Astrometria

L’astrometria e’ un metodo diretto molto antico per la ricerca di esopianeti: come dice il nome, questa disciplina si occupa della misura delle stelle in termini di posizione e distanza nel cielo. I primi tentativi fruttuosi di questo metodo furono messi a punto da Friedrich W. Bessel (1784 – 1846); nel 1844 ipotizzò la presenza di una stella compagna di Sirio (Sirio B) e di Procione (Procione B). Basandosi su questi successi altri astronomi utilizzarono questa metodologia per affermare di aver trovato esopianeti intorno ad altre stelle come fece Peter van der Kamp (1901 – 1995) quando disse di aver trovato un esopianeta in orbita intorno alla stella di Barnard (ipotesi in seguito rivelatasi falsa).

In realtà l’impiego di questa metodologia è piuttosto limitato perché si fonda sulla capacità di fornire misure estremamente precise della posizione delle stelle in cielo e molto spesso quest’ultime sono invalidate dal rumore di fondo della misura, che porta a un SNR (Signal to Noise Ratio) molto basso cosicché la misura fatica a distinguersi dal rumore. Come sempre lo spazio ci viene in aiuto; in particolare negli anni ’90 del secolo scorso la missione ESA dal nome Hipparcos (http://sci.esa.int/hipparcos/) ha felicemente portato a termine la misura astrometrica di centinaia di migliaia di stelle in cielo con una precisione di 10^-3 arco secondi. Tornano nel nostro secolo, nel 2013 una seconda missione dal nome GAIA (http://sci.esa.int/gaia/ – sempre dell’ESA), sta lavorando per catalogare la posizione di stelle con magnitudine estremamente bassa.

Per dare un’idea di quanto sia difficile scoprire un esopianeta con misure di astrometria, affrontiamo il problema dal punto di vista fisico e geometrico, introducendo – come al solito – alcune semplificazioni che però non alterano il procedimento di base.

Consideriamo, la coppia stella – esopianeta come un sistema a due corpi, ed ignoriamo tutto il resto (influenza gravitazionale, dovuta alla presenza di altri esopianeti nello stesso sistema planetario, …) e avanziamo alcune considerazioni di base.

Grazie a Keplero sappiamo che le equazioni che determinano il moto di entrambi i corpi sono due ellissi: la prima ellisse descrive l’orbita del pianeta mentre l’altra ellisse descrive l’orbita della stella. Le due orbite sono legate gravitazionalmente fra loro; questo vuol dire che entrambi i corpi orbitano intorno ad un comune centro di massa; così come vediamo dalla seguente animazione:

Esempio di una soluzione al sistema dei due corpi A e B: entrambi ruotano intorno ad un comune centro di massa (Disegno dell’autore)

Dal punto di vista del primo corpo A è come se la presenza dell’altro corpo B provocasse sul primo un ‘dondolio orbitale’ intorno al centro di massa del sistema binario. Questa variazione di posizione è rilevabile (teoricamente) dallo spostamento della stella in cielo: un vero e proprio violento strattone gravitazionale. Ecco perché è così importante avere dei parametri di riferimento molto accurati sulle attuali posizioni stellari in cielo: osservando il dondolio stellare (ovvero l’orbita della stella ospite) è possibile dedurre la presenza di un esopianeta. Di conseguenza:

l’osservatore percepirà il moto oscillatorio periodico della stella ospite come una perturbazione che l’esopianeta induce su di essa.

Tornando al problema dei due corpi, come riportato a questo link http://scienceworld.wolfram.com/physics/Two-BodyProblem.html, sappiamo che la posizione del centro di massa C_m dipende dal rapporto delle masse dei due corpi: maggiore è la massa della stella ospite M_s e proporzionalmente più spostato in direzione della stella (eventualmente anche all’interno di essa) sarà il centro il centro di massa C_m.

Il centro di massa Cm nel sistema dei due corpi. (Disegno dell’autore)

In formule abbiamo:

Come sempre a rappresenta il semiasse maggiore dell’orbita del pianeta ed M_p e’ la massa dell’esopianeta. La distanza b rappresenta il valore del semi asse maggiore dell’orbita della stella ospite.

Come spiegato per la metodologia di direct imaging, la risoluzione angolare è proporzionale al semi asse maggiore dell’orbita della stella (ovvero b in questo caso), e inversamente proporzionale alla distanza di da cui vediamo il sistema stella – esopianeta. Utilizzando la formula per piccoli angoli, si ricava quindi:

Riassumendo: la separazione angolare fra la stella e il pianeta (e quindi il grado di identificazione dell’esopianeta) è tanto maggiore quanto maggiore è la massa del pianeta e quanto più è distante dalla sua stella ospite, oppure, ceteris paribus, minore è la massa della stella e maggiore sarà la separazione angolare.

Applichiamo la formula precedente al Sistema Solare, in particolare ad ogni coppia Sole – pianeta (Sole – Mercurio, Sole – Venere, …) e, per semplicità, consideriamo solo il contributo del singolo pianeta, trascurando gli effetti degli altri 7 pianeti. Ecco la tabella con il calcolo di b:

Pianeta	Semi asse maggiore (UA)	Massa Pianeta ( in Masse terrestri)	Massa Sole (Kg)	*Mp/Msa**
Mercurio	0,3870	0,055	1,989 x 10³⁰	9,61544
Venere	0,7230	0,815	1,989 x 10³⁰	2,64806 x10²
Terra	1,0000	1,000	1,989 x 10³⁰	4,49296 x 10²
Marte	1,5240	0,107	1,989 x 10³⁰	7,35398 x 10¹
Giove	5,2000	318,000	1,989 x 10³⁰	7,42957 x 10⁵
Saturno	9,5400	95,000	1,989 x 10³⁰	4,07197 x 10⁵
Urano	19,1900	14,520	1,989 x 10³⁰	1,25191 x 10⁵
Nettuno	30,1000	17,150	1,989 x 10³⁰	2,31934 x 10⁵

Si nota che Nettuno, che ha una massa poco più grande di Urano, ha un valore di b più elevato di quest’ultimo, dovuto proprio alla maggiore distanza dal Sole. Ovviamente Giove, anche se più vicino di altri, vince facilmente questa classifica, grazie alla sua massa.

In questo ragionamento manca un parametro importante: l’inclinazione dell’orbita del pianeta: finora abbiamo sottinteso che l’angolo dell’osservatore rispetto all’orientazione dell’orbita sia il più favorevole possibile per l’identificazione, in modo che ci consenta di beneficiare di misurare la massima estensione di b, e quindi indirettamente conoscere la vera estensione dell’orbita (ovvero della perturbazione indotta) della stella. In generale, possiamo notare solo la proiezione sul piano perpendicolare a quello di vista (rispetto all’angolo di inclinazione $\alpha$ ), ottenendo così dei valori di $\theta$ inferiori.

Variazione di b in funzione dell’angolo fra piano orbitale e direzione di vista dell’osservatore

Dal disegno abbiamo, infatti, che:

Quanto più’ $\theta$ è piccolo, più difficoltosa risulta l’individuazione del pianeta.

Un’ultima considerazione da fare: anche in questo caso occorrono più survey sulla stessa stella (e pazienza …) prima di confermare la presenza di un esopianeta per diminuire gli errori di stima sui parametri. Inoltre il tempo di osservazione dipende dal periodo P dell’orbita della stella: lavorando infatti sempre nelle migliore ipotesi di osservazione, per trovare b (il semiasse maggiore) occorre che la stella abbia percorsa almeno un periodo. Utilizzando la terza legge di Keplero siamo in grado di calcolarne anche il valore:

Sotto la condizione M_s >> M_p, la formula precedente si semplifica così:

Da cui l’unica incognita è P.

Il sito http://exoplanet.eu/catalog/ riporta un solo esopianeta confermato con questa tecnica di indagine: si tratta di HD 176051 b, un pianeta gioviano scoperto nel 2010 che orbita intorno ad un sistema binario con un periodo P = 1016 (± 40) giorni.

Concludendo, qui sotto si riporta una demo animata che riassume in un video quanto detto sulla tecnica basata sull’astrometria.