Per capire perché Lilio introdusse un ciclo di equazioni lunari per correggere le date dei pleniluni occorre fare una piccola digressione sul ciclo di Metone. Sappiamo che una lunazione media dura 29,53058^d; visto che nel ciclo di Metone si considerano mesi di durata intera occorre alternare la durata di questi ultimi in 30 giorni (mesi pieni) e 29 giorni (mesi cavi) così da ottenere in media un periodo di 29,5 giorni.

Dato che 29,5 * 12 = 354 (anno lunare) si ha uno sfasamento di 11 giorni all’anno sul calendario solare. Fissata la data del primo plenilunio pasquale (1 a.C) al 5 Aprile giuliano (perché nota) possiamo calcolare tutti i pleniluni successivi semplicemente togliendo 11 giorni (modulo 30) da un anno al successivo ottenendo 25 Marzo, 13 Aprile, 2 Aprile, ….

Al termine dei 19 anni solari si arriva ad ottenere 7 anni di 30 giorni e 12 anni di 12 mesi. Nel vecchio calendario giuliano queste date erano fisse (ed eterne): una volta noto il numero d’oro, ovvero il numero d’ordine all’interno del ciclo di Metone, si ricavava da una tabella il corrispettivo valore di plenilunio pasquale. Nota anche la lettera domenicale, cioè in quali giorni dell’anno cadono le domeniche era possibile calcolare la prima domenica successiva al plenilunio (tutti i dati sono noti: plenilunio, equinozio e sequenza delle domeniche).

Se assegnamo ad A la il primo giorno dell’anno, B il secondo … fino alla G (7 giorni) si dice lettera domenicale quella assegnata alla domenica. Ogni anno, è assegnato ad una lettera domenicale, ad eccezione dei bisestili che ne hanno due un apre Gennaio-Febbraio ed una per Marzo-Dicembre (ad esempio per il 2012 la lettera domenicale è AG).

Il problema è che per passare fra due successivi cicli diciannovennali bisogna considerare che 11 giorni sono un’approssimazione: in realtà la differenza fra anno lunare ed anno solare è di 10,8829 quindi sottraendo 19 volte 10,8829 si ottiene uno scarto di 2,2249 giorni.

Dato che abbiamo aggiunto per 7 volte 30 giorni  si ottiene uno scarto di 30*7-29,53059*7 = 3,2859 giorni.

Complessivamente bisogna apportare una correzione di 2,2249 – 3,2859 = 1,061 giorni. Occorre quindi diminuire di una unità l’ultimo plenilunio del ciclo successivo. Se si fanno i conti si ottiene come ultimo valore del ciclo il 6 Aprile, quindi sottraendo un giorno si torna il 5 Aprile e il cerchio si “chiude” (si ottiene la periodicità dei pleniluni).

Questa correzione si chiama Saltus Lunae. Lo scarto del Saltus Lunae – 0,0608^d, se si vuole una maggior precisione – rappresenta la quantità che era sempre stata ignorata prima della riforma gregoriana.

 Per correggere lo scarto del Saltus Lunae che comporta un errore nella definizione delle lunazioni di 1 giorno ogni 2500 anni (oppure 4 ogni 1250 anni), Lilio provvide a correggere questo errore secondo un ciclo periodico di equazioni lunari come da tabella seguente:

Viene riportata solo una parte della tabella in quanto è periodica (7 volte un incremento ogni 300 anni ed un incremento una volta dopo 400 anni).

Ora, ad ognuna di tali correzioni, va aggiunto un giorno all’età della Luna, cioè diminuito di un giorno la data del plenilunio. Ovviamente bisogna tener conto anche della grande e piccola equazione solare (vedi precedente articolo); per il computo complessivo si arriva quindi alla seguente tavola delle equazioni dove Lilio applicò per  il solo anno 1582 la somma di tutte le correzioni antecedenti la riforma (850, 1150, 1450).

La tavola mostra le correzioni all’età della Luna da applicare rispetto alle lunazioni ottenute del calendario giuliano (con ciclo di Metone esatto). Si ottengono così dei periodi calendariali in cui sono valide una serie completa di date dei pleniluni (19 ovviamente) che si ripetono ciclicamente prima di passare alla epoca successiva; per esempio nel periodo calendariale 1582 -1699 sono sempre valide (in maniera ciclica) le 19 date dei pleniluni del calendario giuliano ma con la correzione di 8 giorni, nel periodo calendariale 1700 -1899 sono sempre valide (in maniera ciclica) le 19 date dei pleniluni corrette di 9 giorni (sempre rispetto al calendario giuliano)

Per ottenere la lista dei 19 pleniluni basta in realtà basta conoscere l’età della Luna al 31 Dicembre dell’anno precedente; questo valore si chiama epatta lunare (E).

Quindi all’interno dell’epoca calendariale, nota E (e la lettera domenicale) posso sapere quando cade la Pasqua.

Su periodi lunghi bisogna tener presente che i noviluni possono capitare in un giorno qualsiasi dei 30 a disposizione (periodo di 1 lunazione), quindi complessivamente ci sarà una matrice di epatte di dimensione 19 x 30.

Questo rappresenta il cuore della riforma gregoriana: Lilio compilò una tavola di E per un numero spropositato di anni (più di 300000) in una tavola nota come Tabula expansa epactarum come se volesse mostrare l’affidabilità del suo procedimento ed al tempo stesso poter predire i comportamenti del cielo come se fossero scanditi da un perfetto orologio.

Torniamo a Gregorio XIII: una volta approvata la riforma il Papa emanò la bolla papale “Inter Gravissimas”  il 24 Febbraio 1582 affinché tutta la cristianità la recepisse e la applicasse.

Ovviamente (siamo nel periodo della Contro Riforma) la riforma venne recepita in tempi diversi a seconda dei Paesi: in Italia (solo gli stati cattolici), Spagna e Portogallo la riforma venne applicata immediatamente, negli altri Paesi come Inghilterra, Svezia, Germania ciò avvenne molto più tardi.

L’ultimo paese ad aver aderito alla riforma gregoriana è stata la Turchia nel 1926.

Maggiore il ritardo nell’introduzione del nuovo calendario, maggiore è stato anche il numero di giorni che i governi hanno dovuto inserire per riallinearsi ai Paesi che già lo adottavano, così ad esempio l’Inghilterra che aderì il 2 settembre 1752, dovette  togliere non 10, ma bensì 12 giorni e passare direttamente al 14 Settembre 1752 (come il mio computer!!).

Alcune caratteristiche del calendario gregoriano:

• Ha una durata media di 365,2425^d
• E’ più lungo dell’anno tropico di circa 26 secondi (0,0003^d).
• Ha un periodo (ciclo) di 400 anni.
• Ogni ciclo è costituito da 365 · 303 + 366 · 97 = 146097 giorni

Ciò significa che occorrerà metter mano ancora al nostro calendario per riportarlo in fase con il ciclo delle stagioni. In via teorica uno sfasamento di 26 secondi all’anno comporta uno sfasamento di 1 giorno ogni 3323 anni circa, pertanto occorrerà togliere ancora un bisestile ogni 4000 anni (una proposta simile venne avanzata anche da Herschel). Oggi sappiamo che il giorno sta rallentando (la durata del giorno aumenta 0.002^d al secolo per effetti mareali) e l’anno tropico sta diminuendo, quindi il calendario gregoriano accumulerà un ritardo di un giorno ogni 2630 anni (lo sfasamento non è lineare), un altro giorno fra altri 1940 ed un terzo giorno fra ancora 1600 anni.

Del fatto che il calendario gregoriano sarà sottoposto a revisione Clavio e Lilio erano consapevoli, tant’è che come abbiamo già detto la riforma è aperta a modifiche, purché si rispetti il principio di secolarità: all’interno del secolo vige la regola del calendario giuliano (1 bisestile ogni 4) e le modifiche vengano effettuale al cambio di secolo.

Ma per queste ultime modifiche ci penseranno i posteri.