Categoria: Meccanica celeste

Cos’è la meccanica celeste

By articolidiastronomia on 16/02/2013 • ( 4 commenti )

La meccanica celeste è la disciplina dell’astronomia che si pone come obiettivo quello di calcolare e predire le traiettorie dei corpi celesti: naturali e artificiali; sebbene la nascita del termine sia dovuta a Laplace (1749 – 1827), le basi sulle quali si fonda sono nate con i lavori di Keplero (1571 – 1630) e in seguito approfondite da Newton (1641 – 1727).

L’impegno di Keplero nello studio dell’orbita di Marte con il tentativo di conciliare gli enormi dati osservativi di Tycho con la formulazione di un modello teorico che spiegasse il moto retrogrado di Marte, portò alla formulazione delle ben note tre leggi di Keplero. Più tardi Newton, studiando il moto di caduta dei gravi e grazie alla recente nascita del calcolo differenziale, introdusse la legge di gravitazione universale; in essa si esprime la forza d’interazione gravitazionale fra due corpi in funzione della loro massa e posti a una certa distanza fra loro, come espresso qui di seguito:

F = - G * \frac{M_{1} * M_{2} }{d^{2}}

dove G è la costante di gravitazione universale (= 6,67 * 10-11 N m²/Kg²), d è la distanza fra i due corpi ed M₁ ed M₂ sono le masse dei due corpi considerati puntiformi.

La legge di Newton è valida in tutto l’Universo e per tutti i corpi sotto le seguenti ipotesi:

Non si tiene conto del movimento di precessione delle orbite, altrimenti la formula deve essere modificata per introdurre gli effetti della Teoria della Relatività.
Quando stiamo lavorando a scale atomiche, occorre introdurre una teoria differente: la meccanica quantistica.

La legge di Newton consente di costruire quindi le equazioni per la determinazione del moto dei corpi celesti: considerando un Universo costituito da due soli corpi (ad esempio la Terra e il Sole) e impostando le condizioni iniziali in termini di posizione e velocità dei due corpi, la soluzione cui si perviene sono le traiettorie dell’orbita dei due corpi celesti. In termini geometrici ciò che si ottiene sono due ellissi: le tre leggi di Keplero non sono altro che una forma approssimata della soluzione analitica esatta. Quando si riesce ad ottenere in forma chiusa la soluzione delle equazioni di un sistema (ovvero con una formula) come in questo caso, allora il sistema si dice integrabile.

M₁ ed M₂ possono rappresentare il Sole e la Terra, i quali ovviamente non sono gli unici corpi presenti nel nostro universo, né tantomeno all’interno del Sistema Solare; se per esempio volessimo trovare le traiettorie delle orbite di ogni singolo pianeta (Mercurio, Venere, Marte, …) , occorre impostare un sistema di equazioni come quella di Newton in cui per ogni pianeta si considera il contributo gravitazionale di tutti gli altri 8 pianeti e risolverle ….

Il problema appena descritto si può generalizzare ed estenderlo per N corpi generici, la cui formulazione completa diventa la seguente:

Dati N corpi liberi di muoversi sotto l’influenza dell’attrazione gravitazionale e le condizioni iniziali di ciascuno (posizione e velocità), impostare e risolvere il sistema di equazioni che rappresentano le equazioni del moto.

Nonostante la semplicità della formulazione del problema, la ricerca di una soluzione al sistema non lo è altrettanto; non è possibile trovare una soluzione generale, cioè non si può trovare le N funzioni in forma esplicita che rappresentano le soluzioni al problema: si dice che il sistema non è integrabile.

Questo perché la descrizione del problema porta alla formulazione di equazioni che non sempre sono separabili; a volte è possibile trovare delle soluzioni per alcuni casi particolari, associati alla configurazione geometrica dei corpi. Nonostante ciò, da almeno XVII secolo molti astronomi e matematici hanno dedicato anni di studi alla ricerca di una soluzione, tra questi Lagrange affrontò un caso particolare del problema nel caso di N = 3 e aveva trovato alcune soluzioni periodiche legate a particolari simmetrie, una delle quali ad esempio vede i tre corpi in equilibrio ai vertici di un triangolo equilatero in rotazione.

Il profondo interesse che sempre più studiosi verso il problema dei N corpi era legato allo studio delle orbite planetarie ed alla stabilità del Sistema Solare: in generale quest’ultimo aspetto ricopre un’importanza fondamentale nella ricerca delle soluzioni del problema dei N corpi. Nonostante infatti il problema sia definito da equazioni semplici e deterministiche, variando anche di poco le condizioni iniziali del sistema, si può ottenere una grande varietà di orbite. L’estrema sensibilità alle condizioni iniziali in un sistema deterministico può portare a soluzioni molto diverse in cui nascono moti irregolari; un piccolo cambiamento modifica in modo considerevole l’evoluzione successiva del sistema e diventa impossibile fare una predizione delle orbite su lungo periodo. Oggi esiste una branca della matematica che studia l’estrema sensibilità di un sistema dinamico alle condizioni iniziali: la teoria del caos.

Alla fine del 1800 il problema della stabilità delle soluzioni coinvolse persino personalità reali, come il re di Svezia Oskar II, mise in palio un premio in denaro, da consegnare in occasione del suo compleanno, per chi fosse riuscito a trovare una soluzione.

Il premio fu attribuito nel 1889 a Henri Poincaré, il quale dedicò tanta energia alla ricerca della soluzione del problema da scrivere un trattato con più di 270 pagine, ma purtroppo non riuscì a trovare una soluzione. Nonostante i suoi sforzi però, le sue analisi furono molto utili per le nuove idee che introdusse nell’affrontare il problema.

Egli riuscì a dimostrare che nel caso di tre corpi:

Si presentavano per forza delle orbite instabili, tali per cui un piccolo cambiamento delle condizioni iniziali portava a un cambiamento notevole dell’orbita.
Potevano esistere soluzioni periodiche in funzione della configurazione geometrica dei corpi.
Non è possibile calcolare con un errore arbitrariamente piccolo una soluzione valida per un tempo arbitrariamente grande e per ogni condizione iniziale.

Esempio sezione di Poincarè con orbita non periodica — Sezione di Poincarè con orbita non periodica

Anche Poincaré fece molti passi avanti nella ricerca di soluzioni perché introdusse uno strumento molto utile nella ricerca di periodicità delle soluzioni senza risolvere le equazioni. Il suo ragionamento è il seguente: per sapere se esiste una soluzione periodica, anziché tentare di risolvere le equazioni ed esaminare il risultato, possiamo analizzare cosa succede in alcuni punti in un grafico chiamato spazio delle fasi delle soluzioni, un grafico che rappresenta in maniera univoca tutti i possibili stati del sistema.

Mappa di Poincarè: x0 è un'orbita periodica — Sezione di Poincarè: x₀ è un’orbita periodica

Egli quindi analizzò i punti dello spazio delle fasi in prossimità di traiettorie periodiche costruendo una sezione: seguendo il percorso di ogni punto bisogna controllare dove la traiettoria interseca di nuovo per la prima volta la sezione creata. Se il punto nello spazio descrive una curva chiusa con lo stesso punto di partenza e arrivo sulla sezione allora il moto dell’oggetto sarà periodico per sempre. Il concetto si può estendere nel caso di dimensioni arbitrarie ed coinvolge anche considerazioni sulla topologia (un’altra branca della matematica).

Il mio Sistema Solare — (Simulatore di un Sistema Solare personalizzato. Vedi bibliografia)

Il nostro Sistema Solare rappresenta un ottimo laboratorio per l’applicazione dei risultati della meccanica celeste, dove si possono trovare differenti configurazioni geometriche che portano a molteplici tipi di orbite: stabili, caotiche, periodiche … Le leggi della meccanica celeste sono universali (ad eccezione dei punti sopra esposti) e il loro utilizzo non si limita ai nostri confini, ma fornisce anche un valido contributo alla ricerca di pianeti al di fuori il nostro Sistema Solare per cercare di capire se esistono altri mondi simili al nostro.

Immagini tratte da:

https://phet.colorado.edu/en/simulations/gravity-and-orbits

4179 Toutatis

By articolidiastronomia on 15/12/2012

L’asteroide 4179 Toutatis (il nome deriva da una divinità celtica) che è recentemente passato alla distanza minima dalla Terra, rientra nella categoria dei NEO (Near Earth Object): una categoria di corpi celesti costituita da asteroidi e nuclei cometari inerti che sono stati catturati e/o deviati dall’attrazione gravitazionale di un pianeta che si è trovato nelle loro vicinanze orbitali. Essi rappresentano i detriti di ciò che è rimasto dalla formazione del nostro Sistema Solare e la maggior parte di essi proviene dalla fascia degli asteroidi, una zona del nostro Sistema Solare compresa fra 2,7 e 3,3 unità astronomiche (U.A.); in questa fascia sono situati almeno 200 000 corpi con diametro variabile da poche decine di metri fino a qualche chilometro.

A causa dell’attrazione gravitazionale dei pianeti di grande massa come Giove con il passare degli anni (anche milioni) le orbite degli asteroidi possono subire variazioni caotiche che li portano all’esterno della fascia degli asteroidi, oppure dirigersi verso l’interno in direzione dei pianeti interni del Sistema, tra i quali, per esempio, la Terra; alcuni di essi possono addirittura intersecare l’orbita terrestre costituendo, nel lungo periodo, un possibile pericolo per il nostro pianeta.

Oggigiorno esistono programmi della NASA che si occupano di monitorare le orbite di questi oggetti, classificarli ed allocarli all’interno di una scala di rischio: Attualmente sono classificati 1356 oggetti NEO potenzialmente pericolosi per la Terra, pertanto questo programma merita molta considerazione. Dal 1999 esiste una scala internazionale per la valutazione del rischio associato all’orbita di un asteroide, si chiama scala Torino dal nome della città nel quale si tenne un convegno importante sui possibili impatti di corpi celesti con il nostro pianeta. La scala ha un range che va da 0 a 10 e viene divisa in tre zone: bianca, arancione e rosso. Per dare un’idea del tipo di classificazione e per farsi un’idea del livello di rischio, viene proposto un estratto dei due livelli estremi e del livello di intermedio:

livello 0 (zona bianca): nessun pericolo, probabilità di collisione uguale a 0 o molto bassa.
livello 5 (zona arancione): incontro ravvicinato che pone serie minacce di devastazione a livello regionale; gli astronomi devono dedicare particolare attenzione all’oggetto per cercare di capire se può esserci o no una collisione.
livello 10 (zona rossa): collisione certa, capacità di creare catastrofi climatiche su scala globale tali da compromettere l’esistenza della nostra civiltà.

Ovviamente un corpo celeste a cui viene associato un certo valore di rischio può essere riclassificato nel futuro (in basso o in alto) se dal calcolo dei nuovi parametri orbitali (che usualmente viene fatto ad ogni passaggio del corpo celeste al perielio) si ottiene una traiettoria più precisa a cui corrisponde un livello di rischio differente.

Toutatis, attualmente posizionato sulla scala di Torino a livello 0, è un NEO di tipo Apollo; gli Apollo sono una categoria di corpi celesti che possiedono un’orbita con un semiasse maggiore maggiore di 1 U.A e perielio inferiore a 1,017 U.A e prendono il nome dall’asteroide Apollo scoperto nel 1862.

Per completare la classificazione diciamo anche che esistono altre 2 famiglie di asteroidi chiamate Amor e Aten le cui caratteristiche per cui si differenziano sono:

Amor: corpi celesti (Near Earth Asteroid) con orbite fra la Terra e Marte.
Aten: corpi celesti (Near Earth Asteroid) con un semiasse più piccolo della Terra.

Torniamo a Toutatis: esso è stato scoperto nel 1934 per poi sparire per un bel po’ di tempo (così come capitò in occasione della scoperta di Ceres), venne poi riscoperto nel 1989 da Pollas. La sua conformazione è molo particolare: possiamo dire che è a forma di arachide con i due rigonfiamenti laterali che hanno un diametro rispettivamente di 4,2 Km e 2,4 Km; una caratteristica ci fa pensare che sia il risultato della fusione di due corpi.

Il suo moto di rotazione è caotico ed è il risultato della somma di due moti (come per Hyperion, un satellite di Saturno) ma possiamo definire un periodo “medio” di rotazione di circa 5,38 giorni. La sua orbita è inclinata di 0,47° rispetto all’eclittica, il che consente, se ci trovassimo sulla sua superficie, di veder i transiti dei pianeti più interni.

Orbita di Toutatis ottenuta con JPL orbit simulator — Orbita di avvicinamento alla Terra di Toutatis ottenuta con JPL orbit simulator

La sua orbita è in risonanza di moto medio 3:1 con Giove e 1:4 con la Terra; ovvero ogni 3 rivoluzioni di Toutatis Giove ne compie una, ed quattro rivoluzioni di Toutatis corrispondono ad una rivoluzione terrestre. Le risonanze sono molto importanti in meccanica celeste e soprattutto molto diffuse nel nostro Sistema Solare; esse rappresentano una sorta di protezione contro le orbite instabili. Per questione di trasferimento energetico e di stabilità nel lungo tempo delle orbite, molto spesso satelliti/pianeti preferiscono trovarsi lungo orbite in risonanza con altri pianeti, oppure in altri casi, evitarle del tutto. Quando un corpo celeste si trova in risonanza n:m vuol dire che il periodo di rivoluzione fra i due corpi sono commensurabili ed esprimibili con un rapporto fra due numeri interi n/m.

Il passaggio di quest’anno non si è trattato dell’incontro più ravvicinato con la Terra; nel 2004 era passato molto più vicino, ovvero ad una distanza di soli 4 distanze lunari (meno di 1,5 milioni di Km). Il telescopio di Arecibo, grazie all’eco di ritorno dei radar puntati sull’asteroide, è riuscito ad ottenere immagini della sua superficie.

Qui sotto sono mostrate due sequenze fotografiche in cui Toutatis è stato ripreso dai telescopi di skylive durante una conferenza online ad esso dedicata la sera del 12 Dicembre; in tale data l’asteroide si trovava nella costellazione dei Pesci, vicino alla stella Alrescha. Successivamente Toutatis si muoverà in direzione della costellazione della Balena per poi transitare nel Toro ed infine si allontanerà da noi in attesa del successivo passaggio.