Terza parte

La figura sottostante mostra la sezione di Poincaré dello spazio delle soluzioni dell’equazione della dinamica del moto di Iperione: i parametri in gioco del sistema sono tre: {θ, θ(t), f(t)}^[1]. Per poter visualizzare in una mappa l’andamento di {θ, θ(t)}|_f(t) (sezione dello spazio delle fasi in 2 dimensioni) l’orbita di rivoluzione del satellite intorno a Saturno è stata campionata ad istanti regolari (passaggio al periastro t = 0).

Il grafico si ottiene nel seguente modo:

• si integra l’equazione del moto in θ e d²θ/dt² tramite metodi numerici: ogni integrazione viene associata una curva costituita da 300 punti ottenuta a partire da una condizione iniziale. Si annotano i 300 punti sulla sezione (mappa di Poincaré).
• Si ripete il passo precedente per una diversa condizione iniziale, integrando l’equazione e costruendo un nuovo insieme di punti da 300 punti.

Le coordinate sono state normalizzate e il diagramma si legge nel seguente modo:

• l’ascissa rappresenta l’anomalia che, per motivi di simmetria, viene considerata tra [0, π] (i valori nell’intervallo [π, 2π] sono identici)
• l’ordinata rappresenta la variazione nel tempo di θ(t). Possiamo considerare la variazione dell’angolo di rotazione (la fase) come la frequenza, ovvero come la variazione di frequenza dell’anomalia dell’asse di rotazione.
• La dimensione inferiore, non rappresentata con continuità ma appunto discretizzata, è il tempo.

Dato che ogni istante t=0 viene identificato da un punto sul diagramma, il piano {θ, θ(t)} rappresenta una sezione, ed ogni coordinata una posizione angolare della rotazione sull’asse z di Iperione. Immaginate di fare periodicamente una fotografia al satellite ad ogni periastro per ogni possibile valore iniziale dell’equazione, annotare i valori di {θ, θ(t)} e di rappresentarli sul diagramma.

Alla fotografia nell’istante t viene associato il punto , per la fotografia nell’istante viene associato il punto e così via …

Sulla sezione di Poincaré si possono distinguere due casi:

1. ad ogni istante t, la coppia {θ, θ(t)} assume valori “casuali” (qualsiasi) all’interno dell’area punteggiata del piano, contribuendo ad aumentare la nuvola di punti sparsi nel piano. Questo corrisponde ad una rotazione caotica di Iperione (nessuna regolarità).
2. ad ogni istante t, la coppia {θ, θ(t)} assume valori che presi in sequenza temporale si distribuiscono lungo una delle linee continue (semi-chiuse) del grafico, come se ad ogni passaggio (ad ogni intersezione con la sezione di Poincaré) contribuissero a “disegnare” ad ogni istante una delle linee continue del grafico per continuare a permanerci: questo corrisponde ad una rotazione quasi periodica di Iperione. Si nota ad esempio alcuni piccoli anelli nella parte centrale della mappa (isole ellittiche di quasi stabilità) a cui corrisponde ad una situazione di risonanza orbitale e di quasi – periodicità.

Si tratta di due situazioni estreme: caos nel primo caso e ordine nel secondo. Quale situazione delle due prevale?

Il diagramma della sezione mostra un’ampia zona caotica e si basa, per ipotesi iniziale, che Iperione ruoti lungo l’asse di rotazione z perpendicolare al piano orbitale ma se non dovesse trovarsi in una zona caotica, ma in una di quelle di quasi periodicità, Iperione avrebbe forse un’orbita stabile? Per studiare più a fondo tali regioni, bisogna utilizzare strumenti di analisi più complessi (nel campo delle equazioni differenziali) come il metodo dei moltiplicatori di Floquet. Esso mostra come, in ogni caso, anche nelle isole di stabilità del diagramma, il comportamento diventi instabile. La rotazione lungo z è altamente instabile: anche supponendo una piccola variazione del piano orbitale di Iperione (portandolo fuori dalla nostra ipotesi di normalità) si avrebbe una rotazione caotica intorno ai tre assi di rotazione.

Un’ulteriore analisi basata sull’esponenti di Lyapunov (1857 – 1918), che fornisce una serie di parametri che indicano di quanto si allontanano due traiettorie nello spazio delle fasi a fronte di piccolissime variazioni delle condizioni iniziali, porta sempre ad una soluzione caotica. Il principio della caoticità si presenta con un intervallo medio di tempo compreso fra 61 e 100 giorni, oltre il quale due traiettorie divergono rapidamente fra loro.

La Voyager 2 e la Cassini, nei loro cinque flyby hanno ricavato i valori dei parametri orbitali, compresi i loro momenti di inerzia e casualmente hanno trovato il satellite circa nelle stesse condizioni ad ogni passaggio ove l’asse principale di rotazione non era perpendicolare al piano orbitale. Rielaborando queste osservazioni e approfondendo gli studi, alcuni astronomi hanno sostenuto che Iperione si trovasse con una rotazione semi periodica. Gli astronomi hanno ipotizzato inoltre che Iperione risentisse sia di forze di precessione (periodo stimato di 300 giorni) sia di nutazione (⋍7 giorni). Bisogna considerare però che l’insieme dei dati a disposizione riguardava un periodo inferiore al tempo di rilassamento di Lyapunov, quindi troppo breve per dare conferme definitive al riguardo.

Data la vicinanza di Saturno, è plausibile ipotizzare anche che Iperione subisca gli effetti mareali e che, col tempo questi ultimi tendano a “raddrizzare” l’asse di rotazione in senso perpendicolare al piano orbitale (per rientrare nell’ipotesi iniziale della discussione), ma si tratta di processi lenti che non avvengono su scale temporali brevi. Questo vuol dire che anche se l’asse di rotazione z dovesse ritornare o permanere nel lungo periodo perpendicolare al piano orbitali per effetti mareali, la rotazione di Iperione sarebbe comunque instabile e quindi ancora caotica.

Allo stato attuale quindi, Iperione è un satellite che non ruota su sé stesso come gli altri corpi celesti del Sistema Solare, bensì capitombola su sé stesso in modo caotico mentre orbita intorno a Saturno, e questo nonostante le equazioni della dinamica del suo moto siano ben definite.

Note

[1] f dipende dalla distanza di Iperione da Saturno, quindi è funzione dal tempo e dall’eccentricità, nel nostro caso considereremo f per

Bibliografia