Categoria: Astronomi et al

Leggi di conservazione

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In un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative l’energia meccanica totale si conserva

Questa affermazione, conosciuta come principio di conservazione dell’energia1, era già nota ed applicata sin dal XIX secolo per la sua praticità sia in fisica che in altre discipline: la loro giustificazione si basava dall’osservazione empirica della natura, senza però associare una giustificazione fisica né conoscere alcuna ragione fondamentale di validità. Così come oltre all’energia, erano noti anche i seguenti due principi fisici di conservazione:

  • in un sistema isolato la quantità di moto si conserva
  • se il momento risultante delle forze esterne è nullo allora il momento angolare del sistema si conserva

Possiamo riformulare matematicamente il primo principio (conservazione dell’energia) associando l’energia totale E_{T}(\dot{x}, x) di un corpo in movimento per un periodo t \in [a, b] come somma del contributo dato da due fattori: dall’energia cinetica e da quella gravitazionale:

E_{T}(\dot{x}, x) = E_{K}(\dot{x}, x) + E_{P}(x)

Per il principio, la quantità E_{T}(\dot{x}, x) è sempre costante durante il moto. Per risolvere l’equazione precedente si utilizzano le leggi della meccanica classica di Newton: ovvero si esprime il moto del corpo come sono funzioni vettoriali in \mathbb{R}^3 nell’intervallo temporale [a, b] durante i quali avviene il moto. Questo significa scrivere la funzione vettoriale che la traiettoria descrive nello spazio (x, y, z), ovvero la nota equazione della dinamica di Newton:

\vec{F(t)} = m\vec{a(t)}

A questa equazione vettoriale corrispondono tre equazioni scalari dove (x, y, z) sono le coordinate cartesiane ortogonali in un fissato sistema di riferimento: se dalla precedente equazione cambiamo sistema di coordinate (ad esempio coordinate cilindriche o polari) la soluzione, ovvero la traiettoria del corpo, non cambia ma l’approccio analitico diventa più difficoltoso. Si pensi ad esempio allo studio del moto di un pianeta intorno alla propria stella: si può descrivere sia in coordinate cartesiane (x, y) che in coordinate polari (\rho, \theta ). Il secondo sistema di riferimento è sicuramente più pratico e più naturale da utilizzare.

Sarà possibile invece riscrivere le equazioni del moto in un sistema di riferimento indipendente? La risposta è sì, ed è quello che fece nel Settecento Lagrange quando suggerì un nuovo formalismo matematico che produceva gli stessi risultati fisici della meccanica newtoniana, ma basato su un nuovo principio: il principio di minima azione.

Riscriviamo intanto l’equazione dell’energia totale di un corpo come:

\mathcal{L(q, \dot{q}, t)} = T(q, \dot{q}, t) - V(q)

Sia T(q, \dot{q}, t) l’enegia cinetica del sistema e V(q) l’energia potenziale: si definisce lagrangiana la quantità \mathcal{L}(q, \dot{q}, t). Questo nuovo formalismo consente di studiare il sistema fisico quando la formula di Newton possiede un approccio troppo complicato da risolvere, come ad esempio sistemi con vincoli (equazioni del pendolo semplice) o, appunto, le orbite dei pianeti. La lagrangiana quindi semplifica il problema utilizzando un sistema di coordinate generalizzate q. Lavorando sempre in un sistema conservativo, Lagrange infine dimostrò l’equivalenza tra l’equazione di Newton e la lagrangiana.

Definiamo ora funzionale azione lungo t \in [a, b] il seguente integrale:

S = \int_{a}^{b} \mathcal{L}(q, \dot{q}, t) \, dt

Possiamo intuitivamente spiegare il funzionale azione come le somme degli eccessi dell’energia cinetica rispetto a quella potenziale calcolata per un quanto di tempo piccolo lungo tutta la traiettoria percorsa dal corpo.

Il problema di trovare la traiettoria del corpo nell’intervallo t \in [a, b] a partire dall’integrale sopra definito, venne affrontato da Eulero utilizzando una tecnica che ha aperto la strada ad una nuova branca della matematica chiamata calcolo delle variazioni. L’impostazione che egli diede, nota come equazione di Eulero-Lagrange, si basa sulla ricerca degli estremali di S.

Alcune possibili traiettorie da x1 a x2
Fonte: https://www.quantumuniverse.nl/

Per capire il concetto, si immagini l’azione come un valore associato ad ogni possibile traiettoria che un corpo potrebbe fare: ognuna di essa possiede un valore S calcolato come “tante piccole somme degli eccessi”, dall’istante iniziale t = a fino ad all’istante finale t = b. Il moto naturale che un corpo seguirà è quello che rende stazionario il funzionale azione, ovvero risulta un valore minimo o massimo di S. È come se la Natura volesse ridurre o limitare lo sforzo necessario per compiere il suo lavoro: la Natura, in un certo senso, è pigra.2

David Hilbert (1862 – 1943)
Fonte: https://www.famousmathematicians.net/david-hilbert/

Il lavoro di Eulero giustifica matematicamente la relazione fra entità conservate e principi newtoniani, senza però fornirne una giustificazione fisica. Nessuno poteva ancora sapere che agli inizi del XX secolo sarebbe stata sviluppata una teoria più generale che entra in gioco a complicare il problema quando un corpo è sottoposto agli effetti di una grande massa.

Nel novembre 1915 infatti Einstein pubblicò la Teoria della Relatività Generale nell’articolo Feldgleichungen der Gravitation – Preussische Akademie der Wissenschaften: un’estensione della meccanica newtoniana ma con un impianto matematico differente3. Secondo David Hilbert, un matematico contemporaneo al fisico tedesco, era necessario fornirne una dimostrazione matematica dei principi conservativi in questo nuovo contesto.

Prima ancora della pubblicazione, Einstein aveva già discusso nei mesi precedenti dello stesso anno l’argomento con i colleghi universitari, in particolare proprio con Hilbert, il quale riscrisse da zero la teoria di Einstein secondo il formalismo lagrangiano4.

Grazie a questo passaggio, il matematico tedesco aveva cercato di usare lo stesso approccio visto in precedenza per dimostrare la validità del principio di conservazione ma non fu in grado; invitò quindi Einstein a trovare una soluzione.

Albert Einstein: Integrazione approssimata delle equazioni del campo gravitazionale. Fonte: https://edition-open-sources.org/sources/10/4/index.html

Dopo un anno neanche il fisico tedesco riuscì a venirne a capo; quindi Hilbert decise di rivolgersi ad una persona che all’epoca era la sua assistente, la quale avrebbe avuto le competenze per analizzare il problema da una prospettiva diversa. Questa persona era Amalie Emmy Noether.

Nota

  • Uno spazio funzionale \mathcal{F} ([a, b], \mathbb{R}^n) è l’insieme di tutte le funzioni f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n dove [a, b] è un intervallo di \mathbb{R} I suoi elementi sono funzioni.

Bibliografia

  • Rivoluzioni matematiche: il teorema di Noether, Edoardo Provenzi – Le Scienze
  • Enigmi per decifrare il mondo, Cumrun Vafa – Edizioni Dedalo
  1. Un sistema isolato è un sistema che non interagisce in alcun modo con l’ambiente circostante ed una forza conservativa è una funzione che dipende soltanto dalla posizione. ↩︎
  2. Se vi fossero più soluzioni a questo problema, ogni soluzione produrrebbe un estremo (un minimo o un massimo) del funzionale. ↩︎
  3. La gravitazione diventa con Einstein una proprieta’ della geometria dell’Universo ↩︎
  4. Hilbert riscrisse la Teoria della Relatività nell’estate del 1915 ma non la pubblicò per rispettare il lavoro di Einstein; quindi decise di pubblicare il suo lavoro l’anno seguente. ↩︎

Giovanni Keplero

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Giovanni Keplero nacque nel villaggio di Leonberg vicino a Weil der Stadt (Stoccarda) il 27 Dicembre 1571. La sua vita fu segnata dalla miseria e dagli avvenimenti relativi alla Guerra dei Trent’Anni. A soli tre anni fu colpito dal vaiolo che gli causò danni permanenti alla vista; anche la sua situazione familiare non fu delle migliori: sua zia fu condannata al rogo per stregoneria e suo padre, soldato mercenario, scomparve quando il piccolo Johannes aveva solo 5 anni. Anche sua madre Katharina Guldenmann, dal brutto carattere e con un enorme interesse per le erbe e per la preparazione di pozioni curative, fu accusata nel 1615 di stregoneria da Ursula Reinbold, una prostituta che, per coprire un aborto illegale, dichiarò di essere stata avvelenata da un suo miscuglio di erbe. Fu scarcerata il 13 aprile 1621, a settantacinque anni, grazie all’aiuto del figlio.

Nel 1588 studiò teologia, filosofia e matematica nel monastero di Tubinga dove nel 1591 acquisì il titolo di “magister”; nel 1594 abbandonò gli studi per andare ad insegnare matematica a Graz. Determinanti per la sua formazione culturale furono il suo maestro di matematica Michael Maestlin, con cui mantenne contatti anche dopo la scuola, e le nuove idee copernicane che iniziavano a diffondersi all’epoca negli ambienti accademici.

Nel 1597 pubblicò il “Mysterium Cosmographicum”, un’opera con la quale fornì una prima rappresentazione cosmologica del Sistema Solare: al centro del modello vi era il Sole, poi via via tutti gli altri pianeti fino a Saturno. Il suo modello cosmologico poteva sembrare un’idea un po’ stravagante ma stabilì una relazione matematica fra le distanze dei pianeti e il loro periodo di rivoluzione che, nel 1618, lo avrebbe portato a formulare la sua terza legge.

(Fonte Massimo Mogi Vicentini)

Keplero ebbe difficoltà con le autorità religiose locali a causa della sua fede luterana e nel 1600 si trasferì a Praga dove divenne assistente di Tycho Brahe (a cui in seguito successe in qualità di matematico imperiale di Rodolfo II). Brahe gli assegnò il compito di studiare l’orbita di Marte che, nonostante la quantità di osservazioni planetarie accumulate, non sembrava adattarsi a nessuna delle teorie formulate fino ad allora.

Marte era considerato un pianeta dall’orbita imprevedibile, in quanto il suo moto sembrava a volte retrocedere con irregolarità, formando un cappio nel cielo. (Ciò si spiega se si considera anche il movimento della Terra intorno al Sole). Keplero ipotizzò che i piani dell’orbita di tutti i pianeti intersecassero il Sole vero (cioè la vera distanza del Sole rispetto alla Terra) verificando poi, tramite dei calcoli, la correttezza della sua ipotesi; quindi eliminò l’equante, ovvero il punto situato sulla linea degli apsidi dal quale il moto era visto come uniforme, ed introdusse il concetto di eccentricità dell’orbita per tutti i pianeti. Grazie al principio usato anche da Archimede per il calcolo dell’area del cerchio (pubblicato nel “De sphaera et cilindro”) rimosse l’ipotesi relativa alla velocità uniforme e verificò che il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro di ogni pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.

La seconda legge di Keplero

Questa teoria è nota come la seconda legge di Keplero anche se in realtà fu scoperta per prima. La prima legge venne formulata 3 anni dopo e afferma che le orbite planetarie sono ellittiche e che il Sole occupa uno dei fuochi. Queste sue considerazioni vennero raggruppate in un’opera voluminosa dal titolo “Astronomia Nova” e pubblicate nel 1609.

Nel 1611 morì la sua prima moglie (Barbara Muller) e l’imperatore Rodolfo II (il suo precettore) dovette abdicare in favore del fratello Mattia, che non si mostrò altrettanto tollerante nei confronti dei protestanti. Negli anni compresi fra il 1603 ed il 1610 Keplero si occupò anche di ottica: in particolare scrisse l”Optica” dove analizzò i fenomeni legati alla propagazione della luce, e la “Dioptrice” in cui vennero discussi piccoli sistemi ottici e di come si possa ingrandire o rimpicciolire un’immagine con un opportuno sistema di lenti. Lo scopo principale di queste pubblicazioni era però quello di studiare dei metodi che gli consentissero di eliminare gli eventuali errori di misura durante la raccolta delle osservazioni.

Nel 1619 Keplero pubblicò l”Harmonice mundi libri V”, in cui, grazie anche all’enorme mole di dati osservativi a cui aveva accesso, venne enunciata la terza legge. Con quest’opera Keplero volle mettere in relazione il concetto di armonia musicale con l’astronomia, una disciplina oggetto di studi nelle Università dell’epoca unitamente alle nozioni di ingegneria, fisica ed acustica. In seguito il termine “armonia” si estese fino ad intendere una struttura formale ideale che trovava nella musica uno strumento di indagine e di verifica: tale modello serviva a descrivere non solo i suoni ma anche l’intero Universo. L’importanza dello studio di questa materia fu sottolineata non solo da Keplero, ma anche da altri personaggi del calibro di Galileo, Cartesio e Newton.

Tra le altre opere pubblicate da Keplero si ricordano anche le “Tavole Rudolfine”: un almanacco contenente le effemeridi di circa un migliaio di stelle basate sul modello copernicano ed il “De Stella Nova”. Quest’ultima opera venne scritta in occasione dell’esplosione di una Supernova (SN1604 – Nova di Keplero) che si verificò in cielo nell’autunno del 1604 nella costellazione del Serpentario.

Modello del sistema solare dal Mysterium Cosmographicum (1596). Keplero riprende la struttura copernicana: il Sole al centro e sei pianeti che gli girano attorno con orbite circolari.

Il lavoro svolto dall’astronomo tedesco alla fine si dimostrò un trattato di cosmologia con una serie di riflessioni sulla possibilità che il nostro Universo fosse finito od infinito, eterno od immutabile. Venne stampato nel 1606 con un linguaggio diretto al “grande pubblico” e tra le sue principali preoccupazioni ci fu quella di contrastare l’astrologia. Nel 1627 si spostò a Francoforte, a Ulm, a Linz ed infine nel 1628 a Sagan dove lavorò per il duca Friedland Albrecht von Wallenstein. Qui rimase, isolato da tutti, viaggiando in cerca di materiale per realizzare un suo progetto: costruire una stamperia. Morì il 15 Novembre 1630 a Ratisbona; la sua tomba venne distrutta nel corso della Guerra dei Trent’Anni e nulla è rimasto al giorno d’oggi.

Dopo la sua morte uscì “Somnium” (1634): un’opera al quale Keplero si dedicò sin dai tempi della sua Tesi di Laurea in cui raccontò un ipotetico viaggio sulla Luna come pretesto per divulgare le idee copernicane.

Bibliografia

Giordano Bruno

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Giordano Bruno nacque nel 1548 a Nola nel Regno di Napoli e venne battezzato con il nome di Filippo in onore all’erede al trono di Spagna Filippo II; nel 1565 entrò nel convento dei domenicani di S. Domenico Maggiore in Napoli e, come da regola monastica, rinunciò al suo nome per prendere il nome di Giordano in onore del frate Giordano Crispo, suo insegnante di metafisica.

Fece un solo anno di noviziato fino al 16 giugno 1566 solo per dedicarsi ai suoi studi prediletti quali la filosofia, con la sicurezza e la protezione che gli garantiva l’ordine, quindi nel 1575 conseguì il titolo di Dottore in Teologia con una tesi su Tommaso D’Aquino.

Fin dalla Laurea si distinse per la sua libertà di spirito; venne richiamato più volte per aver staccato dalla sua cella i ritratti dei santi e sorpreso a leggere i libri di Erasmo (1466 – 1536) messi all’indice. Nel 1576, ormai insofferente alle discipline ecclesiastiche e dopo una denuncia da un domenicano, lasciò l’abito monastico per iniziare il suo peregrinare in molte città in Europa.

Iniziò a condurre una vita sempre in fuga; in quindici anni durante i suoi esili aderì a tutte le forme allora correnti di cristianesimo (cattoliche o riformate) per essere poi scomunicato. Inizialmente accolto con rispetto le corti ammirarono la sua cultura, la sua eloquenza e la sua padronanza dell’arte della memoria (mnemotecnica); tale capacità era tenuta molta in considerazione in un’epoca in cui la stampa iniziava a muovere i primi passi ma in nessun posto riesce a trovare un riparo duraturo; le sue dottrine urtano senza tregua le credenze dei suoi ospiti, di qualsiasi fede siano.

Tra il 1576 ed il 1584 fece tappa in diverse città fra cui Venezia, Brescia, Ginevra e Tolosa, ma qui la guerra fra cattolici ed Ugonotti lo convinsero di andarsene. Nel 1581 venne accolto da Enrico III (re di Francia) che gli concesse una cattedra al Collegio reale di filosofia ed astronomia. Gli venne impedito di esercitare alla Sorbona in quanto le regole di quel tempo imponevano a tutti di assistere alle funzioni religiose ma durante le sue lezioni incontrò sempre una feroce opposizione da parte degli aristotelici.

Nel 1584 infine si trasferì in Inghilterra presso la corte di Elisabetta I dove diede lezioni ad Oxford e ebbe modo di pubblicare i suoi più importanti lavori, ma è inviso agli aristotelici: la teoria copernicana non è affatto gradita.

Decise di tornare in Francia nel 1585 ma Enrico II lo mette al bando, quindi si trasferiscì in Germania (Wittemberg) l’anno successivo. Alla fiera del libro a Francoforte conobbe Giambattista Ciotti e Brittano che lo convinsero a ritornare in Italia, e precisamente a Venezia presso la casa di Giovanni Mocenigo. Egli era un ricco veneziano che desiderava imparare la geometria e l’arte della memoria, ma il 23 maggio 1592 venne denunciato all’Inquisizione con il pretesto che Giordano Bruno non gli avrebbe trasmesso tutte le sue tecniche.

Venne quindi rinchiuso a San Domenico.

In quel periodo il “Tribunale dell’Inquisizione” aveva lo scopo di estirpare l’eresia con ogni mezzo e portare l’eretico al pentimento ed all’abiura. L’attività veniva svolta da appositi tribunali ecclesiastici nati per iniziativa della Chiesa Cattolica con l’incarico di garantire l’unità della fede. Il processo a Giordano Bruno durò otto anni e dalle minute delle interrogazioni è stato permesso agli storici di ricostruire il suo pensiero. Oltre ai suoi pensieri circa la magia che ebbero un peso trascurabile nella sua condanna, l’approfondimento degli interrogatori vertevano nella sua concezione dell’Universo e tale pensiero lo condusse al patibolo.

Il pensiero aristotelico si basava sul fatto che la Terra fosse immobile al centro dell’Universo circondata dai pianeti allora conosciuti e da una sfera di stelle fisse immobili. Il cosmo era considerato un mondo puro ove nulla può cambiare e la Terra impura e gli unici moti possibili dei corpi sarebbero stati il moto uniforme ed il moto circolare. L’epoca in cui visse Giordano Bruno indirizzò l’astronomia e il pensiero scientifico verso un nuovo orientamento in un’epoca in cui le prime osservazioni (Copernico, Galileo e Newton) iniziarono ad imporre una revisione.

La Chiesa assunse come Dogma gli insegnamenti di Aristotele, ma Bruno che aveva uno spirito scientifico e contrappose un sistema (Universo) coerente diverso da quello di Aristotele. Egli si documentò leggendo due autori che erano passati (quasi) inosservati ma che portavano una critica alla fisica aristotelica: Nicola Cusano (1401 – 1464) e Nicolò Copernico (1473 – 1543).

Bassorilievo raffigurante Nicola Cusano - Bressanone (BZ)
Bassorilievo raffigurante Nicola Cusano – Bressanone (BZ)

Nicola Cusano fu il primo a mettere in discussione la concezione aristotelica del mondo: secondo lui l’Universo non era ne finito ma neanche infinito ma soltanto senza termine; cioè non è possibile conoscerne i limiti. Ne conseguiva che la Terra non era più al centro dell’Universo dato che non era più  possibile trovare centri fisici in un “oggetto” che non ha termine.

Immagine del profondo cielo ripreso da HST

Il suo ragionamento però non era basato su nessun concetto scientifico, al contrario di Nicolò Copernico (canonico polacco) che considerava un Universo di dimensione finita in cui al centro di esso ci fosse il Sole ed una sfera immobile di stelle fisse ai confini di esso.

Sulla base di queste considerazioni Bruno interpretò il sistema copernicano: non esisteva più la sfera immobile di stelle fisse di Copernico, le stelle erano viste come tanti soli pari ad un numero infinito da cui dipendono infiniti astri distribuiti in un Universo infinito. Secondo Bruno tutto è movimento nell’Universo, tutto è animato e la Terra è un pianeta come gli altri. Bruno proclamò l’identica natura del Sole e delle altre stelle sostenendo anche che la vita intelligente sia distribuita un poco dappertutto. L’Universo infinito è composto da tanti mondi chiusi separati da vuoti ed incomunicabili fra loro.

Durante il processo Bruno rifiutò l’accusa di eresia in quanto non predicava ma cercava solo la verità sul principio primo dell’Universo; la Chiesa invece dal canto suo ribatteva ipotizzando che se ci fossero stati molti tipi di umani e se l’Universo non fosse stato finito allora Adamo non sarebbe stato più il padre comune dell’Umanità.

Secondo Bruno invece, Dio andava cercato in tutte le cose e nella materia che costituisce l’Universo. Oggigiorno non è facile determinare se le teorie di Giordano abbiano avuto influenza sui moderni astronomi, ma resta il fatto che dopo di lui la teoria di Copernico è stata portata a conoscenza di un vasto pubblico e quindi vietata; Bruno quindi ha svolto un ruolo di rilevanza nella storia dell’evoluzione del processo scientifico.

Durante il processo Bruno negò quanto potè su alcuni punti della sua dottrina confidando che gli inquisitori conoscano ciò che ha fatto; egli giustificava le differenze fra le sue concezioni con il Dogma con il fatto che un filosofo, ragionando con il “lume naturale” poteva giungere a conclusioni discordanti dalla fede senza per questo essere considerato un eretico.

Il 17 Febbraio venne condannato al rogo in Campo dè Fiori  in Roma.

Bruno scrisse numerose opere sia in italiano che in latino, fra le quali ricordiamo alcuni Trattati sulla memoria (Clavis Magna). Le opere filosofiche più importanti, nelle quali difende la filosofia di Copernico vennero pubblicate a Londra: “La cena delle ceneri” (1584), “De la causa, principio et uno” (1584), “De l’infinito universo et mondi” (1584) ed una commedia dal titolo “Il Candelaio” (1582).

Bibliografia