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Spazio e geometria – Parte I

Cosa possiamo dire della forma dello spazio intorno a noi? Quali fattori influenzano la geometria dello spazio del nostro Universo?

Il problema I nostri concetti di geometria ‘classica’, ci riportano a quello che ci hanno insegnato a scuola su rette, triangoli, poligoni e si basa su cinque postulati.

Per due punti passa una e una sola retta.

Una linea retta può essere prolungata a piacere.

Dato un punto e una lunghezza R è possibile descrivere un cerchio avente come centro il punto e come raggio R.

Tutti gli angoli retti son tra loro uguali.

Data una retta e un punto esterno a essa passa una ed una sola retta parallela a quella data.

Frammento del secondo libro de “Gli Elementi” – Proposizione 5 – Fonte: • http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/papyrus.html

Questo tipo di geometria si chiama euclidea perché studiata da Euclide (nel III secolo a.C.) è descritta ne ‘Gli Elementi’, uno dei libri più tradotti al mondo, e su basa su questi postulati. Per molto tempo i più noti matematici si sono chiesti se il quinto postulato fosse indipendente dagli altri quattro, oppure fosse superfluo e quindi dimostrabile dagli altri quattro.

Nel XXVIII secolo, Lobacevskij e Bolyai, nella ricerca di una dimostrazione mostrarono che cambiando l’ultimo postulato, potevano nascere geometrie alternative e consistenti ugualmente valide; essi modificarono così il quinto postulato come segue:

Data una retta e un punto esterno ad essa, passano infinite rette parallela a quella data., e posero le basi della geometria iperbolica.

In seguito Riemann nel XIX secolo, costruì una terza geometria modificando invece il V postulato come segue:

Data una retta e un punto esterno ad essa, non esistono rette parallela a quella data e creò gettò le basi della geometria ellittica.

Una conseguenza diretta nella scelta della geometria è la seguente: nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, nella geometria ellittica è maggiore di 180° e nella geometria iperbolica è minore di 180°.

Differenti tipi di geometrie in 2D

La figura precedente mostra un esempio per tre tipi di geometria in uno spazio bidimensionale: ovviamente (la cosa piace molto ai matematici) il problema si può generalizzare in uno spazio N-dimensionale e la superficie corrispondente si chiama varietà di Riemann. Una geometria euclidea in particolare è una varietà piatta, una geometria iperbolica è una varietà a curvatura negativa ed infine una geometria ellittica è una varietà a curvatura positiva.

Capire quindi in che tipo di geometria siamo immersi, ovvero che geometria può descrivere meglio lo spazio in cui viviamo, ha quindi conseguenze dirette su tutto ciò che ci circonda e sui fenomeni che accadono nell’Universo.

Il problema: Lo spazio in cui viviamo, in cui giace il Sistema Solare, la nostra Galassia è piatto o curvo? E il nostro Universo invece? Per affrontare il problema dobbiamo definire tre livelli di analisi in cui ognuno di questi può considerarsi il caso particolare della struttura più grande che lo contiene:

Strutture del nostro Universo su piccola scala.

Strutture del nostro Universo su media scala.

Strutture del nostro Universo su grande scala.

Sappiamo tutti che, nonostante la Terra sia sferica, essa può apparire localmente piatta nell’intorno ad un abitante sulla sua superficie proprio perché le sue dimensioni sono molto maggiori dell’osservatore. Se saliamo di dimensione però (aumentiamo la scala) notiamo invece che la Terra ha una superficie a curvatura positiva.

Esperimento di Gauss sulla curvatura dello spazio

Strutture su piccola scala Friedrich Gauss (1777 – 1855), prolifico matematico tedesco, nel 1830 fu il primo a cercare di capire se, lo spazio in cui viviamo, è affetto da curvatura. Per questo motivo si recò su un monte e fece una misura di triangolazione con altre due sommità molto distanti (circa 100 Km) in linea di visibilità. L’idea di base è la stessa spiegata in precedenza: se siamo immersi in uno spazio euclideo allora la somma degli angoli interni del triangolo che ha per vertici le tre sommità delle montagne è 180°. In linea di principio l’esperimento è logicamente corretto; le sue misurazioni riportarono un valore di 180°; tuttavia non poté dedurre nulla, in quanto le sue misurazioni erano affette da errori dovute sia ad imprecisioni che a strumenti di misura (continua).