Interazione Uomo-Macchina nel progetto Apollo

Gli astronauti selezionati dalla NASA erano tutti piloti esperti di jet militari altamente qualificati che erano abituati a gestire le situazioni critiche in volo in prima persona, tuttavia con la corsa allo spazio, affidare ogni operazione solo ai piloti poteva essere molto rischioso e mettere a repentaglio la vita stessa degli astronauti. Per questo motivo la presenza di un rudimentale computer a bordo era già stata prevista ed implementata per il programma X-15, in modo da aiutare il pilota nell’eseguire i calcoli o gestire le situazioni di emergenza. Con l’aumentare del carico e della complessità del lavoro da svolgere in vista dell’obiettivo Luna, la discussione si fece molto accesa e vide nascere due scuole di pensiero distinte divise fra il controllo manuale ed il controllo automatizzato della capsula.

X15

Erano i primi aerorazzi sganciati in volo da un bombardiere B52 in grado di raggiungere una quota fino a 350.000 piedi (circa 105 Km) per poi atterrare nel deserto lungo una traiettoria balistica

La prima opzione era quella preferita dalla maggior parte degli astronauti, in quanto venivano dal mondo dell’areonautica dove erano abituati a “tenere-in-mano” l’aereo, ovvero a governare il veivolo agendo direttamente con le proprie forze sugli attuatori. La seconda opzione invece vedeva tra i suoi maggiori sostenitori i progettisti ed ingegneri. Essi erano ben consapevoli che pilotare una navicella spaziale è tutto un’altra cosa: ci sono tante operazioni che devono essere eseguite alla precisione, in sequenza ed in un intervallo di tempo brevissimo e qualsiasi cosa può non funzionare tanto che nemmeno l’astronauta più preparato con ottimi riflessi sarebbe stato in grado di agire per tempo. Quest’ultima opzione non piaceva agli astronauti perché rischiava di relegare il loro ruolo a spettatori passivi.

Dicotomia Uomo-Macchina raffigurata in una vignetta dell’epoca.
Gli astronauti sono spettatori passivi durante il viaggio verso la Luna o possiedono un ruolo decisionale attivo?

Come includere quindi gli astronauti in questa nuova gestione?

Spettatori passivi o persone con un ruolo decisionale? 

Allo scopo di garantire la maggior sicurezza possibile per i piloti si decise che essi avrebbero  dovuto acquisire un insieme di competenze non legate esclusivamente al volo, ma anche al funzionamento della strumentazione e imparare come quest’ultima si interfacciava con gli attuatori del velivolo per agire di conseguenza in caso di emergenza.

Fonte immagini a sinistra:

  • Charles Stark Draper Laboratory Archives Photo 24861 Smithsonian Museum
  • Charles Stark Draper Laboratory Archives Photo 24860 Smithsonian Museum

Elaboratore e astronauti avrebbero dovuto quindi agire in concertazione in tutte le fasi di volo per integrarsi con i sistemi di avionica dell’Apollo

A tale scopo la suddivisione delle operazioni fra uomo e macchina venne rivista: gli astronauti avevano il compito di monitorare le operazioni di volo ed in orbita erano parte attivi del processo decisionale insieme al sistema di controllo: potevano in ogni caso interagire, integrare o correggere le direttive impartite dal computer, così come sostituirsi ai processi automatici dell’elaboratore e prendere il comando della navicella all’occorrenza in ogni parte del volo.

Questa scuola di pensiero venne soprannominata “man-in-the-loop”, e fu quella che venne effettivamente usata in tutte le missioni Apollo, ove tutti gli allunaggi avvennero con i sistemi di controllo attivi e gli astronauti supervisori finali in grado  di inserirsi all’interno del sistema di controllo (come effettivamente fu).

L’introduzione del computer significava inoltre che per le missioni lunari non erano più sufficienti gli ingegneri meccanici, ma si affiancavano anche gli ingegneri elettronici: una volta identificato il ruolo degli astronauti era necessario passare alla fase di progettazione e costruzione dei computer di bordo. Come procedere? Quando nel 1958 la NASA creò lo Space Task Group sotto la direzione di Robert Gilruth venne nominato Max Faget come ingegnere responsabile del progetto della Mercury, Gemini ed Apollo, i quali vennero subito influenzati dal controllo elettronico con complessità crescente.

Timeline dei progetti X15, Mercury, Gemini ed Apollo: i progetti sono stati sviluppati in parallelo.
Ogni volta che venivano consolidate le conoscenze del progetto in corso queste ultime venivano utilizzate nel progetto seguente. Diagramma dell’autore

La Mercury era una capsula costruita dalla McDonnel-Douglas, con un sistema di controllo progettato dalla Honeywell Regulator Company. Durante le normali operazioni la capsula lavorava in modalità automatica e solo in caso di problemi del sistema primario il pilota avrebbe assunto il controllo della situazione con due sistemi di controllo separati. L’astronauta non aveva alcun controllo sull’orbita, poteva solo cambiarne l’assetto tranne durante l’operazione di rientro ove la capsula si orientava automaticamente nella posizione corretta con lo scudo termico verso il basso.

Per il progetto Gemini invece, che includeva operazioni più complesse (rendezvous, docking ed EVA), vennero utilizzati computer sviluppati dalla IBM (che già collaborava con la marina negli anni ‘50) dal peso di 27 Kg avente 7 programmi precaricati: i minimi necessari e previsti per lo scopo della missione.

Per il progetto Apollo, trattandosi di un sistema molto più complesso dei precedenti, la capacità di calcolo degli elaboratori venne sfruttata al massimo al fine di migliorare la stabilità della capsula, intesa come secondo requisito di base fondamentale per una missione lunare. In particolare l’elaboratore doveva gestire:

  • partenza (come sistema di back up del terzo stadio del Saturn V)
  • il viaggio verso la Luna
  • l’allunaggio
  • il rendezvous
  • inserimento in orbita terrestre
  • l’ammaraggio.

La stabilità viene ottenuta tramite un sistema di controllo basato su un sistemi ad anello chiuso come quello in figura a sinistra.
Il sistema confronta l’ingresso di riferimento (velocità, smorzatore d’imbardata, …) con quello reale letto dai sensori (uscita controllata). La differenza, ovvero il segnale di attuazione (o errore) viene applicato ai segnali di controllo del sistema.

Queste funzionalità dovevano essere racchiuse in una serie di computer (AGC Apollo Guidance Computer) che occupasse uno spazio modesto, consumasse poca energia e funzionasse per circa due settimane di viaggio: il progetto iniziò nel 1962 a partire da un prototipo basato su logica a transistor che avrebbe dovuto essere usato per una futura missione su Marte.

AGC

Con il termine AGC si intende genericamente il computer della capsula Apollo; in realtà vennero progettati due versioni: uno per il modulo di comando (CGC) e uno per il LM (LGC). Entrambi condividevano parecchie funzionalità di libreria, oltre ovviamente a funzionalità specifiche del sistema. Il LM inoltre includeva anche un computer di backup AGS usato in caso di abort della missione e come backup del LGC. Un altro computer era presente nell’anello di raccordo del primo stadio del Saturn V per gestire la piattaforma inerziale e le fasi di volo del primo stadio.

Il computer aveva le seguenti caratteristiche:

  • Dimensioni di un piede cubico (circa 28 dm3). Una dimensione molto ridotta, tenendo presente che negli anni ’60 i computer erano molto ingombranti, consumavano molta corrente e occupavano interi edifici universitari.
  • Programmabile (con una modesta capacità di calcolo)
  • Un microprocessore in grado di gestire interrupt esterni a priorità per gestione di eventi real time per la piattaforma inerziale, i propulsori SPS e RCS.
  • Un watchdog per consentire al microprocessore di uscire dalle condizioni di stallo
  • DAC/ADC per comunicare con le interfacce analogiche esterne

Sebbene fosse chiamato computer, in realtà era un sistema embedded basato su microprocessore, una memoria RAM/ROM e un sistema di interfacciamento con i sensori ed attuatori di bordo. Oggi un sistema siffatto si chiama microcontrollore.

Vista al microscopio di una porta NOR usata per l’Apollo.
Fonte: https://airandspace.si.edu/stories/editorial/apollo-guidance-computer-and-first-silicon-chips

La prima versione del AGC nota come Block I venne rilasciata nel 1963: si basava su un solo tipo di circuito integrato (una porta NOR a due ingressi) esteso anche ai sensori di interfacciamento in modo da rendere il sistema più modulare, mentre il sistema di navigazione rilasciò la sua parte nel settembre dello stesso anno. Garantire l’affidabilità di un sistema che si basava su una tecnologia ancora in stadio embrionale (come quello dei circuiti integrati) era un problema che assillava gli ingegneri progettisti e la NASA stessa, pertanto si decise di produrre componenti in serie tutti uguali per enormi volumi in modo da poter semplificare i test di qualità del prodotto.

La Fairchild (l’azienda appaltatrice) decise di lavorare in lotti: ogni circuito integrato veniva esaminato, sottoposto a stress meccanici e immerso in una soluzione di freon per verificare eventuali perdite. Piccole variazioni di peso superiori a 5 mg indicava che parte del liquido era entrato all’interno dell’integrato, e di conseguenza tutto il lotto veniva scartato.

Schema circuitale della porta NOR a due ingressi.
Qualsiasi funzione logica può essere implementata con porte NOR perché é una porta universale.

La NASA affidò ai laboratori IL del MIT il sistema principale di navigazione (IMU), il quale era già stato coinvolto nel passato nel sistema di guida di missili Polaris. Il gruppo di lavoro, sotto la guida di Charles Draper, progettò un sistema di navigazione (IMU) usato per mantenere l’assetto, posizione e velocità (previa una procedura di allineamento).

  • tre accelerometri per identificare tutte le forze agenti sulla capsula in movimento.
  • tre giroscopi di precisione per il controllo dell’assetto. L’uso dei giroscopi consentiva di tenere gli accelerometri in una direzione costante nel loro frame di riferimento indipendentemente dall’orientazione della capsula: in modo da dare al CSM la capacità di navigare senza un sistema di riferimento esterno.

L’Apollo montava tre giunti cardanici per mantenere in sospensione i giroscopi, comunque insufficienti per evitare il “gimbal lock”, ovvero una situazione per cui la piattaforma perdeva una dimensione di riferimento e quindi non poteva fornire una misura corretta dell’assetto della capsula. Il quarto giunto non venne installato sia per motivi di spazio e poi perché tutte le manovre erano progettate per essere effettuate in due dimensioni. Il computer aveva una procedura che periodicamente controllava il suo stato e avvisava in tempo gli astronauti in caso fosse vicino alla situazione critica, ma nonostante questo sia nella missione Apollo 11 che Apollo 13 si verificarono situazioni di rischio. A queste caratteristiche IL aggiunse:

  • un telescopio e un sestante spaziale a 28 ingrandimenti: per il controllo manuale ed eventuale correzione di rotta. Il sestante aveva due linee di vista: una fissa o LLOS (la linea dell’orizzonte) e una mobile o SLOS (linea stellare). Per garantire maggior precisione, il sistema era solidale con la capsula Apollo e IMU stessa, come un banco ottico. L’astronauta puntava la linea dell’orizzonte verso il punto di riferimento e la linea della stella in direzione di un altro oggetto e muoveva il sestante finché le due immagini non si sovrapponevano: alla fine l’astronauta premeva un pulsante ed il computer registrava l’angolo di vista. La differenza fra la posizione reale e quella stimata dal computer serviva allo stesso per modificare il suo allineamento.
  • una console per interagire con il computer  ed elettronica di supporto

Il banco di prova del AGC Block I avvenne con i primi test LEO sotto la guida di Robert Shea: questa versione non poteva navigare verso la Luna, pertanto tutte le nuove caratteristiche vennero incorporate nella versione successiva: AGC Block II. I problemi non mancarono comunque. Nel Maggio 1963, durante l’ultimo volo della Mercury Gordon Cooper ebbe un problema con il sistema di controllo: dell’urina fuoriuscita dal sistema di raccolta aveva corroso la circuiteria elettronica; questo portò la NASA a sigillare ermeticamente tutta l’elettronica.

La capsula per motivi di sicurezza poteva essere guidata da Terra grazie all’aiuto di tre stazioni: Spagna, Australia e California che dialogavano con il trasponder di bordo dell’Apollo: negli anni ‘60 la precisione degli orologi atomici consentiva alla NASA un ottimo livello di approssimazione. A partire dal ritardo di trasmissione e dall’effetto Doppler la NASA poteva calcolare la posizione dell’Apollo con un errore di 10 metri e la velocità con un errore di 0,5 m/s (il radar consente di ricostruire l’orbita di un corpo celeste ma non il suo assetto). In ogni caso il computer era essenziale quando transitava lungo la faccia nascosta della Luna, causa l’assenza di segnale da Terra.

Tidbinbilla (Australia): parabola del sistema DSN della NASA per il tracking dell’Apollo
Fonte: https://www.space.com/how-nasa-tracked-apollo-11-communications.html
ROM6 banchi @ 6144 Word
RAM2 KWord
Istruzioni di base37
Clock2048 KHz
Peso70 libbre (circa 31 Kg)
Consumo55 W
Diodi, transistor, resistenze
DSKYDisplay e tastiera
Tabella caratteristiche AGC Block II

Il computer di bordo era un sistema fly-by-wire: faceva da interfaccia e mediava tutte le operazioni di volo. Il software doveva imparare ad interagire con i sottosistemi della capsula, reagire ai cambiamenti esterni e formare un processo decisionale adatto, in ogni livello. Il MIT produsse un prototipo a novembre 1965 per essere poi consegnato alla NASA nel luglio 1966.

A lato le caratteristiche dell’AGC Block II.

2KWord son diversi da 4Kbytes

Dal punto di vista implementativo 2 bytes sono diversi da 1 Word. Infatti un computer che deve processare un byte ma e’ stato progettato per lavorare in Word significa che la CPU deve effettuare operazioni di post processing (mascheramento e shift-register) quindi impiegare ulteriori tempi aggiuntivi di elaborazione (cicli di fetch).

Bibliografia

  • Digital Apollo: Human and Machine in Spaceflight, David A. Mindell
  • Left Brains for the Right Stuff: Computers, Space, and History Hugh Blair-Smith

Il filtro di Kalman

Durante le missioni Apollo la stima ed il controllo delle traiettorie ottimali Terra – Luna erano condizione critiche in molte fasi di volo, per esempio:

  • Il CSM doveva entrare in orbita lunare (LOI, Lunar Orbit Insertion) con molta precisione ad un’altezza di soli 60 miglia nautiche, intorno ad un corpo celeste che si muove a circa 1 Km/s.
  • Durante l’allunaggio: i dati provenienti dal radar di Terra dovevano trovare un’analogia con i valori dei radar di allunaggio (LR, Landing Radar) montato sul LM per capire se proseguire o abortire la missione.
  • In fase di ritorno in atmosfera: il CM doveva imboccare un corridoio di rientro con un angolo di volo di 6,5°± 1° rispetto all’orizzonte.

La conoscenza a priori e la possibilità di stimare il consumo di beni e materiali, oltre ad aspetti pratici, serviva anche per ragioni di riduzione costi (consumo di carburante) e per adempiere ai criteri di sicurezza dell’equipaggio. In ogni caso il problema più sentito per l’equipaggio a bordo (e al MOCR a Houston) era l’esigenza di poter controllare che l’Apollo si muovesse lungo il percorso stabilito dalla traiettoria in uno spazio di riferimento, così come in qualsiasi altra situazione di volo.

La capsula CM dell’Apollo era equipaggiata con sensori (giroscopi e accelerometri) e strumentazione (telescopio, sestante spaziale) per poter prendere delle misure angolari rispetto alle stelle fisse, al Sole, a punti particolari sull’orizzonte terrestre ed altro le quali venivano inviate al computer per i calcoli di posizione. I sensori sono soggetti a diversi tipi di errore:  casuali, di deriva o di imperfezioni di costruzione.

Analogalmente le equazioni del moto (modello dinamico) usato per descrivere la traiettoria è soggetta ad errori nel modello non deterministici ove non è possibile valutarne a priori la quantita’ in maniera precisa: per esempio è difficile considerare le perturbazioni del moto lunare, l’esatta spinta ottenuta dall’accensione dei RCS, l’influenza della distribuzione della massa terrestre/lunare sul CSM …

Il problema che la NASA doveva affrontare era: quante e quali misure bisognava effettuare al fine di garantire una navigazione corretta nello spazio cislunare?

La risposta a questa domanda significava identificare il numero minimo ed ottimale di misure da effettuare, quali correzioni erano necessarie e quando effettuarle. La procedura ideale poteva essere descritta come segue:

  1. Utilizzando i sensori del CM, identificare posizione e velocità attuali, cioè i vettori di stato \vec{\textbf{r}} = [r_{x}, r_{y}, r_{z}] e \vec{\textbf{v}} = [v_{x}, v_{y}, v_{z}]
  2. informare il computer di bordo (AGC) dello stato corrente
  3. in base ad alcune regole “statistiche” decidere se:
    • intraprendere una correzione orbitale sulla traiettoria
    • non effettuare alcuna correzione
  4. aggiornare i vettori di stato
  5. tornare al punto 1

Dato che ogni misura è affetta da incertezza (ambiente rumoroso) era necessario valutare in senso statistico le azioni da intraprendere ad ogni ripetizione. Maximilian Schuler nei primi anni del Novecento fu tra i primi matematici a studiare il problema; in particolare gli errori oscillatori generati dai sensori IMU indotti dal campo gravitazionale in cui i giroscopi lavorano. In seguito altri matematici quali Richard Battin (1925 – 2014) del MIT e Norbert Wiener cercarono di affrontare il problema ma fu con Rudolf Kalman (1930 – 2016) che la NASA ebbe la possibilità di implementare l’algoritmo che ancora oggi porta il suo nome: il filtro di Kalman.

Egli riuscì a trovare una soluzione ottima per la stima dell’errore lavorando nel dominio del tempo, anziché in frequenza (come fece Wiener) in modo da renderlo gestibile in tempo reale da un computer ed implementarlo nel software di volo.


Il filtro di Kalman è un metodo statistico per l’ottimizazione del controllo, in particolare è un filtro ricorsivo per la stima di uno stato interno del sistema dinamico a partire da una serie di misure rumorose.

L’ipotesi di base di funzionamento del filtro prevede sorgenti di errori indipendenti provenienti da distribuzione statistica Normale N (μ, σ) a media nulla.

Dato che al fine di individuare la traiettoria ottima è necessario stimare l’errore (predizione in senso statistico) e gestirlo nelle equazioni dinamiche del sistema (parte deterministica del sistema), quindi il fattore principale del processo di filtraggio è la misura dell’errore. L’algoritmo si compone in due fasi:

  • una fase di predizione basata sul modello ideale del modello di volo del CSM per stimare i vettori di stato nell’istante successivo del sistema.
  • una fase basata sulla misura degli errori dai sensori del CSM e confronto/modifica con la previsione ottenuta al punto precedente per ottenere una decisione di controllo. Lo stato interno del sistema si trova piu’ vicino al valore nominale.

La parte di osservazione consiste nella lettura dei sensori anch’essi affetti da errore, l’aggiornamento consiste nella minimizzazione della differenza fra la previsione e l’osservazione, quindi l’errore viene corretto da un fattore K il quale viene usato per aggiornare le equazioni del sistema dinamico.

L’algoritmo consiste in cinque fasi applicate in maniera iterativa:

  1. Previsione: si prevede lo stato corrente in base al modello dinamico affetta da rumore N (0,σ)
  2. Osservazione dello stato: si effettua la misura dei sensori affetti anch’essi da rumore N (0, ξ)
  3. Minimizzazione dell’errore e(t) fra la previsione del modello dinamico e la sua osservazione. L’errore si chiama innovazione del sistema
  4. Aggiornamento: calcolo del parametro K = f(N(0, σ), N(0, ξ)) per la previsione dello stato successivo del sistema dinamico. K rappresenta il guadagno che permette di pesare l’errore e(t) e riportarlo all’interno del modello per correggere la stima dello stato.
    • Il parametro K viene integrato nelle equazioni del sistema dinamico
  5. Ritorna al punto 1

Ci sono molti modi per calcolare K: se il sistema dinamico e lineare con rumori gaussiani a media nulla (descritti nei punti 1 e 2) allora esiste un algoritmo ottimale per il calcolo di K.

Diagramma semplificato del funzionamento del filtro di Kalman per sistemi lineari. Il guadagno K è funzione della matrice di covarianza degli errori di predizione e di misura

Il filtro venne inizialmente implementato nei mainframe IBM704 che usavano un’aritmetica a virgola mobile a 36 bit, quindi grazie al lavoro di J.E. Potter, riuscì a trovare un’implementazione con un’aritmetica a virgola fissa a 15 bit per poterlo farlo funzionare sul computer dell’Apollo. Un’operazione di filter tuning condotta a terra con altre simulazioni numeriche ha fornito alla NASA le condizioni iniziali di funzionamento del filtro: a questo punto mancava solo un test in campo.

Ideato inizialmente per funzionare con problemi di stima lineari, la NASA fu in grado di estendere il campo di lavoro del filtro anche per problemi non lineari, come quello di mandare un’equipaggio sulla Luna.

Questa seconda versione implementata per il progetto Apollo si chiama filtro di Kalman esteso (EKF).

Esso fornisce un’approssimazione della stima ottima, poichè viene effettuata una linearizzazione del sistema nell’intorno dell’ultima stima dello stato. Il processo di trasformazione dello spazio non lineare in uno spazio lineare avviene tramite una trasformazione Jacobiana basata sull’approssimazione in serie di Taylor del primo ordine.


Patch Apollo 7

La prima prova del funzionamento del filtro avenne nell’ottobre 1968, con la missione Apollo 7 ove il filtro di Kalman venne implementato nel software del AGC Block II, al suo primo test di volo. Si trattò di un volo particolare: durante la missione l’equipaggio si impratichì a recuperare il LM ma ci furono tensioni fra gli astronauti e il personale di Terra, in quanto gli astronauti si dimostrarono poco collaborativi ma il filtro fece il suo dovere.

Il filtro di Kalman ha rappresentato un’evoluzione tecnologica fondamentale nel campo dell’avionica, ed oggi viene implementato in moltissimi campi, come nei sistemi di navigazione, nella guida autonoma e tanti altri settori ove si tratta di effettuare una stima ottimale con sorgenti affetti da rumore.

Disegno che mostra la differenza fra traiettoria reale affetta da errore (puntini rossi) e la traiettoria ottimale filtrata da Kalman

Per il suo contributo al progetto Apollo, l’ingegner Rudolf Kalman ha ricevuto la “National Medal of Science” nel 2009.

Bibliografia

Altri articoli

Traiettoria di ritorno libero – Conclusione

Riprendiamo l’analisi degli ultimi due metodi risolutivi per il tracciamento della traiettoria di ritorno libero.


Analisi R3B (Restricted 3 Body). Questo metodo sfrutta l’approssimazione del problema dei tre corpi: la Terra, la Luna e l’Apollo. Dato che la massa dell’Apollo è molto minore rispetto alle masse degli altri due oggetti celesti (Terra e Luna), i suoi effetti sugli altri oggetti possono essere ignorati. Consideriamo quindi il moto del sistema Terra-Luna intorno al comune centro di massa (CoM).

Si può dimostrare (qui) che le equazioni del moto della massa più piccola (la capsula m di massa trascurabile rispetto a m1 e m2) sono le seguenti:

l sistema di equazioni riportato sopra rappresenta un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineari in (x, y, z) con i seguenti parametri:

 \begin{cases}
\mu_{1} = G m_{1}\\
\mu_{2} = G m_{2}\\
\end{cases}
\\[5pt]
 \begin{cases}
\pi_{1} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\\
\pi_{2} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}
\end{cases}
\\[5pt]
\Omega= \sqrt{\frac{\mu_{2}}{r_{12}^3}}
\\[5pt]
r_{12}= \sqrt{(x_{1}-x_{2})^2}
\\[5pt]
r_{1}= \sqrt{(x+\pi_{2}r_{12})^2+y^2}
\\[5pt]
r_{2}= \sqrt{(x+\pi_{1}r_{12})^2+y^2}

Nel sistema di equazioni sopra riportato:

  • x1 è la posizione di m1 rispetto al CoM
  • x2 è la posizione di m2 rispetto al CoM
  • \Omega è la velocità angolare riferita al sistema corotante Terra – Luna rispetto al CoM dei due corpi.
  • r12 è la distanza fra CoM della Terra e la Luna
  • r1 rappresenta la distanza di m1 dal centro di gravità
  • r2 rappresenta la distanza di m2 dal centro di gravità
  • La derivata seconda (\ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) rappresenta l’accelerazione.

Risolvendo il sistema in si ricava la posizione (x, y, z), velocità (\dot{\boldsymbol{x}}, \dot{\boldsymbol{y}}, \dot{\boldsymbol{z}}) e accelerazione \ddot{\boldsymbol{x}}, \ddot{\boldsymbol{y}}, \ddot{\boldsymbol{z}}) della capsula.

La soluzione si ottiene per integrazione numerica, come ad esempio il metodo di iterativo Runge-Kutta che si ottiene applicando i seguenti passi:

- 1 Si parte dalla condizione iniziale (x0, y0, z0), per esempio la posizione del CSM al momento della  TLI per t = t0

- 2 Si calcola l'accelerazione della sonda sotto l'azione gravitazionale di Luna e della Terra per un piccolo quanto di tempo t (dipende dalla precisione).

- 3 Si ricalcolano l'equazioni del moto per trovare i nuovi valori delle variabili di stato di posizione (x, y, z) e velocità (vx, vy, vz).  Si annotano i nuovi valori: essi rappresentano la nuova posizione della capsula nello spazio. Si dice che si 'propaga' la soluzione.

- 4 Si passa al quanto successivo di tempo t = t +  Δt e si torna al punto 2. Una volta raccolto un set di punti (x, y, z) sufficienti per l'analisi si esce

- 5 Si disegna la traiettoria di (x, y, z) in un sistema di coordinate cartesiane.

La soluzione del sistema che si ottiene è molto sensibile alle condizioni iniziali di (\overrightarrow{x}, \overrightarrow{v}).

In generale la traiettoria dell’Apollo nello spazio 3D non è detto che sia posizionata sullo stesso piano dell’orbita lunare, Intuitivamente possiamo immaginare di ‘stirare’ la traiettoria disegnata nel piano (vedi analisi RC3B) verso la direzione positiva e negativa dell’asse z. Di quanto viene modificata dipende dall’angolo formato fra i due piani:

  • il piano orbitale lunare rispetto all’eclittica
  • l’azumuth di lancio del Saturn V, e quindi dell’inclinazione del piano orbitale del CSM in orbita LEO.

Come già visto, i due piani hanno in comune il punto antipodale, dove avviene la TLI.


Analisi RC3B (Restricted Circular 3 Body). Se per ipotesi il moto della capsula è planare (\ddot{\boldsymbol{z}}=0) (ovvero la traiettoria giace sullo stesso piano del moto dei 2 corpi celesti di massa più grande) possiamo trascurare l’ultima equazione.

Sistema di riferimento usato per l’equazione del moto. Nel caso di analisi R3B il punto (x, y, z) è libero di muoversi in 3 dimensioni.
Nel caso RC3B per ipotesi il movimento è limitato nel piano del moto di m1 e m2

Fonte: Design of Trajectory and Perturbation Analysis for Satellite Orbital Parameters – Saurabh PandeyRishabh KumarAman Dalmia, Springer

Il fatto di rimuovere la componente z significa che nei grafici seguenti viene disegnata la proiezione lungo il piano orbitale della Luna della traiettoria del CSM.

Bisogna calcolare in maniera molto precisa posizione e velocità iniziali affinché la traiettoria dell’Apollo circumnavighi la Luna e ritorni in prossimità della Terra con una condizione compatibile con la manovra di rientro. Condizioni anche di poco fuori dalla condizione ottimale fanno percorrere alla sonda traiettorie che andranno in direzione della Terra, ma non necessariamente nel punto di ritorno previsto.

La traiettoria della sonda potrebbe per esempio descrivere anche un moto oscillatorio tra i due corpi, oppure portarsi nella traiettoria giusta per il rientro ma dopo parecchi oscillazioni, quindi un tempo troppo lungo affinché si possa garantire la sopravvivenza dell’equipaggio.

Le figure seguenti mostrano i risultati di diverse simulazioni fatte dall’autore grazie al software sviluppato da Adrien (blog.nodraak.fr) in python. In entrambi i diagrammi viene tracciata una famiglia di traiettorie FRT considerando un periodo di dieci giorni di viaggio. Nel primo diagramma viene mostrato come cambia la traiettoria della FRT al variare del Δv a parità di angolo α di inserimento della TLI; viceversa, il secondo grafico mostra come cambia la FRT al variare dell’angolo α a parità di Δv.

In tutte le simulazioni l’Apollo si trova in un’orbita LEO ad un’altezza di cento miglia nautiche.

I due ingrandimenti a sinistra mostrano come la traiettoria cambi di molto al variare delle condizioni iniziali.

Variare di poco l’angolo α fa la differenza tra schiantarsi sulla Terra in fase di rientro o avvicinarsi entrare nella sfera di influenza terrestre. Anche se in ogni caso servono correzioni di rotta per garantire l’inserimento nel corridoio di rientro, la simulazione permette di escludere a priori alcuni parametri orbitali.

Durante lo sviluppo del progetto Apollo, la responsabile della pianificazione e verifica delle traiettorie FRT era Frances “Poppy” Northcutt: la prima donna ad essere ammessa al Mission Control Room (MCC), all’epoca un ambiente maschile. Poppy si era laureata in matematica in Texas perché voleva evitare lavori da donne ed avere una marcia in più nella ricerca di un lavoro.

Iniziò a lavorare alla TRW (un’azienda del settore avionico) prima di collaborare con NASA per il progetto Apollo come “donna computer” (computress), poi passò al Mission Planning & Analysis Room diventando la prima donna a lavorare al MCC.  Lei divenne la responsabile sia della definizione del profilo di volo delle FRT per l’Apollo 8 che per riprogettare la FRT in tempo reale per la missione di salvataggio dell’Apollo 13: per i suoi contributi ha ricevuto La Medaglia Presidenziale delle Libertà.

Da quando il progetto Apollo è stato chiuso, Poppy ha lasciato la NASA per occuparsi della sua vera passione: la legge. Dal 1984 esercita come avvocato.

Bibliografia

  • Digital Apollo Human and Machine in Spaceflight, MIT Press
  • How Apollo flew to the Moon, David Woods Springer
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