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Cos’è la meccanica celeste

La meccanica celeste è la disciplina dell’astronomia che si pone come obiettivo quello di calcolare e predire le traiettorie dei corpi celesti: naturali e artificiali; sebbene la nascita del termine sia dovuta a Laplace (1749 – 1827), le basi sulle quali si fonda sono nate con i lavori di Keplero (1571 – 1630) e in seguito approfondite da Newton (1641 – 1727).

L’impegno di Keplero nello studio dell’orbita di Marte con il tentativo di conciliare gli enormi dati osservativi di Tycho con la formulazione di un modello teorico che spiegasse il moto retrogrado di Marte, portò alla formulazione delle ben note tre leggi di Keplero. Più tardi Newton, studiando il moto di caduta dei gravi e grazie alla recente nascita del calcolo differenziale, introdusse la legge di gravitazione universale; in essa si esprime la forza d’interazione gravitazionale fra due corpi in funzione della loro massa e posti a una certa distanza fra loro, come espresso qui di seguito:

F = – G * M1 * M2 / d2

dove G è la costante di gravitazione universale (= 6,67 * 10-11 N m2/Kg2), d è la distanza fra i due corpi ed M1 ed M2 sono le masse dei due corpi considerati puntiformi.

La legge di Newton è valida in tutto l’Universo e per tutti i corpi sotto le seguenti ipotesi:

  • Non si tiene conto del movimento di precessione delle orbite, altrimenti la formula deve essere modificata per introdurre gli effetti della Teoria della Relatività.
  • Quando stiamo lavorando a scale atomiche, occorre introdurre una teoria differente: la meccanica quantistica.

La legge di Newton consente di costruire quindi le equazioni per la determinazione del moto dei corpi celesti: considerando un Universo costituito da due soli corpi (ad esempio la Terra e il Sole) e impostando le condizioni iniziali in termini di posizione e velocità dei due corpi, la soluzione cui si perviene sono le traiettorie dell’orbita dei due corpi celesti.

In termini geometrici ciò che si ottiene sono due ellissi: le tre leggi di Keplero non sono altro che una forma approssimata della soluzione analitica esatta. Quando si riesce ad ottenere in forma chiusa la soluzione delle equazioni di un sistema (ovvero con una formula) come in questo caso, allora il sistema si dice integrabile.

M1 ed M2 possono rappresentare il Sole e la Terra, i quali ovviamente non sono gli unici corpi presenti nel nostro universo, né tantomeno all’interno del Sistema Solare; se per esempio volessimo trovare le traiettorie delle orbite di ogni singolo pianeta (Mercurio, Venere, Marte, …) , occorre impostare un sistema di equazioni come quella di Newton in cui per ogni pianeta si considera il contributo gravitazionale di tutti gli altri 8 pianeti e risolverle ….

Il problema appena descritto si può generalizzare ed estenderlo per N corpi generici, la cui formulazione completa diventa la seguente:

Dati N corpi liberi di muoversi sotto l’influenza dell’attrazione gravitazionale e le condizioni iniziali di ciascuno (posizione e velocità), impostare e risolvere il sistema di equazioni che rappresentano le equazioni del moto.

Nonostante la semplicità della formulazione del problema, la ricerca di una soluzione al sistema non lo è altrettanto; non è possibile trovare una soluzione generale, cioè non si può trovare le N funzioni in forma esplicita che rappresentano le soluzioni al problema: si dice che il sistema non è integrabile.

Questo perché la descrizione del problema porta alla formulazione di equazioni che non sempre sono separabili; a volte è possibile trovare delle soluzioni per alcuni casi particolari, associati alla configurazione geometrica dei corpi.

Nonostante ciò, da almeno XVII secolo molti astronomi e matematici hanno dedicato anni di studi alla ricerca di una soluzione, tra questi Lagrange affrontò un caso particolare del problema nel caso di N = 3 e aveva trovato alcune soluzioni periodiche legate a particolari simmetrie, una delle quali ad esempio vede i tre corpi in equilibrio ai vertici di un triangolo equilatero in rotazione.

Il profondo interesse che sempre più studiosi verso il problema dei N corpi era legato allo studio delle orbite planetarie ed alla stabilità del Sistema Solare: in generale quest’ultimo aspetto ricopre un’importanza fondamentale nella ricerca delle soluzioni del problema dei N corpi. Nonostante infatti il problema sia definito da equazioni semplici e deterministiche, variando anche di poco le condizioni iniziali del sistema, si può ottenere una grande varietà di orbite.

L’estrema sensibilità alle condizioni iniziali in un sistema deterministico può portare a soluzioni molto diverse in cui nascono moti irregolari; un piccolo cambiamento modifica in modo considerevole l’evoluzione successiva del sistema e diventa impossibile fare una predizione delle orbite su lungo periodo.

Oggi esiste una branca della matematica che studia l’estrema sensibilità di un sistema dinamico alle condizioni iniziali: la teoria del caos.

Alla fine del 1800 il problema della stabilità delle soluzioni coinvolse persino personalità reali, come il re di Svezia Oskar II, mise in palio un premio in denaro, da consegnare in occasione del suo compleanno, per chi fosse riuscito a trovare una soluzione.

Il premio fu attribuito nel 1889 a Henri Poincaré, il quale dedicò tanta energia alla ricerca della soluzione del problema da scrivere un trattato con più di 270 pagine, ma purtroppo non riuscì a trovare una soluzione. Nonostante i suoi sforzi però, le sue analisi furono molto utili per le nuove idee che introdusse nell’affrontare il problema.

Egli riuscì a dimostrare che nel caso di tre corpi:

  • Si presentavano per forza delle orbite instabili, tali per cui un piccolo cambiamento delle condizioni iniziali portava a un cambiamento notevole dell’orbita.
  • Potevano esistere soluzioni periodiche in funzione della configurazione geometrica dei corpi.
  • Non è possibile calcolare con un errore arbitrariamente piccolo una soluzione valida per un tempo arbitrariamente grande e per ogni condizione iniziale.
Esempio sezione di Poincarè con orbita non periodica

Sezione di Poincarè con orbita non periodica

Anche Poincaré fece molti passi avanti nella ricerca di soluzioni perché introdusse uno strumento molto utile nella ricerca di periodicità delle soluzioni senza risolvere le equazioni. Il suo ragionamento è il seguente: per sapere se esiste una soluzione periodica, anziché tentare di risolvere le equazioni ed esaminare il risultato, possiamo analizzare cosa succede in alcuni punti in un grafico chiamato spazio delle fasi delle soluzioni, un grafico che rappresenta in maniera univoca tutti i possibili stati del sistema.

Mappa di Poincarè: x0 è un'orbita periodica

Sezione di Poincarè: x0 è un’orbita periodica

Egli quindi analizzò i punti dello spazio delle fasi in prossimità di traiettorie periodiche costruendo una sezione: seguendo il percorso di ogni punto bisogna controllare dove la traiettoria interseca di nuovo per la prima volta la sezione creata. Se il punto nello spazio descrive una curva chiusa con lo stesso punto di partenza e arrivo sulla sezione allora il moto dell’oggetto sarà periodico per sempre. Il concetto si può estendere nel caso di dimensioni arbitrarie ed coinvolge anche considerazioni sulla topologia (un’altra branca della matematica).

(Clicca sull’immagine sopra per simulare il tuo Sistema Solare)
Il nostro Sistema Solare rappresenta un ottimo laboratorio per l’applicazione dei risultati della meccanica celeste, dove si possono trovare differenti configurazioni geometriche che portano a molteplici tipi di orbite: stabili, caotiche, periodiche …

Le leggi della meccanica celeste sono universali (ad eccezione dei punti sopra esposti) e il loro utilizzo non si limita ai nostri confini, ma fornisce anche un valido contributo alla ricerca di pianeti al di fuori il nostro Sistema Solare per cercare di capire se esistono altri mondi simili al nostro.

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