Traiettoria di ritorno libero – Conclusione

Riprendiamo l’analisi degli ultimi due metodi risolutivi per il tracciamento della traiettoria di ritorno libero.


Analisi R3B (Restricted 3 Body). Questo metodo sfrutta l’approssimazione del problema dei tre corpi: la Terra, la Luna e l’Apollo. Dato che la massa dell’Apollo è molto minore rispetto alle masse degli altri due oggetti celesti (Terra e Luna), i suoi effetti sugli altri oggetti possono essere ignorati. Consideriamo quindi il moto del sistema Terra-Luna intorno al comune centro di massa (CoM).

Si può dimostrare (qui) che le equazioni del moto della massa più piccola (la capsula m di massa trascurabile rispetto a m1 e m2) sono le seguenti:

l sistema di equazioni riportato sopra rappresenta un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineari in (x, y, z) con i seguenti parametri:

 \begin{cases}
\mu_{1} = G m_{1}\\
\mu_{2} = G m_{2}\\
\end{cases}
\\[5pt]
 \begin{cases}
\pi_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\\
\pi_{2} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}
\end{cases}
\\[5pt]
\Omega= \sqrt{\frac{\mu_{2}}{r_{12}^3}}
\\[5pt]
r_{12}= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^2}
\\[5pt]
r_{1}= \sqrt{(x+\pi_{2}r_{12})^2+y^2}
\\[5pt]
r_{2}= \sqrt{(x+\pi_{1}r_{12})^2+y^2}

Nel sistema di equazioni sopra riportato:

  • x1 è la posizione di m1 rispetto al CoM
  • x2 è la posizione di m2 rispetto al CoM
  • \Omega è la velocità angolare riferita al sistema corotante Terra – Luna rispetto al CoM dei due corpi.
  • r12 è la distanza fra CoM della Terra e la Luna
  • r1 rappresenta la distanza di m1 dal centro di gravità
  • r2 rappresenta la distanza di m2 dal centro di gravità
  • La derivata seconda (\ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) rappresenta l’accelerazione.

Risolvendo il sistema in si ricava la posizione (x, y, z), velocità (\dot{\boldsymbol{x}}, \dot{\boldsymbol{y}}, \dot{\boldsymbol{z}}) e accelerazione \ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) della capsula.

La soluzione si ottiene per integrazione numerica, come ad esempio il metodo di iterativo Runge-Kutta che si ottiene applicando i seguenti passi:

- 1 Si parte dalla condizione iniziale (x0, y0, z0), per esempio la posizione del CSM al momento della  TLI per t = t0

- 2 Si calcola l'accelerazione della sonda sotto l'azione gravitazionale di Luna e della Terra per un piccolo quanto di tempo t (dipende dalla precisione).

- 3 Si ricalcolano l'equazioni del moto per trovare i nuovi valori delle variabili di stato di posizione (x, y, z) e velocità (vx, vy, vz).  Si annotano i nuovi valori: essi rappresentano la nuova posizione della capsula nello spazio. Si dice che si 'propaga' la soluzione.

- 4 Si passa al quanto successivo di tempo t = t +  Δt e si torna al punto 2. Una volta raccolto un set di punti (x, y, z) sufficienti per l'analisi si esce

- 5 Si disegna la traiettoria di (x, y, z) in un sistema di coordinate cartesiane.

La soluzione del sistema che si ottiene è molto sensibile alle condizioni iniziali di (\overrightarrow{x}, \overrightarrow{v}).

In generale la traiettoria dell’Apollo nello spazio 3D non è detto che sia posizionata sullo stesso piano dell’orbita lunare, Intuitivamente possiamo immaginare di ‘stirare’ la traiettoria disegnata nel piano (vedi analisi RC3B) verso la direzione positiva e negativa dell’asse z. Di quanto viene modificata dipende dall’angolo formato fra i due piani:

  • il piano orbitale lunare rispetto all’eclittica
  • l’azumuth di lancio del Saturn V, e quindi dell’inclinazione del piano orbitale del CSM in orbita LEO.

Come già visto, i due piani hanno in comune il punto antipodale, dove avviene la TLI.


Analisi RC3B (Restricted Circular 3 Body). Se per ipotesi il moto della capsula è planare (\ddot{\boldsymbol{z}}=0) (ovvero la traiettoria giace sullo stesso piano del moto dei 2 corpi celesti di massa più grande) possiamo trascurare l’ultima equazione.

Sistema di riferimento usato per l’equazione del moto. Nel caso di analisi R3B il punto (x, y, z) è libero di muoversi in 3 dimensioni.
Nel caso RC3B per ipotesi il movimento è limitato nel piano del moto di m1 e m2

Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer

Il fatto di rimuovere la componente z significa che nei grafici seguenti viene disegnata la proiezione lungo il piano orbitale della Luna della traiettoria del CSM.

Bisogna calcolare in maniera molto precisa posizione e velocità iniziali affinché la traiettoria dell’Apollo circumnavighi la Luna e ritorni in prossimità della Terra con una condizione compatibile con la manovra di rientro. Condizioni anche di poco fuori dalla condizione ottimale fanno percorrere alla sonda traiettorie che andranno in direzione della Terra, ma non necessariamente nel punto di ritorno previsto.

La traiettoria della sonda potrebbe per esempio descrivere anche un moto oscillatorio tra i due corpi, oppure portarsi nella traiettoria giusta per il rientro ma dopo parecchi oscillazioni, quindi un tempo troppo lungo affinché si possa garantire la sopravvivenza dell’equipaggio.

Le figure seguenti mostrano i risultati di diverse simulazioni fatte dall’autore grazie al software sviluppato da Adrien (blog.nodraak.fr) in python. In entrambi i diagrammi viene tracciata una famiglia di traiettorie FRT considerando un periodo di dieci giorni di viaggio. Nel primo diagramma viene mostrato come cambia la traiettoria della FRT al variare del Δv a parità di angolo α di inserimento della TLI; viceversa, il secondo grafico mostra come cambia la FRT al variare dell’angolo α a parità di Δv.

In tutte le simulazioni l’Apollo si trova in un’orbita LEO ad un’altezza di cento miglia nautiche.

I due ingrandimenti a sinistra mostrano come la traiettoria cambi di molto al variare delle condizioni iniziali.

Variare di poco l’angolo α fa la differenza tra schiantarsi sulla Terra in fase di rientro o avvicinarsi entrare nella sfera di influenza terrestre. Anche se in ogni caso servono correzioni di rotta per garantire l’inserimento nel corridoio di rientro, la simulazione permette di escludere a priori alcuni parametri orbitali.

Durante lo sviluppo del progetto Apollo, la responsabile della pianificazione e verifica delle traiettorie FRT era Frances “Poppy” Northcutt: la prima donna ad essere ammessa al Mission Control Room (MCC), all’epoca un ambiente maschile. Poppy si era laureata in matematica in Texas perché voleva evitare lavori da donne ed avere una marcia in più nella ricerca di un lavoro.

Iniziò a lavorare alla TRW (un’azienda del settore avionico) prima di collaborare con NASA per il progetto Apollo come “donna computer” (computress), poi passò al Mission Planning & Analysis Room diventando la prima donna a lavorare al MCC.  Lei divenne la responsabile sia della definizione del profilo di volo delle FRT per l’Apollo 8 che per riprogettare la FRT in tempo reale per la missione di salvataggio dell’Apollo 13: per i suoi contributi ha ricevuto La Medaglia Presidenziale delle Libertà.

Da quando il progetto Apollo è stato chiuso, Poppy ha lasciato la NASA per occuparsi della sua vera passione: la legge. Dal 1984 esercita come avvocato.

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Traiettoria di ritorno libero – Parte III

L’analisi di una traiettoria FRT è un esempio di applicazione del problema degli n corpi, che non ammette soluzioni in forma chiusa, ma si può modellare implementando tecniche di integrazione numerica.

Nel nostro caso possiamo identificare tre diversi metodi risolutivi:

  1. Analisi per approssimazione conica (PCA)
  2. Analisi del problema dei tre corpi ristretto (R3B)
  3. Analisi del problema dei tre corpi ristretto su orbite circolari (RC3B)

Il primo è il modo più semplice ma anche più approssimativo: si ipotizza che la capsula si muova sotto l’influenza gravitazionale di un corpo a seconda della sfera di influenza ed è usato per avere un’idea iniziale della traiettoria che compirà la sonda. Le altre due soluzioni si basano sul problema ristretto dei 3 corpi. L’ipotesi di fondo è che la massa della capsula è molto minore della massa degli altri 2 corpi (Terra e Luna) e quindi sarà soggetta all’accelerazione di entrambi i corpi a seconda della loro distanza: la traiettoria è più precisa del metodo PCA.


Analisi PCA: questo metodo considera solo gli effetti del corpo gravitazionalmente dominante in cui si trova in quel momento la traiettoria della capsula. Il corpo dominante è definito dalla sfera di influenza RSOI (rispetto al Sole) secondo la relazione:

Dove R è la distanza Terra – Sole, Mx è all’occorrenza la massa della Terra o della Luna, MS è la massa del Sole ed R è la distanza Terra – Sole.

PianetaSOI
Terra9,24643 * 105 Km
Luna0,66168 * 105 Km
Valori di RSOI per la Terra e la Luna. Notare come il valore della SOI della Terra è circa un’ordine di grandezza maggiore rispetto alla SOI lunare

Dato che la RSOI terrestre include la RSOI lunare, questo approccio esclude a priori l’influenza terrestre quando l’Apollo si trova all’interno della sfera gravitazionale lunare.

Per questo motivo l’analisi PCA è impiegata quando ancora si sta affrontando la fase di pianificazione iniziale del viaggio.

Il procedimento prevede di studiare separatamente il tratto del percorso dell’Apollo in regime della dinamica dei due corpi (uno alla volta) all’interno della propria SOI.

La traiettoria PCA si sviluppa in tre fasi:

  • traiettoria geocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale terrestre
  • traiettoria selenocentrica: l’Apollo subisce solo l’influenza gravitazionale lunare
  • la traiettoria finale è composta dall’unione delle due traiettorie

Grazie alla TLI, nella traiettoria geocentrica il CSM percorre un’orbita ellittica fino a trovarsi a distanza r1 dalla Terra con una velocità  \overrightarrow{v_{1}} (dell’ordine di qualche centinaio m/s) cioè al raggiungimento della SOI nel punto S intersezione con la sfera r2=RSOI.

Il punto S marca il passaggio nella seconda fase: la traiettoria selenocentrica: consideriamo ora come sistema di riferimento il piano selenocentrico non rotante e osserviamo cosa succede fino all’uscita dalla SOI al punto T.


Dal punto di vista di un osservatore solidale con la Luna essa si muove lungo la traiettoria intorno alla Terra con velocità \overrightarrow{v_{m}}  e vede arrivare l’Apollo con velocità \overrightarrow{v_{2}}  = (\overrightarrow{v_{1}}  -  \overrightarrow{v_{m}}) composizione vettoriale delle due velocità. La velocità risultante d’ingresso \overrightarrow{v_{2}} deve essere pianificata in fase di progetto tale da raggiungere la SOI con una velocità maggiore della velocità di fuga lunare al confine della SOI, in tal caso l’Apollo arriva intorno alla Luna con un’orbita iperbolica (con fuoco nella Luna).

A mano a mano che ci avvicina al pericinzio, la velocità  \overrightarrow{v_{2}} fino a \overrightarrow{v_{max}} quindi si allontana e raggiunge il confine della SOI con velocità di uscita | \overrightarrow{v_{4}}| = |\overrightarrow{v_{2}}| ma direzione differente, ovvero lascia la SOI con velocità geocentrica \overrightarrow{v_{5}} =  (\overrightarrow{v_{4}} + \overrightarrow{v_{m}}) in direzione della Terra.

Esempio di traiettoria per la Luna ove sono evidenziati nel ramo di andata la combinazione della traiettoria geocentrica e selenocentrica.

Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer

L’Apollo effettua un fly-by lunare: il cambiamento della direzione del vettore velocità dipende da quanto siamo vicini alla Luna: se il fly-by viene effettuato più distante, allora il cambiamento di direzione sarà minore, se il fly-by viene effettuato più vicino al perilunio r3 più stretta sarà il cambiamento di direzione del moto, e quindi un vantaggio in prospettiva di un allunaggio.

In ogni caso sono possibili due casi estremi:

  • r3 < 1738 Km (raggio lunare) la sonda si schianta sulla Luna.
  • r3 > 1738 Km (raggio lunare) l’Apollo può entrare in orbita lunare (Lunar Orbit Insertion, LOI) o effettuare un fly-by.

Verso la Terra5. Una volta abbandonata la SOI, l’Apollo si inserisce nel ramo di ritorno della FRT: quest’ultimo è ancora un arco di ellisse. Per compensare gli errori sempre presenti, alcune correzioni di rotta lungo la traiettoria distribuiti fra ramo di andata e ritorno sono possibili, anche se non necessarie. Le correzioni orbitali sono necessarie per includere:

  • errori di approssimazione
  • per accelerare il rientro del CSM (come nel caso dell’Apollo 13)
  • per sincronizzarsi con il punto esatto di rientro a Terra della capsula (la Terra ruota su sé stessa mentre la sonda è in navigazione e la procedura di rientro in atmosfera deve avvenire all’interno di un corridoio preciso).

(continua)

Nota

5Nel presente articolo non viene considera alcuna manovra orbitale di inserimento lunare (LOI) o reinserimento in traiettoria terrestre (TEI) dopo il docking fra LM e CSM. Si considera solo la traiettoria in caduta libera in maniera simile a quanto successo con la missione Apollo 13 (a parte le correzioni di rotta per l’immissione in FRT sul ramo di andata e la correzione di rotta sul ramo di ritorno per velocizzarne il rientro).

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Traiettoria di ritorno libero – Parte II

La TLI trasforma l’orbita circolare in un’orbita ellittica con un apogeo compreso fra 300000 e 500000 Km, ben oltre la massima distanza Terra – Luna. Dato che la procedura è particolarmente sensibile alle condizioni iniziali, l’esatto istante intorno alla LEO in cui riaccendere il motore J2 così come la quantità di tempo per cui deve essere acceso viene calcolato ed aggiornato con grande attenzione dagli ingegneri di Terra del FIDO4 con l’aiuto di grandi calcolatori IBM/360.

I risultati vengono quindi comunicati all’equipaggio via radio per completare un documento riassuntivo contenente tutte le informazioni necessarie per l’esecuzione della fase (Pre Advisory Data, PAD) compresi due eventuali manovre di rientro di emergenza (TLI + 1, TLI + 4) in caso annullamento della TLI. Si consideri la geometria associata alla figura seguente, ove in questo sistema di riferimento la Terra è ferma, mentre la Luna orbita intorno ad essa con una velocità di circa 1 Km/s.

Disegno dell’autore

Sia PAL il punto situato nell’emisfero opposto rispetto alla congiungente Terra – Luna nel momento in cui quest’ultima si troverà quando verrà raggiunta dall’Apollo. Per effettuare il trasferimento orbitale efficiente il motore deve essere acceso in PAL chiamato punto antipodale lunare e produrre un aumento di velocità (∆V) tale da consentire alla navicella di lasciare l’orbita di parcheggio.

Dato che l’analisi teorica delle FRT prevedono un tempo di viaggio variabile da 69 a 72 ore per raggiungere la Luna, la TLI deve avvenire considerando la posizione della Luna circa 3 * 13,5° = 40,5° più avanti (verso est) lungo la sua traiettoria (segmento OTOL2). Poiché:

  1. Occorre compensare gli effetti della gravità lunare che perturba l’orbita ellittica del CSM che agisce “muovendo” ‘intera orbita
  2. Nessun motore è in grado di fornire una spinta nominale istantanea, l’accensione del motore avviene in modo continuo per un intervallo breve e limitato

Al punto antipodale PAL si sostituisce con l’arco SE durante il quale il motore rimane acceso. Durante questo periodo di tempo viene fornita un’accelerazione aggiuntiva che provoca un aumento di velocità non tangenziale all’orbita. In pratica l’accensione inizia circa 4° prima del punto PAL (punto S), l’Apollo continua per un arco di 25° che lo porta ad un incremento di ∆h ∼60/70 miglia (segmento DE).


Il motore finalmente si spegne e l’Apollo si inserisce in un’orbita fortemente ellittica (e ∼0,97) in modo tale da portarla nei pressi della Luna in circa 69 ore di viaggio. La durata della TLI varia da missione a missione, ma in media dura ∼6 minuti e fornisce un ∆v di ∼3 Km/s. La velocità dell’Apollo raggiunge un valore compreso fra 10,4 Km/s e 10,8 Km/s rispetto alla Terra (comunque inferiore alla velocità di fuga), mentre gli astronauti subiscono un’accelerazione da 0,4 g a 1,4 g.

Ecco la tabella NASA delle TLI per le varie missioni Apollo:

Fonte: NASA

Durante il viaggio la capsula Apollo in generale risente dell’influenza gravitazionale di entrambi i corpi, tuttavia finché non intercetta la sfera di influenza gravitazionale lunare (Sphere of Influence, SOI), ovvero la regione di spazio all’interno della quale l’attrazione del nostro satellite è dominante rispetto a quella terrestre, gli effetti gravitazionali del nostro pianeta saranno quelli predominanti, quindi l’Apollo proseguirà il suo viaggio lungo il braccio di andata della nuova orbita ellittica risultato della TLI. Dato che la Luna non è ferma nello spazio, è fondamentale la tempistica, altrimenti l’Apollo non incontrerà mai la Luna.

La Terra fotografata dall’Apollo 8 durante la TLI
Fonte: https://www.nasa.gov/feature/50-years-ago-apollo-8-you-are-go-for-tli

Intorno alla Luna Il viaggio dell’Apollo prosegue finché non intercetta la SOI lunare. All’interno di questa regione la traiettoria è progettata in modo tale da anticipare il suo arrivo con una traiettoria retrograda (ovvero passando davanti alla Luna) per poi circumnavigare il lato nascosto. Per capire il motivo di tale scelta immaginiamo di vedere il percorso dall’alto del piano orbitale (da Nord): entrambi i corpi orbitano in senso antiorario da Ovest verso Est. Se la traiettoria transitasse dietro la Luna lungo la stessa direzione del moto lunare la quantità di momento angolare acquisito sarebbe più elevato rispetto al caso in cui l’Apollo transitasse davanti ad essa (in opposizione alla direzione del moto lunare). In quest’ultimo caso, infatti, il momento angolare sottratto alla Luna è maggiore.

Transitare lungo la stessa direzione con cui si muove la Luna comporta un aumento il momento angolare dell’Apollo tale da portarlo in un’orbita più larga e una durata della missione maggiore; al contrario, passando invece davanti alla Luna, l’Apollo subisce l’effetto opposto che funziona come un freno gravitazionale (sottrae maggior momento angolare alla Luna) ed entra nella SOI con un minore velocità, con i seguenti vantaggi:

  • un consumo di carburante inferiore.
  • La possibilità di raggiungere un perigeo lunare più basso, quindi facilitare la LOI (Lunar Orbit Insertion) in previsione dell’allunaggio

Queste considerazioni fa in modo che la traiettoria di ritorno libero assume la caratteristica forma ad 8 (a simmetria speculare nel braccio di ritorno) con un tempo di percorrenza complessivo di circa 7,5 giorni: un intervallo di tempo compatibile con i requisiti di missione imposti dalla NASA.  In fase di progettazione della traiettoria i tecnici della NASA hanno dovuto tener in conto di tutti i fenomeni fisici del sistema, e questo rende il fenomeno molto più complesso da trattare.

Per non complicare eccessivamente la spiegazione, supponiamo valgano le seguenti ipotesi semplificative:

  • Non si considerano gli effetti relativistici
  • Non si considerano gli effetti della pressione di radiazione solare
  • Il Sistema Solare giace su un piano 
  • Si escludono perturbazioni solari mensili e annuali fuori dal piano orbitale
  • Non si considerano le perturbazioni dei giganti gassosi (Giove)
  • Non si considera la precessione dei nodi lunari
  • Non si considerano le differenze di distribuzione di massa della Terra (variazione di gravità) e della Luna (mascon lunari)

(continua)

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer

Note

4Flight Dynamics Officier: è responsabile delle traiettorie di volo della capsula.

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