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Spazio e geometria – Parte III

Strutture su larga scala. L’Universo intero è costituito in gran parte da spazio e macro strutture quali ammassi, galassie, … dal punto di vista locale è molto disomogeneo.

Mano a mano che aumentiamo il fattore di scala, la disomogeneità dell’Universo diventa sempre meno evidente, tanto che per dimensioni maggiori di 100-150 Mpc, gli astronomi hanno dimostrato che possiamo considerare con molta buona approssimazione l’Universo omogeneo e assai vuoto: la densità media della materia è meno di un atomo d’idrogeno per m3 e lo spazio rappresenta l’ingrediente principale. Poniamoci ora la stessa domanda: qual è la geometria del nostro Universo? Che proprietà possiede? Sappiamo già dalla Teoria della Relatività che la massa curva lo spazio-tempo, quindi di conseguenza, quando consideriamo sistemi planetari, galassie, super ammassi … anche il nostro universo è localmente curvo, in altre parole non è piatto, ha curvatura positiva ovvero non vale più la geometria euclidea. Possiamo generalizzare questo concetto? La capacità di identificare la geometria dell’Universo (piatta, positiva o negativa) è legata alla quantità di materia totale in esso contenuto.

Torniamo un attimo indietro nel tempo, e precisamente nel 1929, quando a formulò, grazie alle sue osservazioni sulle cefeidi con il telescopio di Monte Wilson, la legge che porta il suo nome. Le ipotesi di base per la validità della legge (empirica) di Hubble sono la presenza di un Universo isotropo ed omogeno:

  • isotropo: significa che il comportamento dell’Universo è uguale in ogni direzione.
  • omogeno: perché non esiste un punto di vista preferenziale dello spazio all’interno del nostro Universo: qualsiasi luogo dell’Universo è staticamente equivalente.

Questi due ipotesi sono alla base di quello che i cosmologi chiamano principio antropico. La legge di Hubble dice che:

V = H0 * D

Dove v è la velocità radiale di recessione, H0 è la costante di Hubble e D è la distanza dell’oggetto dall’osservatore. Dal punto di vista storico, la costante di Hubble, a dispetto del nome, cambia nel tempo (grazie a misure di spettrografia più precise). Il più recente e accurato valore di H0 è 67,15 Km/s/Mps.

Legge di Hubble

Legge di Hubble. Fonte: vialattea.net

La legge sancisce che, considerato qualsiasi punto P dell’Universo, le galassie si allontanano da esso in maniera proporzionale di un fattore H0 simmetricamente in ogni direzione. L’effetto recessivo delle galassie viene misurato con analisi dello spettro; si nota infatti che le linee spettrali delle componenti galattiche sono più spostate verso la lunghezza d’onda del rosso, rispetto al caso in cui le galassie abbiano una posizione relativa statica. Questo effetto viene chiamato red-shift e consiste in almeno due componenti:

  • red shift gravitazionale: dovuto al moto proprio delle galassie influenzate dalla galassie vicine.
  • red shift cosmologico: dovuto alla creazione dello spazio tempo nell’Universo e che trascina con esso le galassie, come la trama di un palloncino che si gonfia separa sempre più due punti qualsiasi sulla superficie dello stesso. E’ la causa dell’espansione dell’Universo.

La componente cosmologica è di gran lunga maggiore di quella gravitazionale, che pertanto, per il nostro obiettivo, possiamo trascurare. Dato che la forza di gravità è attrattiva, e il nostro Universo si sta espandendo, la domanda che ci poniamo è la seguente: la quantità di materia dell’Universo (sia barionica che oscura) è sufficiente ad arrestare l’espansione, oppure è troppo poca?

C’è un trait d’union molto importante fra la quantità di materia (o densità) nell’Universo, e tipo di geometria che è stato rilevato da Friedmann (1888 – 1925) nel 1922 – prima ancora che Hubble scoprisse la sua legge – in cui si lega l’espansione dell’Universo con le equazioni della relatività sotto le ipotesi di validità del principio antropico. Friedmann espose come, in funzione della densità critica, si possa determinare la geometria dell’Universo e quindi la sua curvatura. In particolare, definì il valore limite di densità critica:

ρ0 = 3 H02 / (8 * π *G)

come valore di separazione fra uno Universo chiuso o aperto: il valore ρ0 rappresenta un valore limite. Se ci fosse una quantità di materia insufficiente a contrastare la gravità allora l’espansione sarà inarrestabile e il nostro Universo avrà una curvatura negativa. Contrariamente, se ci fosse abbastanza materia a sovrastare la forza gravitazionale l’espansione si arresterebbe e la gravità avrebbe il sopravvento: questo implica che il nostro Universo avrebbe una curvatura positiva. Esiste anche una terza via, ovvero che nell’Universo è presente una quantità di materia in grado di contro bilanciare esattamente la forza di espansione in modo tale che l’espansione decelererà fino ad arrestarsi (in un tempo infinito).

La faccenda si riduce quindi a calcolare Ω = ρ / ρ0, dove ρ rappresenta la densità di materia totale nell’Universo e vedere in quali dei seguenti tre casi ricadiamo:

  • Ω < 1: l’Universo ha curvatura negativa, quindi in una geometria iperbolica.
  • Ω > 1: l’Universo ha curvatura positiva, quindi in una geometria ellittica.
  • Ω = 1: l’Universo è piatto, quindi in una geometria euclidea.

Allo scopo di determinare il valore di ρ, gli astronomi hanno continuato il loro lavoro di esplorazione percorrendo a ritroso nel tempo la storia dell’Universo. Come in un vecchio nastro che si riavvolge per tornare al capo, così gli astronomi fecero per studiare gli istanti iniziali del Big Bang pensando di trovarsi di fronte ad un Universo in decelerazione. Lo studio della radiazione cosmica di fondo (Cosmic Microwave Background Radiation) è stato di basilare importanza per lo studio della forma dell’Universo. Grazie ad esperimenti con palloni aerostatici (BOOMERANG e MAXIMA) e all’utilizzo di missioni satellitari (COBE, WMAP e Planck) abbiamo un’immagine molto definita dell’eco del Big Bang espressa in termini di una radiazione a microonde (pari ad una temperatura di corpo nero a 2,7 K) che permea tutto lo spazio.

Radiazione cosmica di fondo

Radiazione cosmica di fondo. Fonte: en.wikipedia.org

Il fatto interessante è che tutta la quantità di materia che abbiamo oggi nell’Universo è descritta dalla distribuzione di radiazione raccolta dalle sonde quando l’Universo aveva l’età di circa 380.000 anni. Tramite l’analisi delle fluttuazioni dello spettro della radiazione di fondo, è possibile calcolare con precisione:

  • Grandezza delle macchie e fluttuazioni di temperatura
  • Dimensioni angolari e distribuzione delle anisotropie.
  • Effetti di diffusione della luce (gli effetti di scattering).

Tutti questi elementi consentono di giustificare la distribuzione spaziale di materia (e quindi implicitamente la densità di materia) nell’Universo, cioè la curvatura dell’Universo così come lo vediamo oggi.

La CMBR contiene tutte e sole le informazioni di cui hanno bisogno i cosmologi per lo studio della geometri dell’Universo, in particolare il contributo percentuale di ognuno al valore finale di densità di materia complessiva.

Spettro di potenza della CMBR

Spettro di potenza della CMBR

Gli astrofisici hanno così individuato che l’Universo è costituito da diversi tipi di materia:

  • Materia barionica (quella che si può vedere e toccare, per intenderci): la sua densità ρbar rappresenta circa il 4% della densità totale di materia.
  • Materia oscura: è responsabile dell’esistenza dei grossi ammassi di galassie in termini di coesione gravitazionale. Gli astronomi hanno dedotto che questa rappresenta circa il 30% di tutta la materia (densità ρosc).

Con questi valori di percentuale, manca ancora una frazione notevole di massa per giustificare la quantità totale materia pari a circa 70%. Per trovarla dobbiamo tornare negli anni ’90 quando lo studio di Supernovae Ia rivelò che l’Universo sta accelerando: gli astrofisici hanno messo in relazione la percentuale di densità mancante (ρesp) con la quantità di massa-energia che sta causando l’espansione dell’Universo. Si tratta di una forma di energia non gravitazionale, che gli astronomi suppongono sia legata alla densità di energia del vuoto (ad oggi non abbiamo altre certezze) ed è stata introdotta per permettere alla densità di materia di raggiungere il valore critico che già si registra nello spettro delle fluttuazioni di temperatura della CMBR. In pratica dai risultati delle missioni spaziali ricaviamo il valore di densità critica, sappiamo che l’Universo accelera, che l’accelerazione è causata da una forma di energia (oscura), e mettiamo in relazione questa quantità mancante l’energia oscura in modo che tale quantità raggiunga il valore di ρ rilevato dalle misurazioni. Nessuno sa ancora di cosa sia costituita questa forma di massa-energia oscura, ma gli astrofisici la mettono in relazione con L, ovvero la costante cosmologica che Einstein nel 1917, introdusse nelle equazioni della Relatività generale, per giustificare – secondo la sua interpretazione – un universo statico. Possiamo quindi dire che la densità di materia dell’Universo è la somma di tre termini:

ρ = ρbar + ρosc + ρesp

Queste analisi hanno portato alla conclusione che viviamo in un Universo la cui densità di materia complessiva ρ è molto vicina al valore critico ρo con una percentuale di errore molto piccola, pari al 2%. Ciò vuol dire un valore di Ω molto vicino a 1: incredibilmente questo valore ci porta alla conseguenza più evidente che ad oggi:

Compatibilmente con gli errori di misura, il nostro Universo è piatto o molto vicino alla piattezza, senza bordi ne confini, con un orizzonte dell’Universo visibile pari a 13,7 miliardi di anni luce, all’interno del quale valgono i teoremi e le preposizioni della geometria euclidea, descritta e studiata già 2300 anni fa da un matematico greco.

Bibliografia

  • Amedeo Balbi: La musica del Big Bang – Springer Edizioni
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