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Punti lagrangiani

Sappiamo ormai che il problema dei N corpi non ammette una soluzione; ciò però non vuol dire che non sia possibile trovarne alcune per casi particolari legati alla configurazione geometrica delle masse e a simmetrie spaziali. Consideriamo ad esempio N = 3 corpi, in cui uno dei tre sia massivamente minore rispetto agli altri due (problema ristretto di Hill); si tratta di un caso non isolato che possiede numerose analogie con la realtà, soprattutto all’interno del Sistema Solare. Un esempio di quest’ultimo caso è il sistema Terra – Sole – satellite/sonda, dove i primi due corpi possiedono una massa molto maggiore del terzo.

Lagrange (1736 – 1813), che studiò a fondo il problema riuscì a dimostrare che questo problema ammette come soluzione particolare l’esistenza di alcuni punti di equilibrio (stabili ed instabili) chiamati punti lagrangiani. I punti lagrangiano sono cinque, e si distribuiscono come segue:

  • I punti L1, L2, L3 sono collineari, situati sulla linea che unisce i due corpi più massivi.
  • I punti L4, L5  sono al vertice di un triangolo equilatero, i cui due vertici sono occupati dai due corpi più massivi.
Disposizione dei 5 punti lagrangiani

Disposizione dei 5 punti lagrangiani

I punti L4 ed L5 sono punti di equilibrio stabile, in cui il terzo oggetto condivide l’orbita con uno degli altri due; dal punto di vista geometrico i tre corpi si posizionandosi ai vertici di un triangolo equilatero. Il corpo celeste di massa molto piccola rispetto agli altri due sarà vincolato gravitazionalmente al punto di equilibrio e rivoluzionerà intorno al Sole mantenendo le stesse distanze dagli altri due corpi di massa maggiore.

Le distanze dei punti di equilibrio dai due corpi variano in funzione della massa dei due corpi; nel caso del sistema Terra – Sole il punto L1 è situato a una distanza di 1,5 milioni di Km dalla Terra in direzione della congiungente Terra – Sole; L2 è situato anch’esso alla stessa distanza ma nella direzione opposta verso l’esterno dell’orbita, mentre il punto L3 si trova dalla parte opposta al Sole alla stessa distanza dalla Terra.

Questi tre punti sono sempre instabili; basta una minima perturbazione per dar luogo a un movimento caotico che può portare l’oggetto lontano dal punto di equilibrio.

I punti L4 e L5 seguono e precedono l’orbita della Terra di 60°; nel nostro caso l’equilibrio è stabile; in altre parole il terzo corpo se soggetto a una piccola perturbazione esterna tende a tornarvi spontaneamente.

Le posizioni di equilibrio si ottengono annullando le derivate dell’equazione che rappresenta l’energia totale   del sistema (contributo potenziale e centrifugo); il risultato è la soluzione statica e stazionaria del problema.

Per trovare i punti di stabilità del sistema s’impostano piccole variazioni di posizione (sui tre assi) nell’intorno del punto di equilibrio e si sviluppano le nuove equazioni in serie di Taylor. Infine s’introduce la variazione nel punto di equilibrio (s’impone a zero la derivata) e si risolvono le nuove equazioni: si ricava che la stabilità dei punti L4 ed L5 non è sempre garantita, ma dipende dalla massa dei due corpi.

Nonostante l’instabilità dei punti L1 e L2, essi costituiscono dei punti ideali per porre avamposti spaziali e/o sonde lanciate dalla Terra per l’osservazione del cielo; grazie alla correzione dell’orbita infatti è possibile mantenere l’oggetto nei dintorni del punto di equilibrio con orbite semi periodiche che sono chiamate Halo.

Esempio di orbita Halo intorno L2

Esempio di orbita Halo intorno L2 – Foto credit: NASA/JPL

Il punto L1 in particolare è già occupato dalle seguenti sonde:

  • 1978: ISEE-3 per lo studio del vento solare e dei raggi cosmici.
  • 1995: SOHO, una sonda dedicata allo studio del Sole.
  • 1997: ACE per lo studio di particelle energetiche e del vento solare.
  • 2001: Genesis per lo studio del vento solare

Nell’intorno del punto L2  invece si trovano:

  • 2001: WMAP una sonda per lo studio dell’Universo all’infrarosso.
  • 2008: Herschel, un telescopio per l’osservazione del cielo nel lontano infrarosso.
  • 2008: Planck una sonda per lo studio della radiazione di fondo a microonde.
  • 2012: GAIA che effettua misure di astrometria.

Nel 2018 inoltre verra a trovarsi anche il telescopio James Webb (in sostituzione del telescopio Hubble). Nel Sistema Solare esistono altri esempi in cui sono sfruttati naturalmente i punti lagrangiani: si tratta del sistema Sole – Giove,  e Sole – Saturno e Terra – Luna. Nei punti L4 e L5 di Giove ci sono due famiglie di asteroidi noti come i Greci e Troiani che rivoluzionano assieme a Giove e pertanto presentano lo stesso periodo di rivoluzione (risonanza 1:1); su Saturno invece, i punti L4 ed L5 sono occupati da due suoi satelliti: Telesto e Calipso.

Nel caso del sistema Terra – Luna il punto lagrangiano L2 ebbe il suo periodo di notorietà negli  anni ’60, durante il periodo del programma Apollo; si pensava di sfruttare l’orbita Halo translunare L2 per posizionare un satellite di telecomunicazioni per garantire la continuità di comunicazioni con la Terra durante il passaggio delle navicelle Apollo nella parte invisibile della Luna, ma a causa dei costi il progetto venne abbandonato. Oggi si pensa possa essere sfruttato per creare un avamposto spaziale per la futura missione su Marte.

La seguente tabella mostra i valori di Lper alcuni corpi celesti del Sistema Solare:

M1

M2

Distanza

Sole Mercurio 220.000 Km
Sole Terra 1.500.000 Km
Sole Marte 1.100.000 Km
Sole Giove 54.300.00 Km
Terra Luna 65.000 Km
Giove Io 10.000 Km

Riferimenti

  • Il walzer dei pianeti, Stefania Celletti, Ettore Perozzi. Springer editore
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