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Spazio e geometria – Parte II

Strutture su media scala. Quando parliamo di strutture su media scala aumentiamo le dimensioni del nostro orizzonte visivo: questo ci consente di percepire nuovi dettagli ed una migliore visione d’insieme. Consideriamo quindi l’orbita di un pianeta intorno alla propria stella: Keplero nel XVII secolo definì le leggi che governano i moti dei pianeti e Newton, poco dopo, definì la legge di gravitazione universale. Newton la definì come una forza attrattiva che agisce su tutti i corpi e che, in particolare per il nostro pianeta, lo costringe a orbitare intorno alla propria stella con un’orbita ellittica.

Nel 1915 Albert Einstein formulò la Teoria della Relatività Generale e cambiò il concetto di gravità: la gravità deforma la geometria dello spazio – temporale intorno alla massa ed il pianeta si muove lungo queste deformazioni.Indispensabile per l’elaborazione della teoria fu lo studio del trattato su calcolo differenziale assoluto con coordinate, ovvero sul calcolo tensoriale su una varietà riemanniana, scritto dai matematico italiani Ricci Curbastro (1853 – 1925) e Tullio Levi Civita che fornì un framework in grado di descrivere come spiegare la geometria e la dinamica dei corpi basandosi sul calcolo tensoriale.

Ecco l’equazione di campo della relatività generale:

Equazione di campo della Relatività Generale
Equazione di campo della Relatività Generale

dove G è la costante di gravitazione universale, Rμν è il tensore di curvatura, R la curvatura scalare, Tμν il tensore energia e gμν è il tensore metrico. I tensori sono matrici (4 x 4) in cui sono estese le tre dimensioni spaziali e quella temporale. Rμν descrive la geometria dello spazio-tempo (la metrica) mentre Tμν descrive la distribuzione della massa-energia ed il momento. La formula si può tradurre nella seguente massima di John Wheeler:

La massa dice allo spazio come curvarsi e lo spazio dice alla massa come muoversi.

La forza di gravità è la manifestazione che la nostra geometria è distorta e qualcuno, o qualcosa, si muove in uno spazio curvo. Anche quando lasciamo cadere un oggetto, esso cade verso il basso attratto dalla forza di gravità e segue una traiettoria che è coerente con la deformazione spazio temporale generato dal campo di gravitazione terrestre.

Ma secondo quale criterio la massa si muove nella curvatura spazio-temporale? Facciamo un passo indietro: su una superficie piana (geometria euclidea) la distanza più corta che unisce due punti è una retta. Questa traiettoria si chiama geodetica ed è il percorso che segue un raggio di luce. In uno spazio curvo, come nei dintorni di una stella (o di un buco nero), la luce percorrerà sempre una geodetica, cioè il percorso più breve, ma relativa alla geometria in cui è immersa. Dal nostro punto di vista la luce percorrerà un tratto curvo nei pressi della massa perché lo spazio viene curvato dalla gravità, ma comunque la luce percorrerà il cammino più breve nello spazio-tempo curvo.

L’eclissi solare del 1919 (quella che confermò sperimentalmente la teoria della relatività generale), dimostrò per esempio che i raggi di luce provenienti dalle stelle occultate dal Sole durante l’eclissi subivano una deflessione gravitazionale e pertanto, le stelle vicino al disco solare apparivano in una posizione più esterna rispetto alla loro posizione originale.

In linea teorica anche Gauss che condusse il suo esperimento avrebbe dovuto osservare una geometria non euclidea, ma siccome il triangolo era costruito su brevi distanze (circa 100 Km) la curvatura dello spazio sarebbe stata molto piccola non rilevabile dagli strumenti di misura. Gauss non poteva condurre esperimenti di curvatura sullo spazio fuori dalla Terra, oggi invece si può: basta andare …. nello spazio. Supponiamo di misurare la distanza fra due oggetti, ad esempio la distanza Terra e Marte, mandando per esempio un fascio laser verso destinazione e ritorno. Ebbene, proprio a causa della curvatura dello spazio causato dal passaggio dei fotoni nei pressi di una massa, questi ultimi impiegherebbero un tempo superiore rispetto al caso facessero lo stesso percorso in assenza delle due masse (Terra e Marte). I fotoni comunque continuerebbero a percorre una distanza che, nella loro metrica, ed in uno spazio curvo rappresenta la distanza più breve che unisce sorgente e destinazione. Questo effetto si chiama effetto Shapiro, e prende il nome dall’astronomo Irwin Shapiro (1929) che l’ha scoperto a metà degli anni ’60. Più recentemente, nel 2004, la NASA lanciò il satellite Gravity Probe B allo scopo di misurare la curvatura spazio-temporale causata dalla Terra. Il satellite orbitava ad un’altezza di 650 Km e portava con sé quattro giroscopi a forma perfettamente sferica ed un telescopio di puntamento (per misure di riferimento). Grazie alla misura della variazione della direzione di puntamento dei giroscopi rispetto a dei punti di riferimento stellari fissi, la strumentazione fu in grado di verificare con estrema sensibilità:

  • L’effetto geodetico: di quanto la Terra altera lo spazio tempo in cui è immersa.
  • L’effetto frame – dragging: di quanto la rotazione terrestre trascina e torce il suo spazio tempo intorno a se durante il suo movimento di rotazione.

I risultati della missione erano in accordo con la teoria di Einstein. La geometria che nasce dall’applicazione della Relatività Generale funziona molto bene su strutture come il nostro Sistema Solare, ma se vogliamo generalizzare e capire la struttura della geometria del nostro universo allora dobbiamo introdurre nuovi concetti di cosmologia, ovvero la scienza che studia l’Universo nel suo complesso (continua).

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