell’eco del Big Bang espressa in termini di una radiazione a microonde (pari ad una temperatura di corpo nero a 2,7 K) che permea tutto lo spazio.

Radiazione cosmica di fondo. Fonte: en.wikipedia.org

Il fatto interessante è che tutta la quantità di materia che abbiamo oggi nell’Universo è descritta dalla distribuzione di radiazione raccolta dalle sonde quando l’Universo aveva l’età di circa 380.000 anni. Tramite l’analisi delle fluttuazioni dello spettro della radiazione di fondo, è possibile calcolare con precisione:

Grandezza delle macchie e fluttuazioni di temperatura
Dimensioni angolari e distribuzione delle anisotropie.
Effetti di diffusione della luce (gli effetti di scattering).

Tutti questi elementi consentono di giustificare la distribuzione spaziale di materia (e quindi implicitamente la densità di materia) nell’Universo, cioè la curvatura dell’Universo così come lo vediamo oggi.

La CMBR contiene tutte e sole le informazioni di cui hanno bisogno i cosmologi per lo studio della geometri dell’Universo, in particolare il contributo percentuale di ognuno al valore finale di densità di materia complessiva.

Spettro di potenza della CMBR. La maggior parte delle zone calde sulla mappa della radiazione di fondo è separata da 1°. I punti rappresentato i dati osservati, la curva continua rappresenta il miglior modello che si adatta ai dati

Gli astrofisici hanno così individuato che l’Universo è costituito da diversi tipi di materia:

Materia barionica (quella che si può vedere e toccare, per intenderci): la sua densità ρ_bar rappresenta circa il 4% della densità totale di materia.
Materia oscura: è responsabile dell’esistenza dei grossi ammassi di galassie in termini di coesione gravitazionale. Gli astronomi hanno dedotto che questa rappresenta circa il 30% di tutta la materia (densità ρ_osc).

Con questi valori di percentuale, manca ancora una frazione notevole di massa per giustificare la quantità totale materia pari a circa 70%. Per trovarla dobbiamo tornare negli anni ’90 quando lo studio di Supernovae Ia rivelò che l’Universo sta accelerando: gli astrofisici hanno messo in relazione la percentuale di densità mancante (ρ_esp) con la quantità di massa-energia che sta causando l’espansione dell’Universo. Si tratta di una forma di energia non gravitazionale, che gli astronomi suppongono sia legata alla densità di energia del vuoto (ad oggi non abbiamo altre certezze). Possiamo quindi dire che la densità di materia dell’Universo è la somma di tre termini:

ρ = ρ_bar + ρ_osc + ρ_esp

Siccome sono i dati più lontani a disposizione, di conseguenza il potenziale triangolo che potremmo disegnare sarebbe il più grande possibile.

Gli astrofisici, si sono chiesti: qual è la probabilità di trovare due zone calde vicine a una certa distanza? Per rispondere a questa domanda calcolano tutte le possibili coppie di zone calde a tutte le possibili distanze della mappa.

L’angolo misurato dalle missioni spaziali è diverso a seconda della geometria dell’universo. Tutto ciò si ripercuote sul grafico delle fluttuazioni: il picco si sposta verso angoli più piccoli se, per esempio, l’universo è aperto anziché piatto. Il picco si ha intorno a separazioni di 1°: proprio quello che ci aspettiamo in un universo piatto. Ovvero la densità dell’universo è esattamente pari al valore della densità critica ipotizzata dalla teoria della relatività.

Queste analisi hanno portato alla conclusione che viviamo in un Universo la cui densità di materia complessiva ρ è molto vicina al valore critico ρ_o con una percentuale di errore molto piccola, pari al 2%. Ciò vuol dire un valore di Ω molto vicino a 1: incredibilmente questo valore ci porta alla conseguenza più evidente che ad oggi:

Compatibilmente con gli errori di misura, il nostro Universo è piatto o molto vicino alla piattezza, senza bordi ne confini, con un orizzonte dell’Universo osservabile pari a circa 92,7 miliardi di anni luce (sfera di Hubble), all’interno del quale valgono i teoremi e le preposizioni della geometria euclidea, descritta e studiata già 2300 anni fa da un matematico greco.

Bibliografia

Amedeo Balbi: La musica del Big Bang – Springer Edizioni

Da Newton ad Einstein

By articolidiastronomia on 27/09/2014 • ( 1 commento )

Parallelamente lo studio e la comprensione della luce, portano nella seconda metà del XIX secolo, alla descrizione unificata dei fenomeni elettrici e magnetici; nasce la teoria dell’elettromagnetismo che vede come risultato finale la formulazione delle equazioni di Maxwell (1831 – 1879). Nella comunità scientifica nacque quindi l’esigenza di estendere i risultati della meccanica classica ‘newtoniana’ in modo da considerare anche i risultati ottenuti dall’elettromagnetismo.

Frontespizio dei 'Principia' di Newton — Frontespizio dei ‘*Principia*‘ di Newton

Gli scienziati, partendo dalle conoscenze teoriche di Galileo e Newton, si chiesero allora se era possibile identificare in che mezzo si propagasse un’onda elettromagnetica (per esempio la luce), ed ipotizzarono l’esistenza di un mezzo etereo, che permea l’intero spazio, da assurgere come punto di riferimento immobile rispetto a tutti gli oggetti, e quindi anche alla luce stessa, entro la quale essa doveva muoversi.

L’esistenza di questo ipotetico mezzo veniva giustificata se consideriamo i fenomeni ondulatori della luce; così come un’onda sonora si propaga nell’aria (o in un altro mezzo) anche la luce avrebbe dovuto propagarsi in questo mezzo chiamato etere.

Dato che doveva muoversi rispetto tutti gli oggetti, ovviamente anche la Terra non avrebbe dovuto far eccezione, e nel 1887 gli scienziati Michelson (1852 – 1931) e Morley (1838 – 1923) condussero una serie di esperimenti basati sul fenomeno dell’interferenza della luce in diverse condizioni per cercare di capire se era possibile rilevare il moto della Terra rispetto all’etere, ma i risultati furono negativi: non c’era alcuna evidenza di un moto di composizione della luce rispetto all’etere; la velocità della luce – che in fisica si indica con c – era sempre costante (oggi sappiamo che vale 299 792 km/s). Le leggi di composizione delle velocità galileiane continuavano a essere incompatibili con l’elettromagnetismo e la ricerca (o rassicurazione) di un sistema di riferimento assoluto per la descrizione dei fenomeni fisici rimaneva una chimera.

Si deve aspettare l’inizio del secolo successivo, e precisamente nel Giugno 1905, quando Albert Einstein (1879 – 1955) pubblica un articolo dal titolo “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” (ovvero, “Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento”) sugli annali di fisica: lo scienziato non crede che esista un sistema di riferimento assoluto né all’esistenza di un mezzo di propagazione per la luce (così come mostrano gli esperimenti sull’etere). Se le trasformazioni galileiane fossero valide per tutti i fenomeni fisici, allora sarebbe possibile avere un valore della velocità della luce c diverso da un sistema di riferimento inerziale a un altro.

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Occorre quindi abbandonare definitivamente le trasformazioni di Galileo, ed estendere il concetto di relatività galileiana aggiungendo un nuovo principio (relatività ristretta) per studiare anche i fenomeni elettromagnetici con una teoria priva di contraddizioni; eccoli:

Non esiste alcun sistema di riferimento inerziale privilegiato; e le leggi fisiche sono le stesse in ogni sistema inerziale (Galileo).
La velocità della luce c è uguale in ogni sistema di riferimento inerziale (Einstein).

La velocità della luce diventa quindi un’invariante del sistema che non dipende dal sistema di riferimento: questa nuova ipotesi porta necessariamente ad una diversa definizione di simultaneità degli eventi sempre salvando il concetto di causalità (poiché se c è costante per ogni sistema di riferimento cambia ciò che osserviamo): ciò che lo è in un sistema non lo è per un altro, un orologio in movimento appare sempre più lento ad un osservatore fermo.

Anche il tempo deve essere rivisto: non è più un concetto assoluto ma dipende dall’osservatore; affinché le trasformazioni galileiane tengano conto di ciò, Einstein introduce un fattore correttivo e una coordinata temporale come quarta dimensione oltre alle tre classiche spaziali.

Le nuove equazioni del moto vengono aggiornate con un fattore correttivo basato sulle trasformazioni di Lorentz (1853 – 1928) che rappresentano un’invariante per le quattro equazioni di Maxwell. Tra le conseguenze meno intuitive (ma assolutamente vere) della relatività ristretta abbiamo la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezza di un oggetto nella direzione del moto per un osservatore fermo, mentre per un osservatore solidale con l’oggetto in movimento la lunghezza non cambia.

Facciamo un altro esempio: una macchina ferma in sosta ad un parcheggio: la macchina sta compiendo l’intero suo moto nel tempo ma è immobile nella dimensione spaziale; quando il proprietario mette in moto e riparte allora una quota del moto complessivo che prima era solo nel tempo viene trasferita nello spazio, quindi la velocità nel tempo rallenta.

Ovviamente possiamo descrivere il moto di una macchina con il solo l’ausilio della fisica classica (quella di Newton e Galileo), perché anche se son sempre presenti, le variazioni di lunghezza e tempo in questo caso sono veramente trascurabili; ma entrano in gioco e non possono essere trascurate quando abbiamo a che fare con velocità prossime a quelle della luce. In definitiva i concetti di spazio e tempo non sono più separabili, ma esiste uno spazio-tempo indivisibile come se fosse un oggetto fatto di unico blocco che viene visto sotto diversi angoli (fette temporali diverse) in funzione dell’osservatore in moto relativo (analogia tratta dal libro “L’Universo elegante di Brian Greene).

Sembrava quasi fatta, ma erano ancora esclusi dal principio di relatività i sistemi non inerziali, ovvero per i sistemi che sono in moto accelerato rispetto a un altro, cosa cambia? E’ possibile estendere il principio di relatività ristretta anche a essi?

Seguiamo il pensiero di Einstein e facciamo un esperimento mentale, o Gedankenexperiment, come era eccezionalmente capace lo scienziato tedesco. Andiamo nello spazio, e consideriamo un’astronave isolata (anche essa senza oblò), in modo tale che un osservatore al suo interno non possa avere punti di riferimento esterni. Se supponiamo che l’astronave si trovi isolata (cioè l’unico corpo presente nel nostro esperimento o comunque talmente lontano da corpi celesti da rendere totalmente trascurabile la forza di gravità), su di essa non agisce alcuna forza e il nostro osservatore (o astronauta) è privo di peso e fluttua liberamente al suo interno; cambiamo ora la situazione e supponiamo per esempio che la stessa astronave (senza oblò) con lo stesso astronauta al suo interno si trovi all’interno di un campo gravitazionale (per esempio quello terrestre) e sia in caduta libera (quindi in accelerazione) verso il corpo celeste responsabile del campo: ebbene lo stesso astronauta continuerebbe a fluttuare al suo interno e non riuscirebbe a notare alcuna differenza perché l’ accelerazione della caduta cancella la forza di gravità.

Per Einstein i due effetti sono equivalenti: l’astronauta non può distinguere se sta subendo gli effetti di caduta libera in un campo gravitazionale oppure sia lontano da campi gravitazionali.

Analogamente lo stesso astronauta non è in grado di distinguere se sta subendo un’accelerazione all’interno dell’astronave oppure è soggetto al campo gravitazionale di un oggetto vicino. Se l’astronauta non vuole sentire la gravità allora deve accelerare, ovvero Einstein mette in relazione l’equivalenza fra la forza di gravità e la forza che l’astronauta subisce in un’accelerazione: sono la stessa cosa. In particolare solo la geometria dello spazio-tempo è il riferimento per capire se abbiamo a che fare con moti accelerati o meno: una traiettoria curva dello spazio-tempo vuol dire che abbiamo a che fare con un moto accelerato, quindi:

Le misure di spazio e di tempo sono influenzate anche dal campo gravitazionale in cui lo sperimentatore è immerso; ovvero dal tipo di geometria dell’Universo in cui lo sperimentatore compie la misura.

Einstein pubblicò la teoria della relatività generale nel 1916, e per raggiungere questo risultato, usò il calcolo tensoriale (un nuovo concetti matematico sviluppato dagli italiani Ricci – Curbastro), per legare il tipo di geometria dello spazio-tempo con la distribuzione di massa energia.

Per Einstein la gravità quindi è una curvatura (ricordiamo quanto detto prima che per Newton la gravità è una forza): la massa della Sole per esempio distorce la geometria dello spaziotempo intorno ad esso e su questa nuova ‘geometria modificata’ la Terra percorre il suo cammino intorno al Sole. Ovvero come si dice: la materia deforma lo spazio-tempo e quest’ultimo dice alla materia come muoversi.

Concetto difficile ma che ad oggi è stato ampiamente verificato ed usato in moltissimi campi: negli acceleratori di particelle, nella meccanica celeste (precessione del perielio dell’orbita di Mercurio) nella medicina nucleare, nei reattori nucleari ed nei satelliti artificiali.

Partendo da Galileo, abbiamo visto come sia nato il concetto di relatività, come sia evoluto con Newton ed infine esteso grazie al lavoro di Einstein. Nessuno da solo ha completato il lavoro, ma sicuramente ha contribuito a una parte mancante del concetto di ‘relatività’ e lo ha esteso in ambito più generale grazie all’introduzione di nuovi concetti matematici, rimanendo all’interno della coerenza con le precedenti teorie che diventavano, a mano a mano, semplificazioni od approssimazioni della nuova teoria che la includeva.

Bibliografia