Categoria: Astronautica

Traiettoria di ritorno libero – Parte III

By articolidiastronomia on 12/09/2021 • ( 1 commento )

L’analisi di una traiettoria FRT è un esempio di applicazione del problema degli n corpi, che non ammette soluzioni in forma chiusa, ma si può modellare implementando tecniche di integrazione numerica.

Nel nostro caso possiamo identificare tre diversi metodi risolutivi:

Analisi per approssimazione conica (PCA)
Analisi del problema dei tre corpi ristretto (R3B)
Analisi del problema dei tre corpi ristretto su orbite circolari (RC3B)

Il primo è il modo più semplice ma anche più approssimativo: si ipotizza che la capsula si muova sotto l’influenza gravitazionale di un corpo a seconda della sfera di influenza ed è usato per avere un’idea iniziale della traiettoria che compirà la sonda. Le altre due soluzioni si basano sul problema ristretto dei 3 corpi. L’ipotesi di fondo è che la massa della capsula è molto minore della massa degli altri 2 corpi (Terra e Luna) e quindi sarà soggetta all’accelerazione di entrambi i corpi a seconda della loro distanza: la traiettoria è più precisa del metodo PCA.

Analisi PCA: questo metodo considera solo gli effetti del corpo gravitazionalmente dominante in cui si trova in quel momento la traiettoria della capsula. Il corpo dominante è definito dalla sfera di influenza R_SOI (rispetto al Sole) secondo la relazione:

Dove R è la distanza Terra – Sole, M_x è all’occorrenza la massa della Terra o della Luna, M_S è la massa del Sole ed R è la distanza Terra – Sole.

*Pianeta*	*SOI*
Terra	9,24643 * 10⁵ Km
Luna	0,66168 * 10⁵ Km

Valori di R_SOI per la Terra e la Luna. Notare come il valore della SOI della Terra è circa un’ordine di grandezza maggiore rispetto alla SOI lunare

Dato che la R_SOI terrestre include la R_SOI lunare, questo approccio esclude a priori l’influenza terrestre quando l’Apollo si trova all’interno della sfera gravitazionale lunare.

Per questo motivo l’analisi PCA è impiegata quando ancora si sta affrontando la fase di pianificazione iniziale del viaggio.

Il procedimento prevede di studiare separatamente il tratto del percorso dell’Apollo in regime della dinamica dei due corpi (uno alla volta) all’interno della propria SOI.

La traiettoria PCA si sviluppa in tre fasi:

traiettoria geocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale terrestre
traiettoria selenocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale lunare
la traiettoria finale è composta dall’unione delle due traiettorie

Grazie alla TLI, nella traiettoria geocentrica il CSM percorre un’orbita ellittica fino a trovarsi a distanza r₁ dalla Terra con una velocità $\overrightarrow{v_{1}}$ (dell’ordine di qualche centinaio m/s) cioè al raggiungimento della SOI nel punto S intersezione con la sfera r₂=R_SOI.

Fonte: *SEEDS – Astrodynamics, Guido Colasurdo e Giulio Avanzini – Politecnico di Torino*

Il punto S marca il passaggio nella seconda fase: la traiettoria selenocentrica: consideriamo ora come sistema di riferimento il piano selenocentrico non rotante e osserviamo cosa succede fino all’uscita dalla SOI al punto T.

Dal punto di vista di un osservatore solidale con la Luna essa si muove lungo la traiettoria intorno alla Terra con velocità $\overrightarrow{v_{m}}$ e vede arrivare l’Apollo con velocità $\overrightarrow{v_{2}} = (\overrightarrow{v_{1}} - \overrightarrow{v_{m}})$ composizione vettoriale delle due velocità. La velocità risultante d’ingresso $\overrightarrow{v_{2}}$ deve essere pianificata in fase di progetto tale da raggiungere la SOI con una velocità maggiore della velocità di fuga lunare al confine della SOI, in tal caso l’Apollo arriva intorno alla Luna con un’orbita iperbolica (con fuoco nella Luna).

A mano a mano che ci avvicina al pericinzio, la velocità $\overrightarrow{v_{2}}$ fino a $\overrightarrow{v_{max}}$ quindi si allontana e raggiunge il confine della SOI con velocità di uscita $| \overrightarrow{v_{4}}| = |\overrightarrow{v_{2}}|$ ma direzione differente, ovvero lascia la SOI con velocità geocentrica $\overrightarrow{v_{5}} = (\overrightarrow{v_{4}} + \overrightarrow{v_{m}})$ in direzione della Terra.

Esempio di traiettoria per la Luna ove sono evidenziati nel ramo di andata la combinazione della traiettoria geocentrica e selenocentrica.

Fonte: *Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer*

L’Apollo effettua un fly-by lunare: il cambiamento della direzione del vettore velocità dipende da quanto siamo vicini alla Luna: se il fly-by viene effettuato più distante, allora il cambiamento di direzione sarà minore, se il fly-by viene effettuato più vicino al perilunio r₃ più stretta sarà il cambiamento di direzione del moto, e quindi un vantaggio in prospettiva di un allunaggio.

In ogni caso sono possibili due casi estremi:

r₃ < 1738 Km (raggio lunare) la sonda si schianta sulla Luna.
r₃ > 1738 Km (raggio lunare) l’Apollo può entrare in orbita lunare (Lunar Orbit Insertion, LOI) o effettuare un fly-by.

Verso la Terra⁵. Una volta abbandonata la SOI, l’Apollo si inserisce nel ramo di ritorno della FRT: quest’ultimo è ancora un arco di ellisse. Per compensare gli errori sempre presenti, alcune correzioni di rotta lungo la traiettoria distribuiti fra ramo di andata e ritorno sono possibili, anche se non necessarie. Le correzioni orbitali sono necessarie per includere:

errori di approssimazione
per accelerare il rientro del CSM (come nel caso dell’Apollo 13)
per sincronizzarsi con il punto esatto di rientro a Terra della capsula (la Terra ruota su sé stessa mentre la sonda è in navigazione e la procedura di rientro in atmosfera deve avvenire all’interno di un corridoio preciso).

(continua)

Nota

⁵Nel presente articolo non viene considera alcuna manovra orbitale di inserimento lunare (LOI) o reinserimento in traiettoria terrestre (TEI) dopo il docking fra LM e CSM. Si considera solo la traiettoria in caduta libera in maniera simile a quanto successo con la missione Apollo 13 (a parte le correzioni di rotta per l’immissione in FRT sul ramo di andata e la correzione di rotta sul ramo di ritorno per velocizzarne il rientro).

Bibliografia

Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Traiettoria di ritorno libero – Parte II

By articolidiastronomia on 31/08/2021 • ( 2 commenti )

La TLI trasforma l’orbita circolare in un’orbita ellittica con un apogeo compreso fra 300000 e 500000 Km, ben oltre la massima distanza Terra – Luna. Dato che la procedura è particolarmente sensibile alle condizioni iniziali, l’esatto istante intorno alla LEO in cui riaccendere il motore J2 così come la quantità di tempo per cui deve essere acceso viene calcolato ed aggiornato con grande attenzione dagli ingegneri di Terra del FIDO⁴ con l’aiuto di grandi calcolatori IBM/360.

I risultati vengono quindi comunicati all’equipaggio via radio per completare un documento riassuntivo contenente tutte le informazioni necessarie per l’esecuzione della fase (Pre Advisory Data, PAD) compresi due eventuali manovre di rientro di emergenza (TLI + 1, TLI + 4) in caso annullamento della TLI. Si consideri la geometria associata alla figura seguente, ove in questo sistema di riferimento la Terra è ferma, mentre la Luna orbita intorno ad essa con una velocità di circa 1 Km/s.

Sia P_AL il punto situato nell’emisfero opposto rispetto alla congiungente Terra – Luna nel momento in cui quest’ultima si troverà quando verrà raggiunta dall’Apollo. Per effettuare il trasferimento orbitale efficiente il motore deve essere acceso in P_AL chiamato punto antipodale lunare e produrre un aumento di velocità (∆V) tale da consentire alla navicella di lasciare l’orbita di parcheggio.

Dato che l’analisi teorica delle FRT prevedono un tempo di viaggio variabile da 69 a 72 ore per raggiungere la Luna, la TLI deve avvenire considerando la posizione della Luna circa 3 * 13,5° = 40,5° più avanti (verso est) lungo la sua traiettoria (segmento O_TO_L²). Poiché:

Occorre compensare gli effetti della gravità lunare che perturba l’orbita ellittica del CSM che agisce “muovendo” ‘intera orbita
Nessun motore è in grado di fornire una spinta nominale istantanea, l’accensione del motore avviene in modo continuo per un intervallo breve e limitato

Al punto antipodale P_AL si sostituisce con l’arco SE durante il quale il motore rimane acceso. Durante questo periodo di tempo viene fornita un’accelerazione aggiuntiva che provoca un aumento di velocità non tangenziale all’orbita. In pratica l’accensione inizia circa 4° prima del punto PA (punto S), l’Apollo continua per un arco di 25° che lo porta ad un incremento di altezza segnato dal segmento DE.

Il motore finalmente si spegne e l’Apollo si inserisce in un’orbita fortemente ellittica (e ∼0,97) in modo tale da portarla nei pressi della Luna in circa 69 ore di viaggio. La durata della TLI varia da missione a missione, ma in media dura ∼6 minuti e fornisce un ∆v di ∼3 Km/s. La velocità dell’Apollo raggiunge un valore compreso fra 10,4 Km/s e 10,8 Km/s rispetto alla Terra (comunque inferiore alla velocità di fuga), mentre gli astronauti subiscono un’accelerazione da 0,4 g a 1,4 g.

Ecco la tabella NASA delle TLI per le varie missioni Apollo:

Durante il viaggio la capsula Apollo in generale risente dell’influenza gravitazionale di entrambi i corpi, tuttavia finché non intercetta la sfera di influenza gravitazionale lunare (Sphere of Influence, SOI), ovvero la regione di spazio all’interno della quale l’attrazione del nostro satellite è dominante rispetto a quella terrestre, gli effetti gravitazionali del nostro pianeta saranno quelli predominanti, quindi l’Apollo proseguirà il suo viaggio lungo il braccio di andata della nuova orbita ellittica risultato della TLI. Dato che la Luna non è ferma nello spazio, è fondamentale la tempistica, altrimenti l’Apollo non incontrerà mai la Luna.

La Terra fotografata dall’Apollo 8 durante la TLI
Fonte: https://www.nasa.gov/feature/50-years-ago-apollo-8-you-are-go-for-tli

Intorno alla Luna Il viaggio dell’Apollo prosegue finché non intercetta la SOI lunare. All’interno di questa regione la traiettoria è progettata in modo tale da anticipare il suo arrivo con una traiettoria retrograda (ovvero passando davanti alla Luna) per poi circumnavigare il lato nascosto. Per capire il motivo di tale scelta immaginiamo di vedere il percorso dall’alto del piano orbitale (da Nord): entrambi i corpi orbitano in senso antiorario da Ovest verso Est. Se la traiettoria transitasse dietro la Luna lungo la stessa direzione del moto lunare la quantità di momento angolare acquisito sarebbe più elevato rispetto al caso in cui l’Apollo transitasse davanti ad essa (in opposizione alla direzione del moto lunare). In quest’ultimo caso, infatti, il momento angolare sottratto alla Luna è maggiore.

Transitare lungo la stessa direzione con cui si muove la Luna comporta un aumento il momento angolare dell’Apollo tale da portarlo in un’orbita più larga e una durata della missione maggiore; al contrario, passando invece davanti alla Luna, l’Apollo subisce l’effetto opposto che funziona come un freno gravitazionale (sottrae maggior momento angolare alla Luna) ed entra nella SOI con un minore velocità, con i seguenti vantaggi:

un consumo di carburante inferiore.
La possibilità di raggiungere un perigeo lunare più basso, quindi facilitare la LOI (Lunar Orbit Insertion) in previsione dell’allunaggio

Fonte: http://www.collectspace.com/ubb/Forum29/HTML/001492.html

Queste considerazioni fa in modo che la traiettoria di ritorno libero assume la caratteristica forma ad 8 (a simmetria speculare nel braccio di ritorno) con un tempo di percorrenza complessivo di circa 7,5 giorni: un intervallo di tempo compatibile con i requisiti di missione imposti dalla NASA. In fase di progettazione della traiettoria i tecnici della NASA hanno dovuto tener in conto di tutti i fenomeni fisici del sistema, e questo rende il fenomeno molto più complesso da trattare.

Per non complicare eccessivamente la spiegazione, supponiamo valgano le seguenti ipotesi semplificative:

Non si considerano gli effetti relativistici
Non si considerano gli effetti della pressione di radiazione solare
Il Sistema Solare giace su un piano
Si escludono perturbazioni solari mensili e annuali fuori dal piano orbitale
Non si considerano le perturbazioni dei giganti gassosi (Giove)
Non si considera la precessione dei nodi lunari
Non si considerano le differenze di distribuzione di massa della Terra (variazione di gravità) e della Luna (mascon lunari)

(continua)

Bibliografia

Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Note

⁴Flight Dynamics Officier: è responsabile delle traiettorie di volo della capsula.

Traiettoria di ritorno libero – Parte I

By articolidiastronomia on 19/08/2021 • ( 6 commenti )

Un aspetto fondamentale delle missioni Apollo fu la determinazione delle traiettorie che il Modulo Comando e Servizi (CSM) avrebbe dovuto percorrere per raggiungere la Luna ed inserirsi in orbita lunare. Per andare dalla Terra alla Luna e ritorno (in sicurezza) esistono tante traiettorie possibili in funzione dei vincoli di progetto, ognuna con vantaggi e svantaggi. Ad esempio si può utilizzare una manovra LTO¹ tradizionale oppure sfruttare i limiti di stabilità delle autostrade gravitazionali del sistema Terra – Luna con un’orbita WSB² come ha fatto la sonda Hiten negli anni Novanta.

Nel caso delle missioni Apollo traiettorie del genere non sono fattibili: ci sono diversi vincoli di progetto che limitano le scelte, eccone alcuni:

La durata: la missione deve avere una durata massima di 14 giorni per essere compatibile con la durata media di progetto della capsula Apollo³.

Luogo di allunaggio: la traiettoria deve facilitare l’inserimento in orbita lunare ed essere in funzione del luogo di atterraggio. I luoghi di allunaggio in fascia equatoriale (quelli scelti dell’Apollo) richiedono una traiettoria differente rispetto ad allunaggi in zone polari.

Costi: il consumo di carburante è il fattore più stringente nelle missioni spaziali (più massa vuol dire più costi) quindi bisogna privilegiare traiettorie che implicano basso consumo di propellente. Questo requisito richiede la ricerca di traiettorie di trasferimento orbitale ottimale (ad esempio Hohmann). Nella voce costi ricadono anche i materiali di consumo quali ad esempio viveri: una durata di cento giorni come per la Hiten non è praticabile.

Sicurezza: bisogna essere in grado di mantenere in sicurezza un equipaggio di 3 persone per un lungo periodo di tempo chiusi in una capsula dalle dimensioni 3,9 metri (diametro) x 3,65 metri: in ogni caso la NASA voleva assicurarsi un rientro dell’equipaggio a Terra anche in caso di emergenza estrema.

Le traiettorie circumlunari sono dei buoni candidati perché rappresentano un buon compromesso fra requisiti non sempre compatibili fra loro: fra queste esiste una classe di traiettorie durante le quali la sonda subisce sempre un moto di caduta libera chiamate traiettorie di ritorno libero (Free Return Trajectory, FRT). L’idea alla base di questa strategia era quella di mantenere il CSM in una traiettoria FRT fino a quando non avesse raggiunto la Luna ed avesse iniziato l’inserimento in orbita lunare (LOI): se qualche anomalia fosse insorta durante il viaggio verso la Luna la navicella sarebbe stata ancora in grado di rientrare sulla Terra spontaneamente circumnavigando la Luna apportando all’occasione immancabili brevi correzioni di rotta grazie al sistema propulsivo del modulo di servizio.

Le FRT furono già usate dai sovietici per l’invio di sonde lunari negli anni ’50 sfruttando il lavoro teorico pionieristico di Jurij Kondratjuk (1879 – 1942): esse sono in grado di trasferire una capsula in orbita lunare in circa 69/72 ore, si trattava di adeguarle per le missioni Apollo. Con valori di spinta opportuni, infatti, è possibile far percorrere ad una capsula una FRT, in modo tale che essa orbiti intorno alla Luna e ritorni verso la Terra spontaneamente senza l’utilizzo di altre manovre propulsive ma semplicemente sfruttando la gravità lunare. La NASA poteva così assicurarsi che, nel caso di situazione estrema, la capsula sarebbe ritornata “a casa gratis” senza ulteriori manovre.

All’interno del programma Apollo, le missioni 8, 10 e 11 volarono tutte su questo tipo di traiettorie, mentre le successive sfruttarono delle traiettorie ibride.

Il motivo di questo cambiamento è che la FRT, pur essendo più sicure, consentivano di allunare soltanto in corrispondenza della regione equatoriale della Luna.

Poiché i siti di allunaggio delle missioni successive si trovano a latitudini superiori, si è reso necessario adottare questo tipo di soluzione. In una traiettoria ibrida la navicella viaggia inizialmente seguendo una FRT ma differente rispetto alla precedente, ma durante la traversata essa viene abbandonata per immettersi su una traiettoria ottimale che dipende dal sito di allunaggio desiderato. Esse richiedono sempre l’inserimento in un’orbita molto ellittica, ma non richiedono requisiti geometrici Terra – Luna particolari ed hanno il vantaggio di portare a bordo un carico maggiore.

In orbita intorno alla Terra: Il punto di partenza per la nostra trattazione è immaginare l’Apollo in orbita intorno alla Terra su un’orbita bassa di parcheggio (LEO, Low Earth Orbit) compresa fra 180 e 200 Km di altezza (∼100 miglia nautiche) da Ovest verso Est. Come tutti i lanci delle missioni Apollo essi sono avvenuti in direzione Est in modo da sfruttare la rotazione terrestre: questo accorgimento serve sia a far guadagnare circa 1100 Km/h di velocità sia di consumare una minore quantità di combustibile. In orbita LEO, con l’assistenza della Control Room del Mission Control Center (MCC) di Houston si effettuano i controlli di sistema per verificare la strumentazione di bordo, incluso l’allineamento dell’IMU (Sistema di navigazione inerziale) con le stelle di riferimento.

L’Apollo non può rimanere a lungo in orbita di parcheggio in quanto la batteria del terzo stadio che deve assolvere diversi compiti ha una durata limitata compreso accendere/spegnere il motore J2 del S-IVB e sfiatare/ventilare periodicamente l’idrogeno liquido dal suo serbatoio per motivi di sicurezza ed efficienza. La batteria ha anche il compito di facilitare il pompaggio dell’idrogeno in camera di combustione con l’ossigeno.

La TLI è una fase critica della missione: il tempismo nell’accensione dei motori è infatti fondamentale per poter intercettare la Luna lungo la sua orbita intorno alla Terra.

Per missioni di breve durata, quando si può escludere l’influenza gravitazionale di altri corpi, può essere considerata una traiettoria di trasferimento di Hohmann approssimata in un’orbita molto ellittica.

(continua)

Bibliografia

Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Note

¹Una manovra Lunar Transfer Orbit si ottiene con un trasferimento ellittico alla Hohmann con eccentricità elevata alzando l’apogeo orbitale finché la sonda non viene catturata dalla Luna.

²Le orbite Weak Stability Boundary sono state studiate da E. Belbruno (1987) e riguardano trasferimenti balistici dalla Terra alla Luna. Esse sfruttano regioni nello spazio delle fasi dove gli effetti perturbativi del sistema Terra-Sole-Luna che agisce sulla sonda tendono a bilanciarsi (problema dei quattro corpi ridotto). Queste orbite utilizzano carburante ridotto ma raggiungono la Luna in un tempo variabile da 80 a 100 giorni.

³Nella presente discussione si usa il termine di capsula, navicella o sonda per indicare genericamente l’Apollo; il contesto e del piano di volo è evidente che si riferisce al S-IVB e il CSM, al solo CSM o al CM.